弹性力学课件.ppt

1、第一章 绪论,1.1 弹性力学的内容 1.2 弹性力学的几个基本概念 1.3 弹性力学的基本假定,1.1 弹性力学的内容,1. 弹性体力学：简称弹性力学，有称弹性理论 （Theory of Elasticity)，研究弹性体由于受外力、边界 约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。,研究对象：弹性体,研究目标：变形等效应，即应力、形变和位移。,2. 对弹性力学、材料力学和结构力学作比较,弹性力学的任务和材料力学, 结构力学的任务一样,是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移, 校核它们是否具有所需的强度和刚度, 并寻求或改进它们的计算方法.,(1)研究对象： 材料力学主要研究杆件在

2、拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力、形变和位移； 结构力学研究杆系结构，如桁架、钢架或两者混合的构架等； 弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外（对杆件进行进一步的、较精确的分析），还研究平面体、空间体，板和壳等。,(2)研究方法: 弹性力学与材料力学有相似，又有一 定区别。,弹性力学：在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出精确解答。,材料力学：虽然也考虑这几个方面的的条件，但不是十分严格。,一般地说, 由于材料力学建立的是近似理论, 因此得出的是近似的解答。但对于细长的杆件结构而言, 材料力学力

3、解答的精度是足够的, 符合工程的要求。,弹性力学:梁的深度并不远小于梁的跨度，而是同等大小的，那么，横截面的正应力并不按直线分布，而是按曲线变化的。,例如：,材料力学:研究直梁在横向载荷作用下的平面弯曲，引用了平面假设，结果：横截面上的正应力按直线分布。,这时，材料力学中给出的最大正应力将具有很大的误差。,结构力学：研究杆系结构，弹性力学通常并不研究杆件系统，但在20世纪50年代中叶发展起来的有限单元法中(基于弹性力学的理论)，把连续体划分成有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构力学结合综和应用的良好效果。,弹性力学在土木、水利、机械、航空等工

4、程学科中占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用弹性力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。,1.2 弹性力学中的几个基本概念,弹性力学的基本概念: 外力、应力、形变和位移,1. 外力：体积力和表面力，简称体力和面力,体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。,f : 极限矢量,即物体在P点所受体力的集度。方向就是F的极限方向。,fx , fy , fz：体力分量, 沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负。,量纲：N/m3=kgm/s2m3=kg/m2s2 即：L-2MT-2,面力：分布在物体表面的力，例如流体压力和接触力。,量纲：N/m2=kgm/s2m2=kg/ms2 即：L-1MT-2,

5、沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负。,符号规定:,内力：发生在物体内部的力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。,2. 应力：单位截面面积的内力.,p: 极限矢量,即物体在截面mn上的、在P点的应力。方向就是F的极限方向。,量纲：N/m2=kgm/s2m2=kg/ms2 即：L-1MT-2,应力分量：，,PA=x, PB=y , PC=z,x, y, z, xy, xz, yx, yz, zx, zy,正面：截面上的外法线沿坐标轴的正方向,正面上的应力以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。,负面：截面上的外法线沿坐标轴的负方向,负面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。

6、,正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。,符号规定:,（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）,连接前后两面中心的直线ab作为矩轴，列出力矩平衡方程，得,得:,同理可得:,切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面角线的切应力是互等的(大小相等,正符号也相同)。,可以证明,已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得该点任意截面上的, .因此，此六个应力分量可以完全确定该点的应力状态。,用各部分的长度和角度来表示。,PA=x, PB=y , PC=z,线应变：单位长度的伸缩或相对伸缩,亦称正应变. 用 表示,切应变：各线段之间的直角的改变.用 表示,3. 形变：就是形

7、状的改变。, x: x方向的线段PA的线应变。,xy: y与x两方向的线段PB与PC之间的直角的改变。, : 伸长为正，缩短为负。,量纲：1,符号规定:, : 直角变小为正，变大为负。,可以证明,已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得经过该点任一线段上的线应变 .也可以求得经过该点任意两个线段之间的角度的改变。因此，此六个形变分量可以完全确定该点的形变状态。,4. 位移：就是位置的移动。,任意一点的位移用它在x,y,z三轴上的投影u,v,w来表示.,量纲：L,符号规定:,沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负，,一般而论，弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、形变分量

