动力学-5B.ppt

1、1,拉格朗日方程,拉格朗日方程实质就是广义坐标表示下的 动力学普遍方程,牛顿第二定律,牛顿第二定律在直角坐标下的表示:,2,动力学的基本方法,牛顿定律,动量定理 动量矩定理 动能定理,达朗贝尔原理/动静法,虚位移原理,拉格朗日方程,矢量力学,分析力学,3,在直角坐标下：,矢量力学,静力学: 力系平衡,分析力学,静力学：虚位移原理,在广义坐标下：,4,虚位移原理有广义坐标形式,虚位移原理的数学形式:,取 为广义坐标:,其中:,5,在直角坐标下：,矢量力学,质点系动力学：,分析力学,动力学普遍方程：,在广义坐标下：,6,广义坐标下的动力学普遍方程,数学形式:,其中：,动力学普遍方程：受有理想约束的

2、质点系在运动过程中, 其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所作的虚功之和为零。,取 为广义坐标:,7,数学形式:,其中：,取 为广义坐标:,8,5-2、拉格朗日方程,设：具有完整约束的非自由质点系有 k 个自由度 系统的广义坐标为：,由于广义坐标是独立的，因此 也是独立的。所以:,9,T 为系统的动能，一般情况下动能可表示成：,广义坐标下的动力学普遍方程：受有理想约束的质点系在运动过程中, 对应于各广义坐标的广义主动力和广义惯性之和为零。,的表达式:,10,拉格朗日方程,拉格朗日方程实质就是广义坐标表示下的 动力学普遍方程,该方程也称作第二类拉格朗日方程,11,例：建立质量为m的质点

3、在重力作用下的动力学方程。,1、系统的自由度为 k=3,2、系统的广义坐标：,3、系统的动能,解：,4、系统的广义力,12,广义力的计算,方法一,沿广义坐标增大的方向取特殊的虚位移， 而其余的 ， 求出所有非有势力在该虚位移上所做的虚功 ， 则有:,13,方法二,如果系统上作用的主动力的作用位置是 , (i=1,.,n)，将其表示成广义坐标的函数：,则对应于广义坐标 的广义力 可由如下公式求出：,14,如果作用在系统上的广义力有势，记 V 为势能：,则：,15,主动力有势下的拉格朗日方程,16,主动力有势下的拉格朗日方程,记：,L称为系统的拉格朗日函数。,则拉格朗日方程变成：,17,第二类拉格

4、朗日方程几种形式,1、当主动力均为有势力时,设：LT-V （拉格朗日函数）,2、当主动力部分为有势力时,18,例: 二自由度系统的自由振动,一、给出系统的动势,二自由度系统, 选取广义坐标, 各坐标原点取在静平衡位置:,其中平衡位置的重力势能为零.,19,由静平衡条件, 有:,所以:,二、系统的动力学方程,20,例: 二自由度系统的受迫振动,一、给出系统的动势,二自由度系统, 选取广义坐标, 各坐标原点取在静平衡位置:,其中平衡位置的重力势能为零.,21,22,二、系统的动力学方程,23,例: 二自由度系统的受迫振动, 考虑阻力(设与速度成正比),一、给出系统的动势,二自由度系统, 选取广义坐标, 各坐标原点取在静平衡位置:,其中平衡位置的重力势能为零.,24,阻力产生的广义力:,二、系统的动力学方程,阻力:,25,解：1、确定系统的自由度 和广义坐标 2、求系统的动能和势 能 ( 拉格朗日函数 ) 3、求非有势主动力