电磁场与电磁波（第四版之第三章静态场及其边值问题的解）.ppt

1、1,分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,2,分类分析求解电磁问题,静态电磁场,电磁波,按时间变化情况,第3章,第4、5、6、7、8章,3,第三章 静态电磁场及其边值问题的解,4,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,静态电磁场问题,特点：电场和磁场独立,5,分类分析求解静态电磁场问题,静态电场,按场的类型,静态磁场,6,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,静态电场问题,按电荷静止或运动情况分类,静电场,恒定电流场,静止 任意,匀速运动 有限,7,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系

2、,边界条件,静态（恒定）磁场问题,8,本章内容安排 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法,9,静态电场问题,按电荷静止或运动情况分类,静电场,恒定电流场,静止 任意,匀速运动 有限,10,面对的问题？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,11,3.1 静电场分析,学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力,12,面对的问题: 存在什么源？ 在何媒质环境中？

3、有何突变边界？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,13,2. 边界条件（一般性问题）,微分形式：,本构关系：,1. 基本方程（一般性问题）,积分形式：,或,3.1.1 静电场的基本方程和边界条件,3. 按媒质分类的两类问题（特殊性问题）,理想介质：,存在导体：,14,导体内部的电场为零,或,理想介质情况,导体情况,界面两侧场矢量的方向关系,介质表面的自然边界条件,静电平衡,导体表面的边界条件,导体,介质,15,面对的问题！ 分析求解方法： 已有方法及其适用范围？ 利用静电场的特性，研究新方法及其优越性？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,16,由,称为静电场的标量电位函数或简称

4、电位。,1. 电位函数的定义,3.1.2 电位函数,优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题,17,求,2. 电场强度与电位函数的关系,已知,已知,求,如何求出电位函数？,18,在均匀介质区域中，有,3. 电位的微分方程,在无源区域，,电荷区,19,4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题,点电荷源情况：,20,4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题(续),任意电荷源情况：(元电荷产生电位的迭加）,体分布电荷源,面分布电荷源,线分布电荷源,21,5. 利用电位求存在不同媒质空间中的问题,导体表面边界面,两理想介质分界面 （无强加自由电荷）,常数，,静电位的边界条件(任意静电场情况)

5、,实际问题中典型的静电场情况,22,6. 由电位函数引出的经典物理量电压（电位差）,电场力做的功,问题：选择不同的积分路径会改变电压的计算结果吗？,23,静电位不惟一，可以相差一个常数，即无确定值,选参考点,令参考点电位为零,电位确定值 (与零电位点的电压),选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。 同一个问题只能有一个参考点。,7. 电位参考点,解决办法：,24,例 3.1.1 求电偶极子的电位和电场强度.,解 在球坐标系中,用二项式展开，由于，得,代入上式，得,表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。,化简,25,将 和 代入上式，解得E线方程为,电力线的微分方程

6、：,等位线方程：,求电场强度,26,解 选定均匀电场空间中的一点O为坐标 原点，而任意点P 的位置矢量为r ，则,若选择点O为电位参考点，即 ，则,例3.1.2 求均匀电场的电位分布。,用拉普拉斯方程如何求解,27,解 建立一个最好的坐标系，如图，则,例3.1.3 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。,选一个最利的电位参考点确定C，例如 则C=0,28,任选有限远处的某点为电位参考点，例如，= a 点，则有,求无限长直均匀线电荷产生的电位,最有利的零电位点选择？,29,例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和 x = a 处，在两板之间的 x = b 处有一面密

7、度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。,解,方程的解为,分析,用直接积分方法求解？,30,最后得,确定待定常数,利用边界条件,方法,31,两区的介质不同？ 用高斯定理求解？ 用Maxwell微分方程求解？ 其它坐标系下的同类问题？,延伸应用思考：,32,面对的问题！ 分析求解方法！ 典型应用： 静电感应 静电屏蔽 关联的一般性物理问题？,33,电容器在实际问题中的作用：,3.1.3 导体系统的电容与部分电容,典型的有利作用： 储能、滤波、移相、隔直、旁路、选频等,典型的不利作用： 电容耦合系统和部件产生的电磁兼容问题,34,1. 电容,孤立导体的电容,两导体所组成电容器

