统计学变异指标.ppt

1、四、变异指标,概念：综合反映总体各单位标志值的差异程度或离散程度。变异指标越大，表明数据越分散、不集中；变异指标越小，表明数据越集中，变动范围越小。变异指标反映现象总体总单位变量分布的离中趋势。,一、变异指标的概念,它是反映总体中各单位标志值差异程度的综合指标。,一、变异指标的概念,变异指标（标志变动度），,平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势；,平均指标是说明总体各单位某一数量标志一般水平的综合指标。但是，平均指标将总体各单位标志值的差异抽象化了，是总体各单位标志值的代表水平，它不能反映总体各单位标志值的差异情况。例如，,变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。,工人姓名

2、 甲 乙 丙 丁 戊,460 520 600 700 850,奖金额（元）,数量标志,标志值（变量值）,平均奖金,= 626（元）,离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志变异指标反映其大小。,平均数,（3）试问A、C 两门课程平均考分更有代表性？,表,例如，,A课程考分： 65 70 75 80 85,B课程考分： 68 70 76 80 81,（1）试计算A、B、C三门课程的平均考分。,（2）试问A、B两门课程平均考分哪个更有代表性？,65,75,85,B 组,A 组,变异大,变异小,标志变异指标与平均数的代表性成反比，

3、表明总体各单位标志值的分散程度。即标志变异指标数值越大，平均数的代表性越小。例,二、标志变异指标的作用,1.它是衡量平均数代表性的尺度。,2.它可以反映社会经济活动过程的均衡性或稳定性程度。,3.它还是抽样分析和相关分析的重要指标。,注意：标志变异指标的作用是在与平均指标结合中产生的，离开了平均指标，它就失去了意义。而它与平均指标相结合，则可全面反映总体的特征，并对平均指标的代表性做出评价。,例：某车间两个生产小组各人日产量（件）如下： 甲组：20 40 60 70 80 100 120 乙组：67 68 69 70 71 72 73,甲、乙两组工人的平均产量都为70件。 通过观察可以看出，甲

4、组数据的变异程度较大，乙组数据的变异程度较小。 也可以用图示的方法观察产量的变异情况：,举例：衡量平均数代表性,70,70,甲组,乙组,结论： 标志变异程度和平均数的代表性呈反比关系。,产量差异 程度较大,产量差异 程度较小,举例：反映社会经济活动过程的均衡性,观察：哪个厂供货比较均衡？,表,（一）变异指标的种类（数值）,三、变异指标的计算方法,分类：全距 平均差 标准差 变异系数,全距,全距 R （range） ： 测定标志变异程度的最简单的指标，它是标志的最大值和最小值之差，反映总体标志值的变动范围。 公式：全距最大标志值最小标志值 RXmaxXmin 评价： 从计算可知，全距仅取决于两个

5、极端数值，不能全面反映总体各单位标志值变异的程度，也不能拿来评价平均指标的代表性。,计算： R=XmaxXmin,例、甲同学成绩全距R=93 70=22(分) 乙同学成绩全距R=98 51=47(分),特点：计算方便，易于理解； 易受极端数值的影响。,全距,【例2】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下，计算全距。,对于组距数列，全距计算公式为： R最高组的上限值最低组的下限值,表,全距的特点,全距是测定标志变动度的一种粗略方法。 优点：计算简单，含义明确，对于测定对称分布的数列具有特殊优点。 缺点：它主要取决于极端数值，带有较大的偶然性，往往不能充分反映现象的实际离散程度。,2、

6、用于比较不同总体数值的均衡性或 平均数的代表性；,在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平均数代表性大小，这时： 全距较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性较差；反之，则相反。,全距的作用,1、经常应用于生产过程的质量控制；,平均差,平均差A.D （average deviation）：是总体各单位标志对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。它综合反映了总体各单位标志值的变动程度。平均差越大，则表示标志变动度越大，反之则表示标志变动度越小。 简单平均差：A.D= 加权平均差A.D=,根据未分组资料计算 表,试问A、B 两课程的平均考分更有代

7、表性？,平均数离差,-10 -5 0 5 10,解：,离差绝对值,平均数离差,离差绝对值, A.DAA.DB,故，学生B 课程平均考分比A 课程平均考分更有代表性。,10 5 0 5 10,30,-7 -5 1 5 6,7 5 1 5 6,24,优点:不易受极端数值的影响，能较好地反映全部单位标志值的实际差异程度；平均差弥补了全距之不足，它考虑了所有的标志值。 缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于数学处理和参与统计分析运算。,3.平均差的特点,评价：平均差意义明确，计算容易，反应灵敏。但计算时要用绝对值，不适合代数运算，因此在进一步统计分析中应用较少。,标准差,

