chapter1-2012--复变

1、复变函数,2012 年,李庆娜,思考： 为何要研究复变函数？ 复变函数的作用有哪些？,16世纪，解代数方程时引入复数.,17世纪，实变量初等函数推广到复变量的情形.,18世纪，达朗贝尔与欧拉逐步阐明复数的几 何、物理意义.,19世纪，理论形成：柯西、维尔斯特拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的几何性质.,20世纪，发展为多个数学分支,对现代数学的发展产生了深刻影响.,世界著名数学家 M.Kline指出：19世纪最独特的数学创造是复变函数理论。 就象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，复变函数理论几乎统治了19世纪。 当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的

2、数学分支，并且称为那个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。,第一章 复数及复平面,1 复数及其几何表示,一、复数域,二、复平面,三、复球面及无穷大,1、复数域,1.1 虚单位:,对虚数单位的规定:,(2) i 可以与实数进行四则运算,思考： 复数在其他领域的应用，举一到两个例子说明,虚数单位的性质:,1.2 复数的代数形式的定义:,虚部 记做：Im z=y,实部 记做：Re z=x,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等,注：两个数如果不全是实数, 就不能比较大小,设：z1=x1+i y1 z2=x2+i y2,1.3 复数的代数运算,1. 两复数的和:,2. 两复数

3、的积:,3. 两复数的商:,1.复数的减法运算是加法运算的逆运算,2.复数的除法运算是乘法运算的逆运算,3.复数的四则运算与实数的四则运算保持一致,1.4 共轭复数:,共轭复数的性质:,1.5 复数的Hamilton形式的定义,1835年， Hamilton给出如下定义： 称一个有序数对z=(x,y)为一个复数, 其中x,y为实数. (x,y)=x+iy 虚单位 (0,1)=i,定义四则运算:,2、复平面,复数的向量表示法,对应关系,复数z 复平面上的点 复数z 复平面上的向量 注：这里向量指起点在原点的向量,复数的模与辐角,模的性质,复数的辐角:,21,辐角的主值,三角表示法,定义,复数可以

4、表示成,指数表示法,复数的加减法与相应的向量加减法一致.,重要不等式：,设 则有,例1 试用复数表示圆的方程：,其中 a,b,c,d 是实常数.,复数的乘幂与方根,27,1) 乘积与商,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,则有,几何意义,28,29,两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,则有,例2,证,利用上述结果，证明,提示： 利用,32,例3 （1）做出过复平面C上不同两点a，b 的直线,z的特征：z-a与z-b的夹角为0或,即,从而直线为,例3 （2）做出过复平面C上不共线三点a，b c的圆,提示：

5、向量z-a及z-b的夹角等于向量c-a及c-b的夹角 或者与它互补,即,2) 幂与根,(a) n次幂:,(b) 棣莫佛公式,35,3、 复球面及无穷大,(1) 复球面,单位球面S： 球极N: （0,0,1） 复平面上点A：（x,y,0） 球面上点A： (x,y,u),球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,(2) 复球面的定义,用来表示复数的这个球面称为复球面.,全体复数与复球面-N成一一对应关系.,42,(3) 扩充复平面的定义,规定: 北极N与一个模为无穷大的假想点对应,这个假想的点称为“复数无穷远点” 记作.,复平面加

6、上后称为扩充复平面，记作C 扩充复平面的点与复球面S的点一一对应,例4 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,例5,求下列方程所表示的曲线:,解,化简后得,例6,解,2 复平面的拓扑,50,一、区域的概念,1. 邻域:,说明,51,2.去心邻域:,说明,52,3.聚点、内点:,4.开集:,如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为开集.,53,5.区域:,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(1) D是一个开集；,(2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,6.边界点、边界:,

7、设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属于D, 但在 P 的任意小的邻域内既有D中的点,又有D外的点，这样的 P 我们称为D的边界点.,54,D的所有边界点组成D的边界.,说明,(1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,(2) 区域D与它的边界一起构成闭区域,55,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,7.有界区域和无界区域:,56,(1) 圆环域:,课堂练习,判断下列区域是否有界?,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 带形域:,答案,(1)有界; (2) (3) (4)无界.,57,二、单连通域与多连通域,1. 连续曲线:,平面曲线的复数表示:,58,2.

8、 光滑曲线:,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线.,59,3. 简单曲线:,没有重点的连续曲线 C 称为简单曲线(或若当曲线).,60,换句话说, 简单曲线自身不相交.,若当定理:,简单闭曲线 将复平面分成两个互不相交的区域.,内部,外部,边界,61,4. 单连通域与多连通域的定义:,复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域.,单连通域,多连通域,62,例1,指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.,解,无界的单连通域(如图).,63,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,64,表示到1, 1的距离之和为定值4的点的轨