前面讨论了数列xnf.ppt

1、前面讨论了数列xn=f (n)的极限, 它是函数极限中的特殊情形, 特殊性在于: n只取自然数, 且n趋于无穷大.,现在讨论y=f (x)的极限, 自变量x大致有两种变化形式. (1) x, (2) xx0 (有限数).,并且, x不是离散变化的, 而是连续变化的.,第一节函数的极限,一、x时, f(x)的极限,定义1. 设f (x)在(M, +) 内有定义,也可记为 f (x)a, (x+),若 0, X 0, 当xX (或xX)时, 相应的函数值f (x)满足| f (x)a |.,则称常数a为f (x)当x+ 时的极限,记作,(或(),(或x),也可记为 f (x)a, (x),此时也称

2、当x+(x)时, f (x)的极限存在.,否则, 称它的极限不存在.,若 0, X 0, 当xX (或xX) 时, 有|f (x)a |.,若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,注1.,将这个定义和数列极限定义相比较, 就是将xn=f (n)换成了f (x). 将“ 正整数N”换成“ 实数X 0”.但是, 数列极限中n是离散变化的, 而这里x是连续变化的.,证: 0 1, 要使|ax0 |=ax.,看图.,y=ax,1,x,x,y,只须,若 0, X 0, 当xX (或xX) 时, 有|f (x)a |.,定义2. 设f (x)在(, M) (M, +)内有定义. 若 0,

3、X 0, 当|x|X时, 相应的函数值满足,| f (x) a | ,则称a为 f (x)当x时的极限,由定义1, 2可知,记作,直观地, 表示当自变量 x 无限增大时, 曲线 y = f (x)上的对应点的纵坐标f (x)会无限接近于数a.,从而曲线 y = f (x)会越来越贴近直线 y=a .,即, 当x无限增大时, 曲线 y = f (x)以直线 y=a为渐近线.,如图,a,x,y,o,y = f (x),任作直线 y = a. ( 0), 都存在X 0. 当 x X 时, 函数 y = f (x)的图形夹在这两直线之间.,如图,直观地, 这个式子表示当 x 0 且 | x |无限增大

4、时, 函数 y=f (x)图象以y = a为渐近线.,按定义,作直线 y = a. ( 0), 存在X 0. 当 x X 时, y = f (x)的图形夹在两直线y = a 之间.,如图,按定义,作直线 y = a. ( 0), 存在X 0. 当 | x | X 时, y = f (x)的图形夹在两直线y = a 之间.,如图,比如, 由 y = arctg x 的图象,x,y,o,y = arctg x,二、当x x0时, f (x)的极限,若当x x0时, 对应的函数值f (x)a, 则称a是f (x)当x x0时的极限,f (x)a可用| f (x) a | 刻划,如何用精确的数学,而x

5、 x0则,可用 |x x0 | 刻划.,语言刻划这一事实?,定义3.设f (x)在x0的某个去心邻域(x0)内有定义,此时也称当xa时, f (x)的极限存在,若 0, 0, 当0|xx0| 时,相应的函数值f (x)满足 | f (x) a | ,则称常数a为f (x) 的当xx0时的极限,记作,否则, 称当xa时, f (x)的极限不存在.,注1. 与数列极限定义比较:,将“ xn=f (n)”换成f (x),将“ N”换成“ 0”,将“ nN” 换成 “ 0|xx0| ”.,若 0, 正数数N, 使得当nN 时, 都有|xna|, 0, 0, 当0|xx0| 时, | f (x) a |

6、 , 则记,而现在 x x0, “ 0|xx0| ” 表示了这一意思.,这是因为在数列极限中. n. 而“ nN” 表示了n充分大这一意思.,注2. 定义中“ 0|xx0| ”. 表示x x0.,例2. 设c为常数, 则,例3.,x x0总表示x无限接近x0, 但x x0这一意思.,因此, f (x)在x0是否有定义与f (x)在x0是否有极限无关., 0, 0, 当0|xx0| 时, | f (x) a | , 则记,例4. 证明,证: 0,要使|f (x)2|, 只须| x 1|.,(本例说明f (x)在x0无定义, 但其极限可能存在),取 =.,则当0|x1| 时, 有|f (x)2|

