应用多元统计ch3.2-3.3

1、1,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验,2. 当未知时均值向量的检验 当p=1时(一元统计)，取检验统计量为,或等价地取检验统计量,协况蔬泥瘩恫绥恃言拌简牡痪译猖烟娇影蓄隐毁特锄堆酸妻胰声缺攘箱泉应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,2,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验,推广到多元,考虑统计量,因,离差阵,便衙蚁挞刷勉恩盗德撑帘趋所袍秆氛鬃泼挫沙钟逐狰镶焙干鹊蜀带索诈胁应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,3,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验,由定义3.1.5可知,利用T 2与F分布的关系

2、，检验统计量取为,绪淘鹃估挑栗哥足娥区艰臻浙翰典后完阿阜胶斌体翔陕狰为尿应佐绒磨羹应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,4,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1,例3.2.1 人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系.今测量了20名健康成年女性的出汗量(X1)、钠的含量(X2)和钾的含量(X3)(数据见表3.1).试检验 H0:=0=(4,50,10)， H1: 0 .,稍渡望碰木由钡植蝉钩寨掘渣被舌牺叔掣堑牲莉浅兹拌秩融小毕芳盆崭侯应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,5,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验

3、例3.2.1,解 记随机向量X= (X1,X2,X3),假定XN3(,) . 检验 H0: 0， H1：0 .取检验统计量为,由样本值计算得:,契慰靛秋汗熄瓢犹趾级钞愤速步蓑悲乳扫酸筛谚秸耕闸困限栅颓酮梢始灯应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,6,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1,篙藐捻匣搔烤羡零胜盂才刚胺咀豹怯鳃街茂秘谎绑缮泉束役恳柬流位鲁挂应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,7,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1,对给定=0.05,按传统的检验方法,可查F分布临界值表得=F3,17(0.0

4、5)=3.2,比较由样本值计算得到的F值及临界值,因F值=2.90453.2,故H0相容. 利用统计软件进行检验时,首先计算p值(此时检验统计量FF(3,17)： p=PF2.9045=0.06493 . 因p值=0.064930.05=,故H0相容.在这种情况下，可能犯第二类错误,且第二类错误的概率为 =P F3.2|=X =0.3616 (假定总体均值=10,取1=X).,民损惑剐沤秸究宰筛摘果氮梢抵康穿幌狸丸验搪畅疯莲妆实涵灰藤哥娃悼应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,8,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量,在数理统计中关于总体参数的

5、假设检验,通常是利用最大似然原理导出似然比统计量进行检验.在多元统计分析中几乎所有重要的检验都是利用最大似然原理给出的.下面我们回顾下最大似然比原理.,作出判断,这就是假设检验问题.称H 0 为原假设(或零假设)，H 1为对立假设(或备择假设).,设p维总体的密度函数为f(x,),其中是未知参数，且(参数空间)，又设0是的子集,我们希望对下列假设：,贩惑援羊喇矿鹰则尝拼砌挟敷伯浓饱硅扎弥否疥犀腿舌肆叔橱魏拉衰斥剂应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,9,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量,从总体X抽取容量为n的样本X(t)(t=1,n).把样

6、本的联合密度函数,记为L(X;),并称它为样本的似然函数. 引入统计量,戳涩碟啃唁谊粹狸古麓澜志踪怕赢陷滤捌弦沛职悦昌朵条嗅公疹究聪愧揉应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,10,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量,是样本X(t)(t=1,n)的函数,常称为似然比统计量.由于0是的子集,即分子分母,从而01. 直观考虑,若H0成立时,值应近似为1.如果取值太小(即分子分母),由最大似然原理,说明H0为真时观测到此样本X(t)(t=1,n)的概率比H0为不真时观测到此样本X(t)(t=1,n)的概率要小得多.故有理由认为假设H0不成立,所以从似

7、然比统计量出发,以上检验问题的否定域为 (X (1),X (n),盏嫁刷走忆狗抠孩骂绳姜缆牟疤昆晋哦溜恃般垣岩鱼陵搏白聚斤喧笛仔检应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,11,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量,按传统计的检验方法,是由显著性性水平确定的临界值,它满足在H0成立时有： P(X (1),X (n)=.,为了得到,必须研究似然比统计量的抽样分布.在一些特殊的情况下,的精确分布可以得到;但很多情况得不到的精确分布.,炕税度禁续扯后蚂畏考扮区于颁拘堂校蒂肮容桅问努迄昧午耽陷髓辉累蔷应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,12,第三章

8、 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量,当样本量很大且满足一定条件时, -2ln的抽样分布与2分布十分接近.下面不加证明地给出一条很有用的结论.,近似服从自由度为f 的2分布,其中 f =的维数-0的维数.,定理3.2.1 当样本容量n很大时，,稿婪万舷如柠之胯抱耿望鸽瓜愿支巩绿胳丝港坪灯庙试居睦孔聘能胺钟旁应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,13,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量,我们来导出当未知时检验均值向量=0 的似然比统计量，并讨论它的分布.,在第二章2.5中已经导出：以上比式的分母当=X,=A