8、标准差 （standard deviation）：各单位标志值对其算术平均数的离差的平方的算术平均数的平方根，反映的是各标志值对其平均数的平均差异程度。标准差是描述数据离散程度的最常用的差异量。 分类：简单标准差 加权标准差,公式: 简单平均差：= 加权平均差:=,简捷计算：标志值数值较大、平均值未知，以A为假定平均数(一般取靠近中间的标志值或组中值),平均数离差,离差平方,平均数离差,离差平方,-10 -5 0 5 10,100 25 0 81 100,-7 -5 1 5 6,49 25 1 25 36,问A、B 那一门课程的平均考分更有代表性？,解：,因为B课程标准差较小，所以B课程平均分

9、比A课程平均分代表性大。,【例2】根据未经分组的资料,表,【例】根据某车间200名工人加工零件的资料，计算工人的生产零件标准差。,根据变量数列资料计算,表,标准差计算表,将表中计算结果代入公式，得到：,表4-33,1、反映某总体各单位某种标志值的离散程度；,2、用于比较不同总体数值的均衡性或平均数的 代表性；,在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平均数代表性大小，这时： 标准差较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性较差；反之，则相反。,3.标准差的作用,评价：标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，是统计分析中最常用的差异量。 标准差具备

10、一个良好的差异量应具备的条件，如：反应灵敏，有公式严密确定，简明易懂，适合代数运算等等。 标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。,数据1： 1、 2、 3、 4、 5 数据2： 10、20、 30、40、50 显然,这两组数据的差别程度相同，而它们水平不同或平均数不同，这时就不能用绝对指标（标准差）比较它们的差异程度大小。 这时就要计算离散系数指标来比较它们之间的差别程度大小。,如果两个数列平均水平不同，或两个数列标志值的计量单位不同时，要比较其数列的变动度（即比较其数列平均数的代表性大小），怎么办？,注意：这时需消除

11、平均水平不同或计量单位不同的影响，计算标志变异系数。,是总体中变异指标与其算术平均数之比，以反映标志值差异的相对水平。,变异系数（V）：,变异系数,标准差系数,离散系数指标的种类,在实际工作中运用最为广泛的是标准差系数指标。,注意：标准差与标准差系数的不同应用条件：,在比较两个不同数列（总体）标志变异程度大小（或说明其平均数代表性大小）时，当其平均水平相同时，可直接计算标准差进行比较；当其平均水平不相同（或其计量单位不同）时，需消除平均水平不同或计量单位不同的影响，计算标准差系数进行比较。,根据表：,平均数离差,-10 -5 0 5 10 ,解：,离差平方,平均数离差,离差平方,-10 -5

12、0 5 10 ,100 25 0 25 100 250,100 25 0 25 100,250, VAVC,故， C 组平均考分更有代表性。,试问A、C 课程平均考分哪个更有代表性？,又如，甲、乙两个农场有关资料如 表4-35 ：,解：, V甲V乙,故，乙农场的粮食平均亩产量更有代表性。,小结：在两个总体或两组数据平均数不相等时，要比较其平均数代表性大小，这时： 标准差系数较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性较差；反之，则相反。 也就是说标准差系数和标志值的离散程度成正大，和平均数的代表性或现象的均衡性成反比。,例如：两种不同水稻品种，分别在

13、5个田块上试种，其产量如下： 要求： 分别计算两品种的单位面积产量。 计算两品种亩产量的标准差和标准差系数。 假定生产条件相同，确定哪一品种具有较大稳定性，宜于推广,因V乙V甲，故乙品种具有较大稳定性，宜于推广,应用条件：当所对比的两个数列的平均水平高低相同时，就采用全距、平均差或标准差进行对比分析，当所对比的两个数列的水平高低不同时，其数值的大小不仅受各单位标志值差异程度的影响，而且受到总体单位标志值本身水平高低的影响；为了对比分析不同水平的变量数列之间标志值的变异程度，就必须消除数列水平高低的影响，这时就要计算变异系数。,是非标志标准差,是非标志：一个总体只能分为具有某一标志值的单位和不具

14、有某标志值得单位两组。这种用“是”“否”“有”“无”来表示的标志称是非标志。 是非标志表现： 用“1”表示是 用“0”表示非 用p表示是出现的次数占总次数的比重 用q表示非出现的次数占总次数的比重,总体按所研究标志不同,变量总体,（研究数量标志）,属性总体,（研究品质标志）,在属性总体中，当所研究的标志，其表现只有两种属性，即“是”或“非”时，将该属性总体称为是非标志总体。,例如：,学生按性别分组,男生,女生,（是）,（非）,企业按经济类型分组,国有企业,集体企业,（是）,个体企业,其它企业,（非）,（一）什么是是非标志总体,（二）是非标志(属性)总体的成数,在是非标志（属性）总体中，设总体有N个单位，其中有N1个单位具有某种性质或属性（是的属性），有N0个单位不具有某种性质或属性（非的属性）， 即N1+ N0= N 则，,即总体中具有某一属性的单位数占总体单位数的比重,即总体中不具有某一属性的单位数占总体单位数的比重,（三）是非标志(属性)总体的平均数,由于品质标志（是非标志）的表现不能用数值表示，为了研究问题方便，我们可以将品质标志（是非标志）数量化。即用1表示单位标