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1、,第二章 插值法 5 分段低次插值,一、多项式插值的问题,二、分段线性插值,三、分段三次Hermite插值,一、 多项式插值的问题,思考：,对函数,与,求插值多项式，是否多项式的次数越高逼近精度越好？,答案：否！,对,次数越高逼近精度越好,对,次数越高逼近精度越差(龙格现象),如果在区间-5，5上取11个等距节点,下图对,由拉格朗日插值公式可得到f(x)的10次插值多项式P10(x),从图中可以看出，P10(x)仅在区间中部能较好地逼近函数f(x)，在其它部位差异较大，而且越接近端点，逼近效果越差。可以证明：当插值基点无限加密时，Pn(x)也只能在很小范围内收敛，这一现象称为龙格(Runge)

2、现象，它表明通过增加基点来提高逼近程度是不宜的。,为提高插值精度,增加节点,多项式次数增加,龙格现象,拟合效果变差,矛盾！,解决办法：采用分段低次插值,二、 分段线性插值,1.数学描述,设在a,b上给出插值条件：,求一个折线插值函数Ih(x)满足,1Ih(x)是a,b上的连续函数 2Ih(xk)=fk，k = 0,1,n 3Ih(x)在每个小区间xk,xk+1上是线性函数,则称Ih(x)为分段线性插值函数,可否省略？,2. 表示方法,分段表示,3.分段线性插值法举例,在-5,5区间上取5个等分点为插值节点。,解：,分段表示,几点说明：,2可以预见，但n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。,1分段线性插值多项式是分段函数；,3Ih(x)有一个缺点：在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。,下面的分段三次Hermite插值将克服这一缺点。,三、 分段三次Hermite插值,1.数学描述,设在a,b上给出插值条件：,求一个分段插值函数Ih(x)满足,2Ih(x)在每个小区间xk,xk+1上是三次多项式,则称Ih(x)为分段三次Hermite插值多项式,1,2.两种表示方法,分段表示,3.分段三次插值法的优缺点,优点：,1n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。,2因为一阶导数连续，故光滑性较好。,缺点：,需提供插值点处的一阶导数，这在实际工作中较困难。,用较少的 导

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