8、的电容,*多导体系统中导体两两间形成部分电容,35,导体系统的结构、尺寸、形状和其周围的电介质 与导体的带电量和电位无关,决定电容量大小的因素,36,假定导体/两导体带电荷q /q 求导体/两导体间的电位/电压,方法一：,求解电容量的方法 （利用与导体的带电量和电位无关）,方法二：,按定义求得电容,假定导体/两导体的电位/电压 求导体表面所带电量q,37,解：设内导体的电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间的电场,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当 时，,例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为b，其间填充介电常数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。,38,例 3.1

9、.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线的轴线距离为D ，且D a ，求传输线单位长度的电容。,解 设两导线上的带电量分别为 和 。由于 ，故可近似地认为电荷在各导线表面均匀分布。因此导线间x处的电场强度为,两导线间的电位差,故单位长度的电容为,39,例3.1.6 同轴线内导体半径为a ，外导体半径为b ，内外导体间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。,内外导体间的电位差,解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为,故得同轴线单位长度的电容为,40,面对的问题！ 分析求解方法！ 典型应用! 关联的一般性物理

10、问题: 静电场的能量 电容的储能,41,静电场能量的分布空间,静电场具有能量的实验证据,3.1.4 静电场的能量,42,1. 静电场的能量,通过电位计算,体分布电荷情况,面分布电荷,电容器的储能, 第i 个导体所带的电荷, 第i 个导体的电位,式中：,43,2. 电场能量密度,电场能量密度：,电场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,通过电场分布计算,44,由于体积V外的电荷密度0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S 无限扩大时，则有,故,推证：,45,例3.1.7 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。,

11、解： 方法一，利用 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,46,方法二：利用 计算,先求出电位分布,故,47,静态电场问题,按电荷静止或运动情况分类,静电场,恒定电流场,静止 任意,匀速运动 有限,48,面对的问题？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,49,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导,50,面对的问题: 存在什么源？ 在何媒质环境中？ 有何特殊现象？ 边界有何物理量的突变？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,51,什么情况下会产生恒定电流场的问题？ 导电媒质中存在电

12、场的时候！,52,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,静态电场问题,53,2. 边界条件（一般性问题）,微分形式：,本构关系：,1. 基本方程（一般性问题）,积分形式：,或,3. 按媒质分类的两类问题（特殊性问题）,导电媒质：,存在介质：,3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件,均匀导电媒质中存在净电荷？,54,导电媒质情况,存在介质情况,界面两侧场矢量的方向关系,分界上两侧的边界条件,界面上两侧场量的特殊性,导体,介质,面电荷？,导体是等位体？,有限,55,56,面对的问题！ 分析方法： 哪些方法最适合？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,57,什么情况下会产生恒定

13、电流场的问题？ 导电媒质中存在电场的时候！ 分析解决问题的关键是求电场强度 基于已知电荷的方法 基于电流（欧姆定律） 基于电位的方法,58,（1）利用欧姆定律（导电媒质的本构关系）表示了电场强度,基于电流求解分析恒定电场问题的方法,（2）用已知量（通常是激励电压）表示出未知量,59,电位函数满足Laplace方程,基于电位求解分析恒定电场问题的方法,电位的边界条件,60,例3.2.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1 和 2、2 ，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。,解：极板是理想导体，为等位面，电流沿z 方向。,61,例3.2.2 如图示设内导体的电压为U0 ，外导体接地。

