考研数学测试卷与答案解析

1、数学入学测试卷答案解析一、选择题（1-8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上。）1、设在内连续，则在内（D ）.A 有界 B 无界 C 存在最大值最小值 D 不一定有界答：选择D.解析：例如在内连续，但是在中无界，正确的说法应该是若在上连续，则在内必有界.2、设曲线与所围成的面积为，则（B ）.A 1 B C D 2答：选择B.解析：先求两曲线的交点得，则，得出.3、设，则下列级数中一定收敛的是（D ）.A B C D 答：选择D.解析：因，有，而收敛，由正项级数的比较审敛法知收敛，故绝对收敛，从而收敛. A、C错，

2、如，B错，如.4、在以下各式中，极限存在，但是不能用罗比达法则计算的是（C ）.A B C D 答：选择C.解析：误用罗比达法则，得，不能由此极限不存在断言原极限不存在.5、曲线积分，其中c是圆心在原点，半径为的圆周，则该积分的值为（C ）A B C D 答：选C.解析：，周长，.6、若向量组线性无关，而线性相关，则下列成立的是（ C）.A 必可由线性表示 B 必不可由线性表示C 必可由线性表示 D 必不可由线性表示答：选择C.解析：由线性无关，所以它的部分组皆线性无关，因此线性无关. 又线性无关，故可有线性表出，从而可由线性表出. 故选C.7、当时，都是线性方程组的解.A B C D 答：选

3、择A.解析：由已知是3个未知量的齐次线性方程组，又其基础解系的两个线性无关的解向量，故其系数矩阵A的秩为1（或为0），故选A.8、设，则的属于特征值0的特征向量是（ B）.A B C D 答：选择B解析：用定义来判断，这里，故计算的值，使的向量就是的属于特征值0的特征向量. 当时，有，故选B.二、填空题（9-14 小题，每小题 4分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。）9、答：. 求解过程： 本题目考查利用罗比达法则求极限，连续三次使用罗比达法则即得结果.10、微分方程的通解为答：该常微分方程是可分离变量的，分离变量后得，两端积分，得出，从而有.因仍是任意常数，把他记作，便得出该方程的

4、通解11、设，则积分答：将二重积分化为累次积分，积分区域为矩形区域.12、设则答：两边先去对数再两边求关于的导数（隐函数求导），整理化简后把代入可得结果.13、计算行列式：2答： 本题考查行列式的计算以及行列式的性质. 求解过程为：14、设，为单位矩阵，则答：. 用初等变换法，记则有，即.三、解答题（15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15、计算二重积分：，其中解：解法一 （先对积分再对积分） . 解法二 （先对积分再对积分） .16、写出下列常见函数的幂级数展开式： 解： 17、设在上连续，在内可导，且有，求证：存在一点，

5、使得证明：令，由题意可得函数在上连续，在内可导，且，故存在一点，使得，即.18、求微分方程的通解.解：特征方程是，其根为则方程的通解为19、写出二次型 的矩阵.分析：已知二次型虽然已经写成矩阵乘法形式，但是不是对称方阵，故不是二次型的方阵，应当把乘出来，再根据二次型各项的系数重新写出二次型所对应的实对称方阵来. 解：由于 故为该二次型的矩阵.20、已知是的一个特征向量，求与的值以及对应的特征值.分析：由题设是方阵的属于某特征值的特征向量，故有，由此得关于的三个方程，三个未知量的其次线性方程组，可解得.解：设是方阵的属于特征值的特征向量，故有，即为于是得解得21、判断级数的收敛性分析：本题目考查级数的收敛性问题，因为已经得知是收敛的，所以可以用比较审敛法来进行判断.解：因为而为收敛的等比级数，故由比较审敛法得出是收敛的.22、设是球面的外侧，计算：分析：由于要求解的是一个第二类曲面积分，并且是一个封闭的球面，所以可以考虑用高斯公式，在计算过程中利用球面坐标变换.解：设为球面所围闭