8、和位移分量都随该点的位置而变，因而都是位置坐标的函数。,1.3 弹性力学中的基本假设,在弹性力学的问题里,通常是已知物体的边界(形状和大小), 物体的弹性常数, 物体所受的体力,物体边界上的约束情况或面力, 而应力分量、形变分量和位移分量则是需要求解的未知量.,一. 研究方法 1.考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。,建立微分方程：根据微分体的平衡条件 ； 建立几何方程：根据微分线段上形变与位移之间的 几何关系； 建立物理方程：根据应力与形变之间的物理关系 。,2.在弹性体的边界上，建立边界条件。,应力边界条件：在给定面力的边界上，根据边界上 的微分体的平衡条件； 位移边界

9、条件：在给定的约束边界上，根据边界上 的约束条件。,求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。,为使问题求解成为可能，通常必须按照所研究的物体性质，以及求解问题的范围，略去一些影响很小的次要因素，作出若干基本假定。,二. 弹性力学的基本假定,(3)均匀性 假定物体是均匀的.,(1)连续性 假定物体是连续的.,(4)各向同性 假定物体是各向同性的.,符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体.,(2)完全弹性 假定物体是完全弹性的.形变与引起 变的应力成正比,即两者成线性关系.,(5)小变形假定 假定位移和形变是微小的.,它包含两个含义：

10、, 假定应变分量 1.,例如：普通梁中的正应变 10-3 1,切应变 1;, 假定物体的位移物体尺寸.,例如：梁中挠度 梁的高度,这样，在建立平衡微分方程时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，从而使方程大为简化；,在建立几何方程时，由于 1，可以在同一方程中只保留形变成分的一次幂，而略去二次幂及更高次幂，从而使几何方程成为线性方程。,例如：对于微小转角a，,对于微小正应变e，,这样，弹性力学里的几何方程和微分方程都简化为线性方程，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。,第二章 平面问题的基本理论,2.1 平面应力问题与平面应变问题 2.2 平衡微分方程 2.3 平面问题中一点的应

11、力状态 2.4 几何方程 刚体位移 2.5 物理方程,2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 相容方程 2.10 常体力情况下的简化 应力函数,2.1 平面应力问题与平面应变问题,如果弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。,一.第一种平面问题平面应力问题,因板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿板厚连续，有,由切应力互等定理：,只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即 x, y, xy= yx,所以这种问题称为平面应力问题。,1.设薄板的厚度为d, xy 为中面,z轴垂直于xy面.因为板

12、面上,不受力， 所以,2.由于物体形状和外力、约束沿z向均不变化, 故x, y, xy 只是x,y的函数, ex, ey, gxy 也只是x,y的函数,但位移与z有关。,二.第二种平面问题平面应变问题,2.2 平衡微分方程,在弹性力学中分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。,首先考虑平面问题的静力学方面，建立微分体的平衡微分体方程应力分量与体力分量之间的关系式。,从图示薄板或柱形体中，取出一个微小的正六面体，边长为dx, dy, 在z方向的尺寸取为1个单位尺寸。,一般而论 , 应力分量是位置坐标x和y的函数, 因此, 作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相

13、同, 有微小的差。,略去二阶及二阶以上的微量后得：,例：设作用于左面的正应力为x，则右面的正应力由于 x 坐标的改变而改变，可由泰勒展开得：,若x为常量, 则 , 左右两面都是x,即为均匀应力。,泰勒展开式,同理，设左面的切应力为xy，则 右面的切应力为,设上面的正应力及切应力为x, xy，则下面的正应力其切应力为,因六面体是微小的, 所以, 各面的应力可认为是均匀分布, 作用在对应面中心. 所受体力也可认为是均匀分布, 作用在对应面中心。,首先，以过中心C 并平行于z轴，列出,将上式除以dxdy, 得,令dx,dy 趋近于零，得,这正是切应力互等定理。,其次，以x轴为投影轴，列出,将上式除以

14、dxdy, 得,同样，以y轴为投影轴，列出 可得一个相似的微分方程,于是得出应力分量与体力分量之间的关系式平面问题中的平衡微分方程。,这2个微分方程中包含3个未知函数x, y, xy=yx ,因此，决定应力分量的问题是超静定问题，必须考虑几何方程和物理学方面的条件，才能解决问题。,对于平面应变问题, 微分体一般还有作用于前后两面的正应力z, 但不影响上述方程的建立, 上述方程对于两种平面问题同样适用。,2.3 平面问题中一点的应力状态,应力状态就是指一点处所有斜截面上的应力的集合。,假定已知任意点P处坐标面的应力分量x, y, xy=yx ,求经过该点且平行于z轴的任意斜截面上的应力。,用n代

