极限的运算.ppt.ppt

1、,第一章,第三节,极限的运算,一、极限的运算法则,二、两个重要极限,三、无穷大量和无穷小量,一、 极限的四则运算法则,则有,若,(1),(2),推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),说明: 可推广到有限个函数运算的情形.,若 B0 , 则有,(3),例1. 设 n 次多项式,试证,证:,则有,数列极限有类似的四则运算法则,若,例如，,说明: 运算法则可推广到有限个数列运算的情形，,对无限个数列运算未必成立.,注2：,对于用四则运算化为,的特殊情形，,再使用法则。,注1：,若 f(x) 为初等函数，,x0 为定义域内的点，,则有,要先进行适当的代数运算，,(未定式

2、),2. 求极限举例,例2.,(2),(1),例3.,(消去零因子),例4.,分子有理化,例5.,令,当,于是，,消去零因子,时，,作变量替换，,有,例6.,原式,例7.,原式,例8 . 求,解:,分子分母同除以,则,原式,一般有如下结果：,为非负常数 ),分子分母同除以,(分母中x的最高次幂),例如：,例9. 求,解: 令, 原式 =,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 极限四则运算法则,(2) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,分式函数极限求法,时, 用代入法,( 要求分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去零公因子,时 , 分子分母同除以分母的最高次幂,( 可

3、以设中间变量 ),第一章,二、两个重要极限,(1),(2),定理： 数列极限夹挤定理,证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,两边夹定理; 单调有界定理;,函数极限的夹挤定理,定理.,且,( 仿照数列极限的两边夹定理证明 ),定理：单调有界数列必有极限,( 证明略 ),圆扇形AOB的面积,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,注,注,当,时,例1. 求,解:,例2. 求,解: 令,则,因此,原式,例3. 求,解: 原式 =,例4. 已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,2.,证:,先考

4、虑x 取自然数n 趋于,的情形，,利用二项式公式 , 有,大,大,正,又,比较可知,大,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,又,内容小结,先考虑,的情形.,当,时，,又可得到,证毕.,注意这个极限的特征：,或,底为两项之和：,第一项为1，,第二项是无穷小量，,指数与第二项互为倒数 。,例5. 求,解: 令,则,说明 ：若利用,则,原式,例6.,解:,确定 c，使得,于是,解得,例7. 求,解: 原式 =,第一章,二、 无穷大量,三 、 无穷小量与无穷大量的关系,一、 无穷小量,三、无穷小量与无穷大量,当,一、 无穷小量,若,时, 函数,则称函数,

5、例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,为,时的无穷小量 ，,当,时为无穷小.,简称无穷小.,数列,1 . 定义：,注:,1. 无穷小量是变量，不要与很小的数混淆。,3. 0 是唯一可称为无穷小量的常数。,2.,其绝对值可以小于任意正数,由定义可见，,无穷小量在自变量的某种变化趋势中，,(1)和(2)要求为“有限项”，对无限项未必成立。,例如,2. 无穷小量的性质,(1) 有限个无穷小量的和、差仍为无穷小量；,(2) 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；,(3) 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。,注意：,注,注,(3) 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。,证明：g(x)有界，

6、,当,故当,设g(x)在其定义域内有界，,故存在 M ，,使得,有,则,推论:,() 常量与无穷小的积仍是无穷小量；,() 在同一过程中，有极限的变量与无穷小量的积,例,是无穷小量。,3. 无穷小量的比较,极限不同,极限不存在,都是无穷小,引例 .,但,反映了无穷小量趋向于零的“快慢”程度不同，,用“阶数”来表示。,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,记作,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例1. 证明: 当,时,证:,

7、考虑,例1. 证明: 当,时,证:,例2. 证明:,证:,目录 上页 下页 返回 结束,因此,即有等价关系:,说明: 上述证明过程也给出了等价关系:,定理1.,证:,即,即,例如,故,常用等价无穷小:,定理2 . 设,且,存在 , 则,证:,例如,4. 等价无穷小代换,设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明:,无穷小的性质,(1) 和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,若 = o() ,(2) 和差代替规则:,例如,例如,(见下页例3),定理1.11,则,定理1.11,且,则,证明:,即,无穷小量，,设,是两组在同一变化过程中的,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解:

8、,例5. 证明: 当,时,证:,利用和差代替与取大规则,说明,其中 为,时的无穷小量 .,定理 3.,证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,5. 无穷小与函数极限的关系:,二、 无穷大量,定义2 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如,是无界变量，非无穷大量,例6 . 证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,铅直渐近线,说明:,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理4. 在自变量的同一变化过程中,说明:,常见无穷大量 阶数递增：,例7.,解,当,于是,当,于是,所以,时，,时，,不存在。,内容小结,2. 无穷小的比较,设 , 对同一自变量的变化过程为