7、,故, 0, 0, 当0|xx0| 时, 有 | f (x) a | ,看图.,1,2,x,x,x,y,y,y=f (x),x1,1,证： 0,| x31 | = | (x1)(x2+x+1) | = | x1 | | x2+x+1 |,因x1, 故不妨设 0 | x1 | 1,即 0 x 2,故 | x2+x+1 | = x2+x+1, 4+2+1=7,从而 | x31 | 7 | x1 |.,例5.,考虑,要使|x31|, 只须7|x1| , 即|x1| 即可.,取 = min ( , 1 ),则当 0 |x1| 时,(有|x 1|1及|x1| ),有 |x31| .,例6. 证明,证:

8、注意到不等式|sinx| | x |, 0,要使|sinx sinx0| , 只须|x x0| ,取 = ., 0, 0, 当0|xx0| 时, 有 | f (x) a | ,(本例说明sinx和cosx在x0处的极限值就等于它在x0处的函数值。),证: 0,要使 | lnxlnx0 |,或,x0e- x x0e-,即只须 x0(1e- ) xx0 x0(e1).,取 =minx0(1e- ), x0(e1 ),则当0 | xx0 | 时,(有 xx0 x0(e1),x0(1e- ) xx0),例7.,有 | lnx lnx0 | .,从本例可见,一般, 与 和 x0 有关,对同一个, 当 x

9、0 不同时, 可能不同。,曲线 y = f (x)上对应点的纵坐标会无限接近于 a .,即,如图,定义4：设f (x)在x0的右边附近(左边附近)有定义，若 0, 0. 当0xx0 (或0 x0 x ) 时，有,则称a为f (x)当xx0的右极限(或左极限), 记作,左、右极限,即，f (x)在点x0处的极限存在的充要条件是f (x)在x0的左、右极限存在，并且相等。,定理1., 0, 0, 当0|xx0| 时, | f (x) a | , 则记,若 0, 0. 当0xx0 (或0 x0 x ) 时，有,解：,由于当x0时, 对应的函数值f (x) =x.,由于当x0时, 对应的函数值f (x

10、) = sinx.,f (x)是一个分段函数，x=0是这个分段函数的分段点. 对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论.,例9. 设,左、右极限存在, 但不相等,解：,以后, 常用下列记号表示函数的左, 右极限,看图,x0+,cosx,x0,1,y,y,定理2.,定理3.,三、函数极限性质,推论1:,推论2.,(1) 若存在0, 使当0|xx0| 时, 有 f (x)g(x).,当 0 |xx0| 时, 有 f (x) g(x).,(2),则存在 0,证: (1) 由于当 0 |xx0| 时, 有 f (x) g(x).,所以, 若记 F(x) = f (x) g(x),则当 0

11、|xx0| 时, 有F(x)=f (x)g(x)0.,由推论1及第四节极限的运算法则,有,从而,(2) 自证,当 x 时情形类似, 自述, 自证.,定义5:若存在x0的某去心邻域(x0)，使得f(x)在 (x0)内有界，则称f (x)是x xo时的有界量.,若 0，使得f (x)在(, X)(X, +)内有界,则称 f (x)是x时的有界量.,比如y=x2在定义域(, +) 内是无界的,但在 x=0的某个小邻域内是有界的.,因此,y=x2是x0时的有界量.,比如: y=sinx在(,+)内有界，是x时的有界量. 但,定理4.,定理4的逆命题不成立.,则称f (x)是该极限过程中的一个无穷小量(

12、省去xxo , x的极限符号“ lim” 表示任一极限过程).,定义1. 若lim f (x)=0,第二节无穷大量、无穷小量,一、无穷小量,注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程谈无穷小量,小量, 但,如sinx是x0时的无穷,例：,注2：,注3：0是任何极限过程的无穷小量.,由于limC = C(常数), 所以, 除0外的任何常数不是无穷小量.,是该极限过程中的无穷小量. A为常数.,0, 0, 当0|x x0| 时,有|f (x) A| ,定理1.,证：,类似可证x时情形.,定义2：若 0(无论多么大),记作：, 0(或X0), 当0X)时，有|f (x)|M,则称f (x)是