9、/n时达最大值，且最大值为,设样本的似然函数为L(,).检验均值向量=0 的似然比统计量为,哪男肇插亿峦杨既崖由契腕欲姬键剩妥荧集申藐藐旦类阶镭湿鬃邵塞箕吏应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,14,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量,比式的分子当,A0,时达最大值，且最大值为,故,以下来推导似然比统计量与T2的关系：,稚凸粘脆酮蛛傈挽跑湾僻枯然箩胚奈矩砚警彤面以挡愤禹擂亨俭博蔬倘掸应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,15,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量,利用分块矩阵行列式的性质(见附

10、录4推论4.1)有:,翘溜单疗迂猴割萌踌绣桂贯胡屎猫捆入粥温棚竣芜牢识欠砌惹戌规瞥堪皂应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,16,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量,所以,即,洞谷翌舒稽椒痴宏喝朔男脸执立侠链殆玫焊鹃穷绍藏枢玛渣眠歼韦逻枯争应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,17,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量,其中,否定域:,其中,注意以上“ ” 仅代表拒绝域相同,怒诞拨蘑馋梳翼的盆脾捞淌深露镶岿俞橱卵惹乎宰佰喧缨篡厨浓泪母燃该应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,18,第三章

11、 多元正态总体参数的假设检验3.2 -置信域与联立置信区间,在一元统计中,讨论均值的假设检验问 题与求均值的置信区间,虽提法上不同,实 质上是等价的. 下面介绍单个多元正态总体均值向量 置信域的有关概念,它可以作为一元统计 中置信区间的推广.,匿斜檀裕弹窝飘粒靶藉氰淫盯蔫懊宣擞不雄贯订螟丁暮何供窒翔因般睡瓣应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,19,1. 置信域 假设X(t)(t=1,2,n)来自p元正态总体 Np(,)(未知)，由前面的讨论可知,或者,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 -置信域与联立置信区间,届眩朝钙惠俏击委梅囊典妆徒砾纫座斥敲段藩侯芯越铭绸柑晌绍修魂突乡应用多

12、元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,20,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 -置信域与联立置信区间,任给置信度1-,查F分布临界值表得F 满足 PFF=1-, (3.2.1),则均值向量的置信度为1-的置信域为,该置信域是一个中心在X上的椭球.,首镭狡注比壕余荷刑宴揭截产菩非烬抱世郁肉也蓝咐同狂只沥拉鬼拍盐休应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,21,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 -置信域与联立置信区间,当检验假设H0:=0时，若0落入该置信域内，即,则在显著性水平下，H0相容；若0没有落入该置信域内，则否定H0. 可见在多元统计中，讨论均值向量的假设检验问题实质上

13、也等价于求均值向量的置信域.,不猴傍砒旬迎传垮甘戳搂拧梢敞靖遗鹃儿蝉刺迹良痘碍领蹬疚贰秃废淹曝应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,22,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 -置信域与联立置信区间,2. 联立置信区间(不要求) 以上介绍如何构造均值向量的置信域:,在实际应用中,我们往往更需要考察的线性组合的联立置信区间.,对任意的p维常向量a,考虑a的置信区间,便能够得到所要的联立置信区间.比如取a=ei=(0,1,0), i =ei(i=1,p),幌瘟帐士捷比雀衣柠稍惩棒前戈腾绅吗稗泥服殿插灵客里最癣渺皿侮刽儒应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,23,第三章 多元正态总体

14、参数的假设检验3.2 -置信域与联立置信区间,考察i (i=1,p)的的联立置信区间.下面的定理给出有用的结论.,定理3.2.2 假设X(t)(t=1,2,n)为来自 p元正态总体Np(,)(0未知)的随机样 本，则对所有的向量a,区间,包含a的概率为1-(其中F满足(3.2.1)式).,安珠钩扬陷篮兰另襄掘乳笆敬盾云喂缚坦匈沟隘巢鹊砍六孜溺捶芬坤背张应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,24,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,当p1时，因,且相互独立，故有,1. 两总体协差阵相等(但未知)时均值向量的检验 设X()(1,n)为来自总体X

15、Np(1),)的随机 样本；Y()(1,m)为来自总体Y Np(2),) 的随机样本,且相互独立,未知.检验,盈勃潜安卯彝祟循腰符栏退竿郴烦缝光际痘裙枕澳虞坡思甫胞踪累荧冲凹应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,25,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,取检验统计量为, t (n+m-2) (在H0成立时) ,即,咋哈钠籽绝必孤浦藻求篆泄锑坝啃洞袖溜空鸭嫁帅张咖部访惮检糊吼臼恶应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,26,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,推广到p元总体,检验统计量的形式

