矩阵论复习题 第二章

1、第二章内部产品空间一、基本要求1.掌握欧氏空间和酉空间的定义和性质，掌握埃尔米特矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中的度量概念。2.掌握线性独立群的施密特正交化和对角化方法，了解标准正交基的性质。3.理解埃尔米特二次型的定义。4.掌握一组基下度量矩阵的概念、标准正交基下度量矩阵的性质以及两组标准正交基下度量矩阵之间的关系。5.理解欧几里得子空间的定义。6.掌握正交矩阵和酉矩阵的定义和性质，理解正交(酉)变换和正交(酉)矩阵的关系。7.掌握对称矩阵和埃尔米特矩阵的定义和性质，理解对称变换和埃尔米特矩阵的关系。8.掌握了矩阵对角化的条件，我们将找到一个正交(酉)矩阵，把一个实对称(埃尔米特)矩阵转化为

2、对角矩阵，我们将找到一组标准的正交基，使线性变换对应的矩阵在这个基下成为对角矩阵。二、基本内容1.内部产品空间如果数域上线性空间中的任意两个向量有一个与之对应的定数，则表示为并满足以下三个条件(1)对称性：这里指对数是共轭的；(2)线性度：(3)正定性：当且仅当那时，它被称为向量和的内积。当时，它被称为欧几里得空间。当时，它被称为单一空间。注意：在中，在，几种常见的内部产品：在(1)中，在，其中。(2)中文、(3)在实多项式空间和上连续函数空间中，函数的内积是2.向量的长度、夹角和正交性长度为1的向量的定义，称为长度，称为单位向量，是的单位向量。长度有三个属性：(1)非阴性：和；(2)同质性：

3、数的绝对值；(3)三角不等式：定理(柯西-施瓦兹不等式)。和之间的角度定义为。在那时，它被称为正交并被记住。如果非零向量组成对正交，也就是说，它被称为正交组；否则，称为标准正交群，即定理(毕达哥拉斯定理)，即。3.标准正交基标准正交基是指由正交单位向量组成的欧氏(酉)空间中的基。构造方法：欧氏(酉)空间中的一个基的施密特正交化可以得到正交基，然后正交基的单位化可以得到标准正交基。线性独立向量到正交向量组的正交化；建立单位化：是标准的正交群。在标准正交组下，向量可以表示为：,坐标表示上的投影长度。4.基的度量矩阵度量矩阵是由行和列元素组成的方阵，在欧氏(酉)空间的基础上，第元素和第元素的内积。设

4、欧氏(酉)空间的一个基数为，那么这个基数的度量矩阵为。基的度量矩阵是阶等于欧氏空间维数的埃尔米特正定矩阵。正交基的度量矩阵是对角矩阵，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵。设酉空间的底是，底的度量矩阵是，底下的坐标(列向量)是和，然后是和的内积。当它是欧几里得空间时，当这个基是标准正交基时，酉空间和的内积和欧氏空间和的内积。如果欧氏空间的两个基是()和()，并且从基()到基()的转移矩阵是，基()的度量矩阵是，基()的度量矩阵是，那么有：(1)。(2)基()是标准正交基的充要条件。(3)如果基()和基()都是标准正交基，那么它们就是正交矩阵。(4)如果基()(或()是标准正交基和正交矩阵，则基()(

5、或基()是标准正交基。5.正交变换和对称变换(一)关于正交变换，以下四种说法是等价的：1)是欧氏空间的正交变换，也就是说，对于任何，都有；2)对任何人来说，都有；3)标准正交基下的矩阵是正交矩阵；4)变换标准正交基()如果是欧氏空间的对称变换，标准正交基下的矩阵是对角矩阵。(4)在欧氏空间中，如果正交变换的特征值都是实数，则是对称变换。6.相似矩阵(1)类似于上(下)三角形矩阵。(2)类似于约当标准型矩阵。(3)酉矩阵类似于上三角矩阵。(4)如果有一个酉矩阵，那么(对角矩阵)。(5)如果所有特征值都是实数，那么存在正交矩阵的充要条件是。(6)实对称矩阵与对角矩阵正交。第三，典型例子例1，在中，

