【数学】3.4 生活中的优化问题举例 课件1(人教A版选修1-1).ppt

1、第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例,一、如何判断函数的单调性？,f(x)为增函数,f(x)为减函数,二、如何求函数的极值与最值？,知识回顾,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题.,知识背景,例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,图3.

2、4-1,解:设版心的高为 m,则版心的宽为 m，此时四周空白面积为,例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？,-,+,减函数,增函数,-1.07p,解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是,背景知识,1、当半径为2c

3、m时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。,从图中可以看出:,从图中，你还能看出什么吗？,例3,下文请看本节教材,3.磁盘的最大存储量问题,解：存储量=磁道数每磁道的比特数,设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储人行信息，所以 磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相 同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即 每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量,（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.,(2)为求 的最大值，计算,令,解得,因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大

4、存储量为,由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：,优化问题,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。,1:在边长为60cm的正 方形铁皮 的四角切去相等的正方形,再把 它的边沿虚线折起(如图),做成一 个无盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0x60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很

5、小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积16000cm3.,练习,2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省?,解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2rh+2r2.,由V=r2h,得 ,则,令 ,解得 ,从而 ,即h=2r.,由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.,答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.,解:设B(x,0)(0x2), 则 A(x, 4x-x2).,从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,令 ,得,所以当 时,因此当点B为 时,矩形的最大面积是,4:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.,解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.,设 ,由x,y为正实数得:,设,令 ,得 又,又f(0)=f()=0,故当 时,5:证明不等式:,证:设,