14、求：（1）同轴线中各区域中的电流密度和电场强度分布；（2）各分界面上的自由电荷面密度。,外导体,内导体,介质2,介质1,62,（1）设同轴电缆中的径向电流为I ,则由 可得电流密度,介质中的电场,解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。,单位长度的径向电流,63,故两种介质中的电流密度和电场强度分别为,由于,于是得到,64,（2）由 可得，介质1内表面的电荷面密度为,介质2外表面的电荷面密度为,两种介质分界面上的电荷面密度为,65,面对的问题！ 分析方法！ 典型应用： 导体的电阻和电导 关联的一般性物理问题？,66,3.2.3 电阻和电导,67,(1) 假

15、定两电极间的电流为I ； 由 ，求出两导 体间的电位差； (3) 由定义求电导：,计算电导的方法一：,计算电导的方法二：,(1) 假定两电极间的电位差为U； (2) 由 ，求出两导体 间电流； (3) 由定义求电导：,计算电导的方法三：,静电比拟法：,68,恒定电场与静电场的比拟,基本方程,静电场（ 区域）,本构关系,位函数,边界条件,恒定电场（电源外）,69,例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 、b，长度为l ，其间媒质的电导率为、介电常数为。,解：直接用恒定电场的计算方法,电导,绝缘电阻,设由内导体流向外导体的电流为I 。,70,方程通解为,例3.2.4 在一块厚度为

16、h 的导电板上， 由两个半径为r1 和 r2 的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。,解： 设在沿 方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿 方向流动，而且电流密度是随 变化的。但容易判定电位 只是变量 的函数，因此电位函数 满足一维拉普拉斯方程,代入边界条件,可以得到,71,电流密度,两电极之间的电流,故沿 方向的两电极之间的电阻为,所以,72,面对的问题！ 分析方法！ 典型应用！ 关联的一般性物理问题： 功耗,73,导体媒质的功耗,功耗密度和功耗,为什么电阻R消耗的功率是,74,分类分析求解电磁问题,静态电磁场,电

17、磁波,按时间变化情况,第3章,第4、5、6、7、8章,75,分类分析求解静态电磁场问题,静态电场,按场的类型,静态磁场,静电场,恒定电场,76,一、静止电荷产生的场（静电场）,导体（ ）内部的电场为零 导体表面的切向电场为零 等势体 导体内部的电荷为零 电荷只能位于导体表面，密集于表面类锐部分 应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针， ,静态电场的典型现象和结论,77,二、运动电荷产生的直流电场（恒定电场）,导体（ ）内部可存在电场 导体表面的切向电场一般非零 非等势体 导体内部可有运动电荷，但净电荷量为零 净电荷只能位于导体表面 理想导体（ ）内部电场为零，电流为零 理想导体边界上的电场垂直于表面

18、 等势体,典型静电场现象,78,进一步理解静电场和恒定电场,思考题：,导体,U,求：1） ；2）储能或功耗？,导体,w,t,0,t,U,79,分类分析求解静态电磁场问题,静态电场,按场的类型,静态磁场,80,面对的问题？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,静态磁场,81,3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感 3.3.4 恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力,3.3 恒定磁场分析,82,面对的问题: 存在什么源？ 在何媒质环境中？ 突变边界上有何现象？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,静态磁场,83,出发

19、点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,静态（恒定）磁场问题,84,2. 边界条件（一般性问题）,微分形式：,本构关系：,1. 基本方程（一般性问题）,积分形式：,3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件,或,85,面对的问题: 存在什么源？ 在何媒质环境中？ 突变边界上有何现象？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,静态磁场,86,面对的问题！ 分析求解方法： 已有方法及其适用范围？ 利用静磁场的特性，研究新方法及其优越性？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,静态磁场,87,称为矢量磁位或简称磁矢位。,1. 矢量磁位的定义,3.3.2 恒定磁场的矢量磁位,优越性：

