立体几何中的向量方法：平行与垂直

1、 3.2立体几何中的向量方法 3.2.1平行与垂直关系【基础知识在线】知识点一 空间的方向向量与平面的法向量考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量 利用方向向量与法向量表示空间角 利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系【解密重点难点疑点】问题一：空间的方向向量与平面的法向量 1. 空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定点是直线上一点，向量表示直线的方向，这个向量叫做直线的方向向量. 2.

2、直线，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量.(1)平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量.(2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行.3.平面的法向量的求法（1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可.(2)已知平面内两不共线向量时，常用待定系数法:设法向量由得在此方程组中，对中的任一个赋值，求出另两个，所得即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量.4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 : 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 线线平行：即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线 线线垂直：即：两直线垂直两直

3、线的方向向量垂直 线面平行：即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 线面垂直：即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直 面面平行：即：两平面平行两平面的法向量共线 面面垂直：即：两平面垂直两平面的法向量垂直问题二：空间中线线、线面、面面平行的向量坐标表示 1. 设直线的方向向量分别为，则 线线平行： 2. 设直线的方向向量分别为平面的法向量分别为， 线面平行：3.平面的法向量分别为，面面平行：问题三：空间中线线、线面、面面垂直的向量表示1.设直线的方向向量分别为，则线线垂直：2.设直线的方向向量分别为平面

4、的法向量分别为，线面垂直：3.平面的法向量分别为，面面垂直：【点拨思维方法技巧】一求平面的法向量例1已知平面经过三点，试求平面的一个法向量【思维分析】先求出，设出平面的法向量为，结合向量垂直时数量积为零的性质，联立方程组解题.解析，设平面的法向量为，依题意，即，解得.令.平面的一个法向量为【评析】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，设出平面的法向量,列出方程组，求出的三个坐标不是具体的值，而是比例关系，取其中一组解(非零向量)即可变式训练在正方体中，分别是的中点，求证：是平面的法向量.证明图3-2-1设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则,，,又，平面，是

5、平面的法向量.二.证明平行问题例2在正方体中，是的中点，求证：平面.【思维分析】在平面内找与向量平行的向量，由向量的相等，得线线平行，从尔的线面平行.也可建立空间直角坐标系，求的方向向量和平面的法向量，利用向量的垂直，可得线面平行.证明 方法一 =，又,又平面，平面.方法二 图3-2-2建系如图，设正方体的棱长为1，则可得，.设平面的法向量为，则，得，令，得，平面.【评析】向量法证明几何中的平行问题，可以有两个途径，一是在平面内找一向量与已知直线的方向向量共线；二是通过建立空间直角坐标系，依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直，来证明平行变式训练2已知正方体中，分别在上，且，其中为正方体棱长求

6、证：平面.证明图3-2-3如图所示，建立空间直角坐标系，则故，又显然为平面的一个法向量，而，.又平面，因此平面.三.证明垂直问题例3.已知正方体中，为棱上的动点（1）求证：；（2）若平面平面，试确定点的位置图3-2-4【思维分析】正方体为建立空间直角坐标系提供了有利条件，对于（1），；对于（2），利用已知条件平面平面，通过垂直条件下的向量数量积等于，求得点的位置；取的中点，易证是二面角的平面角，利用向量数量积证明即可解析以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设棱长为（1），设，则，所以，即（2）法一：设的中点为，连接，,则，所以，因为,所以，所以,又，所以,所以,所以是二面角的平面角，因为平面平

7、面，所以，所以，即故当为的中点时，能使平面平面法二：为的中点，证明如下：由为的中点得，设的中点为，连接，,则，所以，则，即又，所以,所以,所以是二面角的平面角，因为，所以，故,即，所以平面平面所以当为的中点时，能使平面平面【评析】利用向量解决立体几何中的线线，线面，面面的位置关系问题一般经过以下几个步骤：恰当建系，求相关点的坐标，求相关向量坐标，向量运算，将向量运算结果还原成立体几何问题或结论变式训练3在正棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，是的重心，分别为上的点，且.求证：平面平面.证明(1)方法一图3-2-5如图3-2-5所示，以三棱锥的顶点为原点，建立空间直角坐标系令，则,， .而平面，平面，

8、又平面，平面平面.方法二 :同方法一，建立空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，则，得，令，得，而显然是平面的一个法向量.又，即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，平面平面.【课后习题答案】练习（第104页）1. (1)答案：平行.提示：.（2） 答案：垂直.提示：,.（3） 答案：平行.提示：.2. 提示：（1）（2）（3）与不垂直，也不平行，与相交.【自主探究提升】夯实基础1.已知若，则的值为( )A.0 B. C. D.8答案:C . 提示：,即， 故,.2. 已知若，则的值为( )A.0 B.6 C.-6 D.6答案:B. 提示： ,. 3平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面

9、与平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D不能确定答案:C.提示：，两法向量垂直，从而两平面也垂直4已知分别是直线的方向向量，若，则()A BC D答案:D提示：，则有，解方程得.5.在正三棱柱中，.求证：.图3-2-6证明:建立空间直角坐标系，设，则，.，,而,即.拓展延伸6下列各组向量中不平行的是（ ）A BC D答案：D. 提示：而零向量与任何向量都平行.7若直线的方向向量为，平面的法向量为，则()A BC D与斜交答案：B.提示：，.8已知，则直线的模为1的方向向量是_答案:.提示：,直线的模为1的方向向量是.9已知平面经过点，且是的法向量，是平面内任意一点，则满足的关系式是_答案:.提示：由题意，即.10若直线是两条异面直线，它们的方向向量分别是和，则直线的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是_答案:(答案不唯一).提示：设直线的公垂线的一个方向向量为，的方向向量分别为，由题意得,即,令，得，.11若，是平面内的三点，设平面的法向量，则_.答案:. 提示： 12.若非零向量则是与同向或反向的( )A.充分不必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.不充分不必要条件答案:A.提示：若，则与同向或反向，反之不成立. 13.如图3-2-7(a)所示，矩形和梯形所在平面互相垂直