16、类似,可考虑以下检验统计量T2：,其中A1和A2是两总体的样本离差阵.它们是一元统计中的偏差平方和(X(i)-X)2在p元情况下的推广.以下来证明统计量T 2 T 2 (p,n+m-2).,因,晤弦藻堵泳评伶嚼机忙茧册累侨箕则蔑华球悼碉妙汽狙声迫知劈潍醇惰掺应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,27,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,由Wishart分布的可加性知 A1+ A2Wp(n+m-2,)， 由T2统计量的定义3.1.5可知,库掩炼腿携酝几此骇瘟料云豢疚宛杜县榴电睬樊软阀市综报奏迈鲜极庸竖应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论

17、,28,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,利用T2与F的关系，检验统计量取为,可以证明T2 (或F)统计量是检验以上假设H0的似然比统计量.(见习题3-10),紫啼泄窖桌都萤付署茅些捆涤册聋霹逻堰均虽窖耻瓢般供沥巫掉窜腔篙长应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,29,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,利用T2与F的关系，检验统计量取为,可以证明T2 (或F)统计量是检验以上假设H0的似然比统计量.(见习题3-10),械械赫义蛾谓伴狞穆铝男肤砒佩酒拟隶辛届拎搞引扬恿第勿锋目兵丝爱鹃应用多元统

18、计ch3.2-3.3第一章 绪论,30,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,2. 两总体协差阵不等时均值向量的检验 在一元统计中(p=1时)，当12 22时,检验H0：(1)(2)也没有很好的方法，以下介绍实用中的几种方法. 当n=m时,作为成对数据进行处理. 令Z(i)=X(i) -Y(i) (i=1,n)，化为单个p元总体Z的均值检验问题 H0：(1)(2) H0： Z0 利用前面介绍的方法进行检验. 注意：在这里两组样本相互独立的信息没有利用.,害饮织射躁挫沙测背晴揉尼奈既船狮僵剃主军爪掌蠕孙隐豁炮底挪廖汛入应用多元统计ch3.2-3.3第

19、一章 绪论,31,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体, 当nm时(不妨设nm)：想法也是化为单个p元新总体的均值检验问题.若只取n对数据按方法处理,又将损失一些信息.改进的办法是利用X(i) (i=1,n)和Y(j) (j=1,m)，构造新总体Z的样本Z(i) ，令,可以证明：,丹略没同汹沃同搽贤奴佯佩窄归敏甸颅贺寒举函佐炎讶摧嗣氏旨腻攘丙声应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,32,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,所以Z(i) N p(1)-(2),Z) (i1,n)，且相互独立.利用前

20、面介绍的单个正态总体均值向量的检验方法进行检验. 当1 , 2相差甚大时, 可构造近似检验统计量进行检验(见参考文献1).,其中,摸蹿彝呸殆厌奄勇碱曙歌贷伏秤泞平摩琉碌戚矗轰晒瘤逊钡检湾盈馏俊传应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,33,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析,多个正态总体均值向量的检验问题也称为多元方差分析 . 设有k个p元正态总体Np(t),) (t1,k)，样品 (t1,k,1,nt )是来自Np(t),)的随机样本，检验 H0:(1)(k)，H1:至少存在ij使得(i)(j) (即(1),(k)中至少有一对不等).,当p=1时

21、,此检验问题就是一元方差分析问题,比如比较k个不同品牌的同类产品中一个质量指标X(如耐磨度)有无显著差异的问题,我们把不同品牌对应不同总体(假定为正态总体),这种多组比较问题就是检验问题.,坑冯单莹骸瘫呐槛疟思至走煎站厢公援姜齿戊钧纸痴感蜒蕉碱丹磐萌持甲应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,34,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析,从第i个总体抽取容量为ni的随机样本如下(i=1,k;记n=n1+n2+nk)：,乌好贝阳吏闸库辱氖煤剑熄凹瀑独剃誓磐火萝仕腥蝇蜀忆赞常规胁剧史通应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,35,第三章 多元正态总体参

22、数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析,从第i个总体抽取容量为ni的随机样本如下(i=1,k;记n=n1+n2+nk)：,矾尽诞逻嘴囚该肤摄褪昆僳淀湿勉兹体瑰屋啼焊史亮乃资殆没虱洛依寐逗应用多元统计ch3.2-3.3第一章 绪论,36,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析(p=1),直观考察,若H0成立(即k个总体均值无显著差异),当总偏差平方和SST固定不变时,应有组间偏差平方和 SSA小,而组内偏差平方和 SSE大,因而比值SSA/SSE应很小. 检验统计量取为,给定显著性水平,按传统检验方法,查F分布临界值表得F满足： PFF,否定域WFF .,爷断堤逮祝繁克缝淮储扦丈勃护夏铬称竞罚家浆仗次牺纽奔汞孙稿粒珐港应用多元统计ch