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文档简介

1、可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,三、可化为齐次方程的微分方程,二、齐次方程,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,典型例题,通解为,解,解,由题设条件,衰变规律,例4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程

2、.,可分离变量,所求规律为,解,例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少?,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,6分钟后, 车间内 的百分比降低到,二、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,例6 求解微分方程,微分方程的解为,解,例7 求解微分方程,解,微分方程的解为,例8 抛物线的光学性质,实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,如图,得微分方程,由夹角正切公式得,分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,三、可化为齐次方程的微分方程,为齐次方程.,（其中h和k是待定的常数）,否则为非齐次方程.,2.解法,1.定义,有唯一一组解.,得通解代回,未必有解, 上述方法不能用.,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量.,解,代入原方程得,思考题 2,求解微分方程,方程,是否为齐次方程?,思考题 1,思考题 1 解答,为所求解.,思考题 2 解答,方程两边同时对 求导:,

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