6、让我们分别定义实数如下：(1)；(2)；判断它们是否是中和的内在产物。解(1)假设为知道何时何地，所以实数不是和的内积。(2)取，有因此，实数不是和的内积。在例2中，向量组线性独立的充要条件是。一旦认证方法建立，那么线性独立。那么方法2,也就是说，齐次方程只有零解的充要条件是系数矩阵的行列式，即线性无关性。例3。让欧氏空间中的内积为(1)求基的度量矩阵。(2)通过矩阵乘法计算和的内积。解(1)根据内积的定义计算基的度量矩阵，从度量矩阵的对称性来看，有。(2)和底座下的坐标分别是，那么。例4。欧氏空间中多项式和的内积是,记住子空间。(1)寻找正交基；(2)它被分解成两个正交非零子空间的和。如果假

7、设解(1)，那么存在，即，,那是所以你可以得到它。其中一个基础是，它可以通过正交化得到那么，它就是一个正交基。(2)顺序与、和正交。例5。已知欧氏空间的基的度量矩阵是,用合同变换法得到的标准正交基(用已知基表示)。因为解是对称正定的，所以有一个正交矩阵，使得(对角矩阵)计算还有。然后，可用的标准正交基是。例6:在欧几里得空间中，和之间的距离定义为：保持距离不变的变换是正交变换吗？不一定，例如，媒体向量的平移变换：,虽然距离保持不变，但平移变换不是线性变换，也不是正交变换。例7:让二维欧氏空间中的两个线性独立向量组证明正交变换的存在性，并且证明的充要条件是。证明的必要性是众所周知的，因为它是一个

8、正交变换。充分性定义了一个转换，因此它是线性的和唯一的。下面是一个正交变换。如果它是已知的，那么，假设有然后,也就是说，这是一个正交变换。例8:让它成为欧氏空间中的一组标准正交基，并找到一个正交变换，这样解，所以它是标准正交的，因为它一直是标准正交的，只要它满足，那是得到了解，即标准正交基。因为标准正交基被改变为标准正交基，所以它是正交变换。另一组坐标是，通过。是到正交矩阵的正交变换。它是通过以下方式解决的，那么。例9。让它成为欧几里得空间中的一个单位元素，并定义变换(1)验证是线性变换；(2)验证既是正交变换又是对称变换；(3)验证它是一个特征向量，并找到它相应的特征值。证书(1)已设置，然

9、后是=，这是一个线性变换。(2)因为所以这是一个正交变换。那么，让我们看看因此，这也是一个对称变换。(3)可以通过直接计算得到因此，它是对应于特征值的特征向量。例10。证明了欧氏空间的线性变换是反对称变换，即标准正交基下的矩阵是反对称矩阵的充要条件。证明了一个标准正交基，在此基础下的线性变换矩阵是，即。有必要性被假定为反对称变换证明了一个标准正交基是在这个基下的正交变换矩阵，所以它是一个正交矩阵和一个实正规矩阵。因为的所有特征值都是实数，所以所有特征值都是实数。所以有一个正交矩阵，这使得,其中是特征值。命令,然后是标准正交基，这个基下的矩阵是评注这个例子的结果表明，特征值都是实数的正交变换是对

10、称变换。例12:让欧氏空间的正交变换来构造子空间证据。预认证。如果你接受了，你就拥有了。如果你想要，你就有了因此，因此重新认证，拿着，然后，有,所以，就是，就是，所以。例13:让酉空间中向量的内积是正规的并证明。分析假设向量和向量的内积为,的充要条件是，或。证件师，有,例14:设酉空间中的内积是平凡的，并证明与是正交的充要条件。证书的划分，有,根据实例15的结果，正交性的必要和充分条件是,也就是说，,或者.,那是例15，在中，找到一个单位向量，并且和是正交的。该解与已知向量正交，即齐次线性方程的非零解是单位化，即单位向量。例16:让它成为一维欧氏空间中的线性变换。证明正交变换的充要条件如下。认

