根轨迹与系统分析

1、根轨迹与系统分析,张浩,2012/11/16,深圳大学,1、关于根轨迹,根轨迹法是一种图解方法，它是当系统的某一参数（通常为增益）从零变到无穷大时，根据开环零、极点的位置信息确定闭环极点变化的轨迹，得到根轨迹图，并利用根轨迹图对系统进行分析和设计。 根轨迹不仅使我们能直观地看到参数变化对系统性能的影响，而且还可用它求出指定参数或指定阻尼比相对应的闭环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出系统的输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。,2012/11/16,深圳大学,2、关于系统性能分析,一个控制系统总是希望它的输出量尽可能地复现给定理想输出量，要求系统响应过程的快

2、速性和平稳性要好一点，要想保证这些要求，闭环系统的零、极点应该怎么分布呢？ 2.1、系统的稳定性 要使系统稳定，闭环零极点都必须在s左半平面上 。再画根轨迹时，我们知道当K趋向于无穷时，可能部分根轨迹会落在右半平面，对于这样的问题，我们要确定根轨迹与虚轴相交点的K值，在这个范围内取值，系统稳定。,2012/11/16,深圳大学,2.2、系统的瞬态特性 主导极点在动态过程中起主要作用，所以在一定条件下，对于高阶系统就可以只考虑瞬态分量中的主导极点所对应的分量，将高阶系统看做一、二阶系统，也就是说做降阶处理。（那些离虚轴近，又构不成偶极子的零极点起主导作用，称为主导极点。） 2.2.1 有主导极点

3、的情形：比如有传递函数 知其有三个极点，S1=-1.5，S2=-8+j6，S3=-8-j6。 很容易看出实数极点S1离虚轴最近，其为主导极点，系统近似化为一阶系统 故系统无超调，调节时间t=3T=2.01s,2012/11/16,深圳大学,从上图可以看出：系统无超调，调节时间约为2s,2012/11/16,深圳大学,2.2.2有偶极子的情形：给定开环传递函数 由于零点z=-0.1和极点p=-0.08距离较近构成偶极子，所以将此偶极子去掉，开环传递函数可以化为 右面为此两开环传函的根轨迹，从根轨迹可以看出，两者相差不大，所以分析系统性能时，偶极子可以去掉。,2012/11/16,深圳大学,2.3

4、、要使系统快速性好，应使阶跃响应中的每个分量衰减的很快，也就是说闭环极点应远离虚轴。要使平稳性好，则复数极点最好位于与负实轴成45夹角线以内。例如，二阶系统共轭复数极点位于45线上时，对应的阻尼比为0.707，是一种性能指标下的最优，此时系统的平稳性和快速性都较理想。,2012/11/16,深圳大学,以二阶系统为例：开环传函 闭环传函 共轭极点是 根据右图，可以得到闭环极点的张角 为： 为阻尼角，斜线为等阻尼线。,2012/11/16,深圳大学,我们知道二阶系统来说主要的性能指标是超调量和调节时间，得到关系如下： （ 为极点实部） 和 的关系图如下所示,2012/11/16,深圳大学,毫无疑问

5、，由闭环极点组成的根轨迹给我们提供了使闭环极点落入红色区域内的机会。因此，我们可以利用根轨迹来详细分析系统的性能指标。 例如，单位反馈系统的开环传函为 我们可以画出k由0到无穷大的闭环根轨迹如下： 求的两个分离点 d1=-1.172, d2=-6.83. 对应根轨迹和开环增益为 k1=0.343，k*1=0.686 k2=11.7，k*2=23.4 接下来根据根轨迹 进行系统分析。,2012/11/16,深圳大学,当开环增益k*在00.686范围内时，闭环极点为两个负实数， 过阻尼，阶跃响应没有震荡趋势。 当k*在0.68623.4范围内时，闭环极点为一对共轭复数，欠阻尼，其阶跃响应为震荡衰减

6、过程。 当k*在23.4无穷大时，闭环极点为负实数，其阶跃响应成为没有震荡的单调上升过程。 求最小阻尼比时的闭环极点，由 我们可以知道，当阻尼角为45时系统出现最小阻尼比为 对应闭环极点之一s1=-2+j2，求的开环根轨迹增益是k=2，开环增益k*=2k=4。所以，k*=4时，阻尼比为0.707，系统有较好的平稳性和快速性。,2012/11/16,深圳大学,因此，我们可以根据根轨迹求出系统对应的最佳阻尼比，然后求出对应的闭环极点，进而求出系统的开环增益，得出系统在较好平稳性和快速性时的开环传递函数。 另外，也可以根据等阻尼线求在其他阻尼比下的开环传递函数参数。,2012/11/16,深圳大学,附1.去掉偶极子时细化图,2012/11/16,深圳大学,附2.matlab程序,subplot(2,1,1) num=1,0.1; den1=1,1,0 den2=1,2.05,0.1 den=conv(den1,den2) rlocus(num,den) v=-0.6 0.6 -3 3 axis(v) subplot(2,1,2) num=1; den