单纯形法基本原理及实例演示

1、单纯形法求解动态演示,在求解LP问题时,有人给出了图解法,但对多维变量时,却无能为力, 美国数学家GBDantgig(丹捷格)发明了一种“单纯形法”的代数算法，尤其是方便于计算机运算。这是运筹学史上最辉煌的阶段。,线性规划问题标准型的矩阵形式： Max Z = CX （a） s.t. AX=b （ b） X 0 （c）,a11 a12 . a1n b1 A= a21 a22 . a2n b = b2 am1 am2 . amn bm,一、关于标准型解的若干基本概念,基矩阵 示例:,0,0,0,0,3,2,0,2,0,0,0,1,0,1,0,x1,x2,x4,x3,0,0,1,3,0,0,3,2

2、,1,=,目标函数,约束条件,行列式0 基矩阵,X1,x2,x3为基变量,x4为非基变量,因为B为基, 故有 XB +B-1N XN = B-1b， 解得可行解XB=B-1b-B-1NXN，代入目标函数Z， Z = CB B-1b + (CN- CB B-1N ) XN 令非基变量XN = 0 ，则有 XT = (XB , XN) T =（ B-1b , 0) T Z = CB B-1b,设 A=（B , N）（B为一个基，即线性无关向量组R(A)=R(B)） XT= (XB , XN) T （XB 为基变量，XN为非基变量） C= (CB , CN) （CB 为基变量系数，CN为非基变量系数

3、） 则有： Z= (CB , CN) (XB , XN) T= CB XB+CN XN AX =（ B , N） (XB , XN) T = B XB+ N XN = b,1、单纯形法原理：,Z = CB B-1b + (CN- CB B-1N ) XN,如果CN- CB B-1N小于0，无论XN取任何大于0值，只会让Z变小，因此我们可以通过CN- CB B-1N来判断Z取得是不是最大值。 如果存在一个CN- CB B-1N大于0，则说明Z的值会随着XN增大而增大，说明Z有调整的余地。 定理一：若某个基本可行解所对应的检验向量CN- CB B-1N =0,则这个基本可行解就是最优解。 定理二：

4、若某个基本可行解所对应的检验向量CN- CB B-1N存在一个检验数=0,则该问题有无数多个最优解。 定理三：若某个基本可行解所对应的检验向量Cj- CB B-1Nj大于0，且aij,都小于0，则无解。,为了矩阵形求逆计算方便，一般将B转化为单位矩阵。,将线性规划问题化成标准型。 找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。 计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ，若所有j0，则问题已得到最优解，停止计算，否则转入下步。 在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk0，则此问题是无界解，停止计算，否则转入下步。 根据maxjj0=k原则，确定xk为换入变量(进基变

5、量)，再按规则计算：=minbi/aik| aik0=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。 以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即aik变为1，同列中其它元素为0，转第 步。,2、单纯形法的计算步骤,线性规划的例子,线性规划-标准化,引入变量：s1,s2,s3,提取系数，填入表格：,s.t.,C向量,CB,CN,XB,XN,基B,N,= CB B-1b + (CN- CB B-1N ) XN,每个非基变量的检验值,初始单纯形表,初始单纯形表,目标函数系数区,约束条件系数区,右端系数,检验系数区,基变量区,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,0,0,0,0,0,初始单纯形表,50,初始单纯形表,可行解XB=B-1b-B-1NXN=0,初始单纯形表,可行解XB=B-1b-B-1NXN=0,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,x1,50,x1,50,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