13、x x0(或x )时的无穷大量.,二、无穷大量,若以“ f (x)M ”代替定义中的 “|f (x)|M ”, 就得到正无穷大量的定义.,若以“ f (x)M ”,就得到负无穷大量的定义.,分别记作：, 0, 0(或X0), 当0X)时，有|f (x)|M,x,x,y,y,x1+,x1,例1：,证：,例2: 试从函数图形判断下列极限.,解： (1),x,y,y = tgx,x,y,(2),x,x,y,y,x+,x,注1：若在定义2中，将“ f (x)” 换成“ xn” ,注2：若lim f (x)=,将“ X” 换成“ N” ,将“ x” 换成,就得到数列xn为无穷大量定义.,“n”,则表示在

14、该极限过程中f (x)的极限不存在., 0, X0, 当|x|X 时, 有|f (x)|M,注3：不能脱离极限过程谈无穷大量.,注4：无穷大量一定是无界量,任何常量都不是无穷大量.,但无界量不一定是无穷大量.,说明0, x0(, +)，使得|x0sinx0|M即可.,例3：,解：,例4：,定理2：在某极限过程中, 若f (x)为无穷大量, 则,反之, 若f (x)为无穷小量,三、无穷小与无穷大量的关系,证：只证两个无穷小量的情形.,设当xx0时,(要证(x)(x)为无穷小量),0,(x )0, (x )0,四、无穷小量的运算定理,定理3：有限个无穷小量的代数和为无穷小量.,故(x) (x)是无

15、穷小量.,注：定理3中“有限个”不能丢，无限个无穷小量的和不一定是无穷小量,比如：,定理4：,若(x)是某极限过程中的无穷小量, f (x)是该过程的有界量, 则f (x)(x)为该过程的无穷小量.即, 有界量与无穷小量之积为无穷小量.,证：,推论：设(x), (x)是某极限过程中的无穷小量, C为常数.,则(x)(x), C(x)都是无穷小量.,例2：,解：,1. ，都不一定是无穷大量，也不一定是无穷小量.,2. 0, (有界量)不一定是无穷大量，也不一定是无穷小量(其中0表无穷小量).,3. 无穷大量是无界量,但无界量不一定是无穷大量.,五、无穷大量的运算性质,4. (+)+(+) = +

16、, ()+()= .,5. =, (有界量) = ， 常量 = .,6. C = (其中C等非0常量).,定理1. 若limf (x)=A, limg(x)=B存在, 则,(1) limf (x) g(x) =,limf (x)limg(x) =,AB,(2) limf (x) g(x) =,limf (x) limg(x) =,A B,(3),第三节极限运算法则,一、极限四则运算法则,证: (2) 因limf (x)=A, limg(x)=B, 均存在,则f (x)=A+(x), g(x)=B+(x).,从而,f (x) g(x)=,A+(x)B+(x),= AB+A(x)+ B(x)+(x

17、)(x),得lim f (x) g(x) = AB,同理可证(1), (3).,推论: 设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则,(1) limCf (x) = C limf (x),(2) limf (x)n = limf (x)n,例1.,解: 由于,= 26 = 4,= 2 23 + 22 4 =16,例2.,解: 由定理1及其推论, 有,例3.,更一般的, 以后将有结论: 若f (x)为初等函数. 且f (x)在点 x0处有定义. 则,比如:,例4.,解: 将x=1代入分母, 分母为0, 不能用例3或定理1(3)的方法求极限.,想办法约去使分子分母都为零的因子x1.,有,