15、表斜截面AB的外法线方向，其方向余弦为,设AB=ds, 则 PA=lds, PB=mds, SPAB =ldsmds/2,设垂直于平面的尺寸为1。,由 得,其中 fx 为x方向得体力分量。,将上式除以ds, 然后命ds 趋于0（AB0）得,同理由 得,一.求任意斜截面上的正应力 n 和 切应力 n,令斜截面得正应力为n, 切应力为n.,由px, py 投影得,可见，已知点P处的应力分量x, y, xy=yx ,就可求得经过该点的任意斜截面上的正应力 n 和 切应力 n 。,二.求主应力及主应力的方位应力主向,应力主面上 = 0， = p,投影得,代入,得,由上两式分别解出 m / l , 得,

16、于是，有,解得,易得,下面求主应力方向,即得,即得,设1与x轴的夹角为1,设2与x轴的夹角为2,由,得,于是有,就是说，1, 2 的方向互相垂直。,从材料力学知识我们知道,与应力主向成450的斜面上。,2.4 几何方程 刚体位移,同理PB的线应变：,PA的线应变：,一.几何方程：任一点的微分线段上的形变分量与 位移 分量之间的关系式。,设,同理PB的转角：,PA与PB之间的转角：,PA的转角：,几何方程：,上列几何方程对两种平面问题同样适用。,二.形变与位移之间的关系,1. 如果物体的位移确定，则形变完全确定。,从物理概念: 当物理变形后各点的位置完全确定, 任一微分线段上的形变（伸缩、转角等

17、）也就完全确定了.,从数学概念: 当位移函数确定时，其导数也就确定了。,2. 当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定。,从物理概念: 在物体内形变不变的条件下, 物体还可以做刚体运动平动和转动, 即还有刚体运动的人任意性.,从数学概念: 由形变分量求位移分量是一个积分的过程，在常微分中，会出现一个任意常数；而在偏微分中，要出现一个与积分变量无关的任意函数。这些任意函数是未定项，这些未定项正是刚体平移和刚体转动量。,若假设 求出相应的位移分量。,代入几何方程：,将前二式对x及y积分，得,F1 及 f2 为任意函数。代入几何方程中的第三式，得,方程左边是y的函数，只随y而变； 而右边是x的函数

18、，只随x而变。,因此，只可能两边都等于同一常数。于是得,积分得,其中u0及v0为任意常数。,代入 得,这就是“形变为零”时的位移，也就是所谓“与形变无关的位移”，因此必然是刚体位移。,下面根据平面运动的原理加以证明。,u0及v0分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体位移，而为物体绕z轴得刚体转动。,当只有u0不为零时，物体内任一点位移分量 .物体的所有各点只沿x方向移动同样距离u0，所以u0代表物体沿x方向的刚体位移。,坐标为(x,y)的任一点P沿y方向移动x, 沿x负方向移动y, 合成位移为,同样, v0代表物体沿y方向的刚体位移。,当只有不为零时, 物体内任一点位移分量,可见, 合成位移的方向与

19、径向线段OP垂直,也就是沿着切向. 因OP线上所有点移动方向都沿着切线, 且移动的距离为, 可见代表物体绕z轴的刚体转动。,既然物体在形变为零时可以有刚体位移，那么，当物体发生一定形变时，由于约束条件不同，可能有不同的刚体位移，为了完全确定位移，就必须有适当的刚体约束条件。,2.5 物理方程,物理方程:应力分量和形变分量之间的物理关系式.,在理想弹性体（满足连续性，完全弹性，均匀性和各向同性）中，物理方程就是材料力学中学过的胡克定律：,物理方程有两种形式： 1. = f () 此式是用应力表示应变，其中应力取为基本未知数，用于按应力求解。 2. = f () 此式是用应变表示应力，其中应变取为

20、基本未知数，用于按位移求解。,胡克定律的一般形式：,E是弹性模量，G是切变模量，又称刚度模量，称为泊松系数，或泊松比。,一.平面应力问题的物理方程,将 代入上式得独立的物理方程,另外：,因z可由x , y求出, 故不作为独立的未知函数。,二.平面应变问题的物理方程,将 代入上式得独立的物理方程,另外：,因z可由x , y求出, 故不作为独立的未知函数。,与平面应力问题的物理方程对比，只需将 E 换为 ， 换为,对于两类平面问题，三套方程除了物理方程中的系数须变换外, 其他平衡方程和几何方程是完全相同的. 三套方程中包含8个未知函数：x, y, xy=yx, x, y, xy及u, v. 还需考

21、虑边界条件, 才能求出这些未知函数.,2.6 边界条件,边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。它分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。,一.位移边界条件,（在su上）,位移边界条件,注意,1.上式要求在s上任一点位移分量必须等于对应的约束位移分量。,（在su上）,2.上式是函数方程，而不是简单的代数方程或数值方程。位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式。,设n为斜截面的外法线方向，其方向余弦,二.应力边界条件,在边界上任一点P取出一个微分体,斜面AB就是边界面, x, y, xy为应力分量边界值。,边界为斜截面时,设 AB=ds ， z 方向厚度为1,