20、可以任意选择规定磁矢位的散度,在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。,如何求出电位函数？,88,2. 磁矢位的微分方程（一般性问题）,在无源区：,89,3. 无限大均匀媒质空间中的问题 （特殊性问题）,类比方法求解,90,3. 无限大均匀媒质空间中的问题(续),对于电流的不同分布形式：,体电流分布,面电流分布,线上的电流,91,4. 存在不同媒质空间中的问题（一般性问题）,磁矢位的边界条件,92,面对的问题！ 分析求解方法： 已有方法及其适用范围？ 利用静电场的特性，研究新方法及其优越性？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,静态磁场,93,面对的问题！ 分析求解方法！ 典型应用： 电感（自感

21、、互感） 关联的一般性物理问题？,静态磁场,94,1. 磁通与磁链,3.3.3 电感,C,回路,磁通,磁链,C,I,电流回路,特征：回路可以是任意几何回路,与所有电流回路铰链的总磁通,特征： 回路是电流回路 计入电流存在的所有回路 每个回路是计入与之铰链的全部磁通,I,95,n: 为磁场铰链的电流与回路电流I 之比 （不一定为整数）,单匝线圈,多匝线圈,粗导线回路,磁链计算,o :外磁链； i :内磁链,96,称为导体回路 C 的自感系数，简称自感。, 外自感,2. 自感, 内自感；,粗导体回路的自感：L = Li + Lo,自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流和磁链的大小

22、无关。,自感的特点：,特征：磁链是I自已产生的,97,回路 C1 对回路 C2 的互感系数，简称互感。,3. 互感,同理，回路 C2 对回路 C1 的互感为,C1,C2,I1,I2,特征： 在C2中看由I1产生的磁链,特征： 在C1中看由I2产生的磁链,纽曼公式,C1 中总磁链:1总 =1+12,C2 中总磁链:2总 =2 +21,思考： 1总 =？； 2总 =？,98,4. 纽曼公式的证明,纽曼公式,所以：,同理：,而：,故：,99,面对的问题！ 分析求解方法！ 典型应用！ 关联的一般性物理问题： 磁场能量 电感的储能,静态磁场,100,磁场能量的分布空间,磁场具有能量的实验证据,3.3.4

23、 恒定磁场的能量,哪里有磁场，哪里就有磁场能量！,101,1. 通过磁场分布计算磁场能量,磁场能量密度：,磁场能量：,对于线性各向同性媒质，则有,102,体分布电流时,面分布电流时,回路线电流时,2. 通过磁矢位计算磁场能量,103,3. 通过电感计算磁场能量,电感储能（单个载流回路）：,电感储能（ N个载流回路）：,例如对2个载流回路,104,面对的问题！ 分析求解方法！ 典型应用！ 关联的一般性物理问题！,静态磁场！,105,解：先求长度为2L 的直线电流的磁矢位。电流元 到点 的距离 。则,例 3.3.2 求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿+z 方向流动。,与计算无限长线电荷的电位一

24、样，令 可得到无限长线电流的磁矢位,106,解：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I ，由安培环路定理,处面元的磁通为,例3.3.4 求同轴线单位长度的自感。,得,则其磁链为,107,因此内导体中总的内磁链为,故单位长度的内自感为,再求内、外导体间的外自感。,则,故单位长度的外自感为,单位长度的总自感为,108,例3.3.5 计算平行双线传输线单位长度的自感。（D a ）,外磁链为，,解 应用安培环路定理和叠加原理 可得，,于是单位长度的外自感为，,109,两根导线单位长度的内自感为,故得到平行双线传输线单位长度的自感为,110,例3.3.8 试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。,

25、解：由安培环路定理，得,111,三个区域单位长度内的磁场能量分别为,112,单位长度内总的磁场能量为,单位长度的总自感,内导体的内自感,内外导体间的外自感,113,分类分析求解静态电磁场问题,静态电场,按场的类型,静态磁场,114,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,直接针对场量计算的静态电磁场分析方法,115,电位函数满足Poisson方程,基于电位求解分析静态电场问题的方法,电位的边界条件,通过位函数间接计算静态电磁场的分析方法,116,磁矢位的边界条件,磁矢位函数满足Poisson方程,基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法,117,具有强对称性的问题,无限大的均匀媒