18、例5.,解: 将x=0代入. 分子, 分母都为0. 不能用定理1(3). 想法约去零因子x.,为此, 有理化.,例6.,解: 这是有理函数. 当x时的极限问题. 分子, 分母的极限都为. 不存在. 不能用定理1(3).,同除以分母的最高次幂x2.,将本题改为,x3,= 0,x3,= ,改为,例7.,则,总结: 设f (x), g(x)为多项式.,=,例8.,解: 这是两个无穷大量之差的极限问题. 无穷大量的和, 差不一定是无穷大量.,这类问题, 称为“ ”型.,通分,例9.,解: 这是两无穷大量之差的问题. 即“ ” 型.,对无理函数, 可考虑有理化.,解: 这是一分段函数. 分段点x=0.,

19、在分段点处极限要分左, 右极限讨论.,分段函数,=2,= b,故, 当b=2时, f (0+0) = f (00)= 2,例11.,证: 先用“单调有界数列必有极限” 证明,(1)单调性.,= xn1,故xn单调递增.,(2)有界性.,故 xn有界.,0 xn,综合(1),(2), 知xn单调, 有界.,由于,从而,A2 = a+A,解出A.,因xn0, 由保号性定理, A0,从而,即,求复合函数的极限时, 常可用“ 换元法” 简化运算.,二、复合函数的极限,例12.,解: 直观地看.,当x1时, lnx0, 而当lnx0时, cos(lnx)cos0=1.,或者, 令u=lnx,当x1时,

20、u0,代入,这种方法称为换元法. 使用时, 将原式中所有x换写成u的表达式. 极限过程xx0换成相应的u的极限过程.,定理2. 设y =f (x)由y =f (u), u=(x)复合而成.,且在x0的某去心邻域 (x0)内, (x) u0,证 (略).,例13.,解: (1) 令u=sinx.,代入.,(2) 也可直接利用例3后介绍的结论, 有,例14.,解:,代入,x0+,定理1. 设在点x0的某去邻域 (x0, 1)内, 有 F(x)f (x)G(x),则,第四节函数极限存在定理,一、夹逼定理,证: 0.,当0|xx0|2时, 有|F(x)A|且|G(x)A|.,从而, 20.,故 A F

21、(x) , G(x) A+,即 |f (x)A| .,注: 定理对x的情形也成立.,定理2.,其中a可为有限数，也可为。,证：只就a为有限数的情形证明.,必要性：设，并任取数列xnx0 (xnx0, xn D ( f ), n+)。,(要证 0，N0, 当nN时，有|f (xn)a|),二、函数极限与数列极限的关系,的充要条件是任何以x0为极限,的数列xn(xnx0, xnD(f ), 有,由于,则 0, 0, 当0 xx0 时,有f (x)a .,由于xnx0(n+).,当nN时, 有0 |xnx0 | (xn x0).,从而，对 0, N 0, 当 n N 时,有,故,所以，对上述0,N0

22、, f (xn)a ,充分性：用反证法.,若对任何数列 xn x0 (xnx0), 有,但,(注意，) 就是“0 0, 对 0, 存在xD( f ), 虽然0 xx0 , 但 f (x) a .”,对上述00, 取 依次等于1, 可设相应的x1, x2, , xn, , 满足,0 x1x0 1, 但 f (x1) a 0,0 x2x0 , 但 f (x2)a 0,0 xnx0 , 但 f (xn)a 0,左边一列说明 xnx0(n+, xnx0),此与条件矛盾.,故充分性成立.,右边一列说明,f (xn)不以a为极限,例1. 证明不存在.,证：只须证可取两个数列 xn0,的极限不相等即可.,如图, 若当 xx0 时, f (x) a .,显然, 当xnx0 时, f (xn) a .,反过来, 若对任意的,数列 xn , xnx0 (xnx0), 有 f (xn) a , 则 f (x) a (xx0 ) .,注: 1. 若对某个数列 xnx0 (xnx0), 有 f (xn) a , 不能得出 f (x) a (xx0 )的结论.,考虑 x = 0处的极限.,2. 该定理对 x 也成立.,定理3.的充要条件是0, 0, 当x1, x2D(f )且0 x1x0, 0 x2x0 时, 有 f (x1)f (x2) .,证：略,x时的柯西收敛准则可依照定理3给出.,三、柯西