22、由平衡条件，得出微分体的应力分量与边界面上的面力之间的关系：,（在s 上）,除以ds， 并令ds0，得,同理：,于是，得到应力边界条件,3. 在导出应力边界条件时, 只考虑到面力(一阶微量), 不需考虑二阶微量体力。,4. 应力边界条件是边界点上微分体的平衡条件，也属于静力边界条件。,（在s 上）,注意,1.应力边界条件表示边界s上任一点的应力和面力之间的关系。也是函数方程，在s上每一点都应满足。,2.上式中的面力、应力都有不同的正负符号规定，且分别作用于通过边界点的不同面上。,2.边界为坐标面时,若 x=a 为正 x 面，则有,若 x=b 为负 x 面，则有,正负 x 面上的面力分量一般为随

23、 y 而变化的函数。,l =1, m=0,l = 1, m=0,（在s 上）,3.应力边界条件的两种表达方式,(1) 在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件，得出,（在s 上）,(2) 在同一边界面上，应力分量的边界值就等于对应的面力分量。 应力分量的绝对值等于对应的面力分量的绝对值，面力分量的方向就是应力分量的方向。 即数值相同，方向一致。,例如：若边界面 y=c, d 分别为正、负坐标面,在斜截面上：,px, py 为斜截面应力,三.混合边界条件,物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如,（在su上）,另一部分边界则具有已知面力，因而具有应力边界条件,（在s 上）,在同一边界

24、上还可能出现混合边界条件,即两个边界条件中一个是位移边界条件, 另一个则是应力边界条件.,x方向,y方向,x方向,y方向,2.7 圣维南原理及其应用,求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足三套方程，还必须满足边界条件，但要使边界条件得到完全满足很困难。圣维南原理为简化局部边界的应力边界条件提供了有效的方法。,圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力, 变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同，对于同一点的主矩也相同), 那么, 近处的应力分布将有明显的改变 , 但是远处所受的影响可以不计。,1. 圣维南原理只能应用于一小部分边界上，又称为局部边界，小边界或次要边界。,一

25、. 圣维南原理应用的条件,所谓“近处”, 根据经验, 一般地讲大约是变换面力的边界的12倍范围内, 此范围之外可认为是“远处”。,如果将面力的等效变换范围应用到大边界(又称为主要边界)上, 则必然使整个的应力状态都改变了。因此, 不适用圣维南原理。,2.小边界的面力变换为静力等效的面力.,3.经变换后，只对近处的应力分布有明显的影响，但远处的应力几乎不受影响。,(a),(b),(c),例如：,如将一端或两端的F变换为静力等效的力, 如图(b), (c), (d).则只有虚线划出的部分应力分布有显著改变, 其余部分所受影响可不计。,(d),图(d)所示情况，由于面力连续均匀分布，边界条件简单，应

26、力很容易求解并且解答很简单。而其他三种情况，由于面力不连续分布，甚至不知其分布方式，应力难以求解。根据圣维南原理，可将(d)的应力解答应用于其他三种情况。,应用圣维南原理的条件是满足静力等效。即使物体一小部分边界上的位移边界条件不能满足时，仍可以应用圣维南原理。,(e),(d),如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。,这是因为主矢量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是等效的，只在近处产生显著的应力。,例如：,4.圣维南原理还可以推广到下列情形,在应力边界条件上应用圣维南原理, 就是在边界上, 将精确的

27、应力边界条件代之以主矢相同, 对同一点的主矩也相同的静力等效条件。,二.在局部边界上应用圣维南原理,例如，厚度 d=1 的梁，hl, 即左右端是小边界.,严格的边界条件要求,此式要求在边界 x=l 上的每一点（每一y值），应力分量与对应的面力分量必须处处相等。,严格的边界条件要求,这种严格的边界条件是很难满足的。,但 hl, 即左右端是小边界，可以应用圣维南原理，用静力等效条件代替上式：在左右端小边界上使应力的主矢量等于面力的主矢量，应力的对某点主矩等于面力对同一点的主矩（数值相同，方向一致）。,因面力是已知的, 所以面力的主矢量和主矩可求, 因此, 应力的主矢量和主矩的绝对值应分别等于面力的