26、质空间中的问题,已经学习掌握的分析能力,待求场量或位函数具有单一坐标变量依赖的特征！,（一维问题）,（包括高维问题）,118,对于高维问题(多自变量) 如何着手分析？ 求解边值问题！ 边值问题的描述 边值问题的解法,119,3.4 静态场的边值问题,讨论内容 3.4.1 边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理,边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的 泊松方程或拉普拉斯方程,120,求解边值问题： 边值问题的描述 边值问题的解法,121,3.4.1 边值问题的类型,给定,第一类边值问题（或狄里赫利问题）,给定,给定,第三类边值问题（或混合边值问题）,第二类边值问题（或纽曼问题）,V：求解域

27、S：V的包围面,122,自然边界条件 （无界空间）,要求：掌握用解边值问题的思想求解 任意复杂问题的数学描述方法,123,例：,（第一类边值问题）,（第三类边值问题）,例：,124,求解边值问题： 边值问题的描述 边值问题的解法 镜象法 分离变量法 有限差分法 .,125,在求解域V内保持待求量的方程不变，同时，在V的包围边界面S上保持给定的 或 的边值不变，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 内的解惟一。,3.4.2 惟一性定理,惟一性定理的重要意义,给出了边值问题具有惟一解的条件,为求解场问题的各种求解方法提供了理论依据,为求解结果的正确性提供了判据,惟一性定理的表述,V：求解域 S：V的包

28、围面,126,3.5.1 镜像法的基本原理 3.5.2 接地导体平面的镜像 3.5.3 导体球面的镜像 3.5.4 导体圆柱面的镜像 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.5.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像,3.5 镜像法,127,1. 问题的提出,几个实例 接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。,q,q,非均匀感应面电荷,等效电荷,3.5.1 镜像法的基本原理,128,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？,129,2. 镜像法的原

29、理,方法： 在求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电荷的作用,3. 镜像法的理论基础,目的： 使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题,解的惟一性定理,130,像电荷的个数、位置及其电量大小确定“三要素”,4. 镜像法应用的关键点,5. 确定镜像电荷的两条原则,明确等效求解的“有效场域”,镜像电荷的确定,像电荷必须位于求解域以外,像电荷的个数、位置及电荷量的大小的选择目标 是保持问题的边界条件不变,131,1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像,满足原边值问题，所得的结果正确！,3.5.2 接地导体平面的镜像,镜像电荷,电位函数,因z = 0时，,有效区域,132,求接地平板导体上的感

30、应电荷面密度和总电荷量,q,导体平面上的感应电荷密度为,导体平面上的总感应电荷为,133,2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像,镜像线电荷：,电位函数：,边值 问题,当z = 0 时，,满足原边值问题， 所得的结果正确！,134,3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,q对于平面1: 有镜像电荷q1=q，位于(d1, d2 ),q对于平面2: 有镜像电荷q2=q，位于( d1, d2 ),求得电位函数为：,q1对于平面2及q2对于平面1: 有镜像电荷q3=q，位于( -d1, d2 ),3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。,要满足在导体平

31、面上电位为零，则必须引入3个镜像电荷。如图所示。,对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为 ，则所有镜像电荷数目为2n-1个。,对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。,连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。,137,例3.5.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？,解：,138,3.5.3 导体球面的镜像,1. 点电荷对接地导体球面的镜像,方法: ?,问题：,边界条件！,139,像电荷的电量,常数,140,可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。,求球面上的感应电荷密度和总电荷,导体球面上的总感应电荷为,球面上的感应电荷面密度为,141,点电荷对接地空心导体球壳的镜像,| q|q| 与外半径 b 无关（为什么？）,142,感应面密度为：,导体球内表面的总感应电荷为,求球壳内表面上的感应电荷密度和总