11、证的必要性。取充分性，所以有，也就是说，向量长度保持不变，所以这是一个正交变换。例17。对于一个矩阵，找到一个正交(酉)矩阵，并使它成为一个对角矩阵。解是可以得到的，所以特征值是。相应的特征向量是。可以获得正交化；可再利用。对应的特征向量是，可以通过单位化得到,因此，正交矩阵制造。例18，假设它是一个实对称矩阵，并且(也就是，一个幂等矩阵)，它被证明有一个正交矩阵。证明了属于特征值的特征向量是，即存在。因为和，也就是或1。从真正的对称性来看，正交矩阵的存在使得。例19。让它成为欧氏空间的两个子空间，并证明预认证的第一种形式是。假设，那是，然后，或者，然后，那是，所以。也就是说。所以，或者，就是

12、说，所以。因此，第一个公式成立。要应用第一个公式，有,因此，第二个公式成立。例20，(1)是酉矩阵和埃尔米特矩阵，那么它的特征值是1或。(2)如果它是正规矩阵并且它的特征值是酉的。证明(1)由于酉矩阵，的所有特征值都有；如果它是埃尔米特矩阵，它的特征值都是实数，所以它的特征值是1或。(2)因为它是一个正规矩阵及其特征值，所以有一个酉矩阵，这使得,因此，有一个酉矩阵。例21，是一个正规矩阵的阶，是一个特征值，并且证明了和的特征值是。如果证据是正式的，那么,因此，和的特征值都是。例22，设置为序正规矩阵，证明(1)如果有正数，那么。(2)如果，则。(3)如果，那么。证明(1)如果，那么特征值都是零

13、，并且它是一个正规矩阵，它可以被对角化，也就是说，有,因此，有。(2)假设特征值为1或0；酉对角化可以如下：,可用。(3)以及，,通过，获得或，不妨设置，有，因此，有。例23，对于阶埃尔米特矩阵，设特征值为，并证明。证明了埃尔米特二次型必须经过酉变换才能成为标准型,那么，再来一次。设为对应的特征向量，即,所以有。同样的原因是。例24，是一个正规矩阵，证明(1)的特征向量也是特征向量。(2)和长度相等。如果(1)是正规矩阵，则有一个酉矩阵，因此,其中，的特征向量，可以从以上两个表达式中看出，所以，和具有相同的特征向量。(2)通过。证明给我看。例25。它是一个实对称矩阵和正定矩阵。证明了存在相同的

14、可逆矩阵，因此。如果它被证明是一个正定矩阵，那么一定有一个可逆矩阵，所以因为对称矩阵也是对称矩阵，所以有一个正交矩阵,秩序，是有的。还有，就是这样例26，(1)，那么充要条件是列(或行)向量是标准正交向量组。(2)的充要条件是。证书(1)必要性。因为，有,所以你可以得到它这表明矩阵的每个列向量是标准正交向量组，并且可以证明每个行向量是标准正交向量组。充分性如果矩阵的列向量是一个标准的正交向量组，那么因此，我们知道,也就是说，这是一个酉矩阵。同样，行的情况也可以证明。(2)必要性如果矩阵的列向量是一个标准的正交向量组，那么这可以从这里得到。充分性假设因为，有。所以你可以得到它这表明矩阵的列向量是

15、标准的正交向量组。示例27，已知,试着找出一个酉矩阵，这样它就是一个上三角矩阵。首先，得到特征多项式。此时，获得了属于特征值-1的单位特征向量。内积为零的解和方程,找到单位解向量。内积为零的解和方程还获得了单位解向量。所以拿着吧,它可以通过计算得到。纪念,可获得性。对于时间，获得单位特征向量,然后获得与正交的向量。制造,它可以通过计算得到。制造,纪念,然后。例28:让它们都是正规的序矩阵，证明相似性的充要条件是它们与酉矩阵相似。证明的必要性是和都是正规矩阵，所以有正规矩阵，这使得其中是的特征值，是的特征值。它类似于，所以有。这时，它表明它与。充足是显而易见的。例29:已知它是一个实矩阵，必须证明它是一个对称矩阵。可以看出，如果它是一个正规矩阵，那么就有一个酉矩阵，这使得,因此具有。它也是一个真正的矩阵。从上述公式可以看出，它的特征值也是一个实数，所以这个矩阵是一个