28、主矢量和主矩的绝对值, 方向与面力的主矢量和主矩一致.,表示为：,如果在边界上直接给出了面力的主矢量和主矩，就可以代替右边各项。,将 与,相比，可以得出：,前式是精确的，而后式是近似的； 前式有两个条件，一般是函数方程；而后式有三 个积分条件，是代数方程。 在求解时，前式难以满足，后式易满足。,在求解弹性力学平面问题时，常在小边界上用近似的三个积分边界条件代替严格的边界条件，使问题的求解大大简化。,2.8 按位移求解平面问题,我们已经建立了弹性力学平面问题的基本方程和边界条件,求解弹性力学的平面问题，即求解：3个应力分量x, y, xy=yx,3个应变分量x, y, xy及2个位移分量u, v

29、的未知函数，这些函数在区域内必须满足基本方程，在边界上必须满足边界条件。,由于未知函数及应满足的方程数目较多，问题难以求解。为此，通常采用类似代数方程中的消元法进行求解。,按应力求解的方法，又称为应力法。它是以x, y, xy=yx 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去u, v和x, y, xy，导出只含x, y, xy=yx的方程和相应的边界条件，并求解出x, y, xy=yx ，再求出x, y, xy和u,v。此法类似于结构力学中的力法。,按位移求解的方法，又称为位移法。它是以u, v为基本未知函数，从方程和边界条件中消去x, y, xy=yx和x, y, xy，导出只含u, v 的方程

30、和相应的边界条件，并求解出u,v，再求出x, y, xy和x, y, xy=yx。此法类似于结构力学中的位移法。,一. 按位移求解平面应力问题的方程和边界条件,1. 取u,v为基本未知函数,由几何方程 看出， x, y, xy就是用u,v表示的。,从物理方程求出x, y, xy = yx：,2. 用u,v表示 x, y, xy,3. 用u,v表示 x, y, xy = yx,4. 求解位移分量的方程,将上式代入平衡微分方程， 得：,这是按位移求解平面问题的基本微分方程，也就是用位移表示的平衡微分方程。,5. 求解位移分量的边界条件,将 代入,化简，得,在S上,这是用位移表示的应力边界条件。这是

31、按位移求解平面问题时所用的应力边界条件。,位移边界条件仍为,在Su上,总结起来，按位移求解平面应力问题时，要使得位移分量在区域内满足微分方程,并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。,在S上,在Su上,用 求得应力分量。,二. 按位移求解平面应变问题的方程和边界条件,平面应变问题与平面应力问题相比，除物理方程不同外，其它方程和边界条件都相同。,只要将上述各方程和边界条件中的E 换为 ， m 换为 ，就可以得出平面应变问题按位移求 解的方程和边界条件。,如果已求得平面应力问题的解答，只需将 E, m 作同样的转换，就可得出对应的平面应变问题的解答。,在位移法中， 是求解位移分量u和v的必须满足

32、的条件，这些条件也是校核u和v是否正确的条件，对已求得的解答，可以利用这些条件进行校核。,三. 位移法优缺点,1. 优点是能适应各种边界条件问题的求解，它是弹性力学的一种基本解法，它在是弹性力学的各种近似数值解法有着广泛的应用。,2.缺点是，从较复杂的方程,在S上,具体求解位移函数时，往往很困难，已得出的函数解答很少。,四.例题,上端固定，下端自由，受自重体力 fx = 0, fy = rg，试用位移法求解此问题。,解：为简化，设 u = 0, v = v(y), 泊松比 m=0, 代入,第一式自然满足，第二式成为,由此解出,将 代入,上下边的边界条件分别要求,将 代入,得 B = 0,得,由

33、此得,再代入,2.9 按应力求解平面问题 相容方程,按应力求解平面问题时，应力分量x, y, xy取为基本未知函数，其它未知函数中x, y, xy 可以简单地用x, y, xy表示，即物理方程。要将位移分量u,v用应力分量x, y, xy表示，需将物理方程代入几何方程，然后通过积分运算求出位移分量u,v. 这种表达较为复杂, 且其中包含了待定的积分项. 从而使 用应力分量x, y, xy表示十分复杂，且很难求解。,所以，按应力求解函数解答时，通常只求解全部为应力边界条件的问题。（s=s, su=0),平衡微分方程中应力分量有3个 x, y, xy，而方程只有2个，因此需从几何方程和物理方程中消

34、去位移分量，导出只含应力分量的补充方程。,一. 推导按应力求解平面问题的方程,1.取x, y, xy为基本未知函数,2.导出求解应力的基本方程,由于位移分量只在几何方程中存在，先从几何方程中消去位移分量。,将 ex 对y 的二阶导数和 ey 对x 的二阶导数相加，得,等式右边 ，于是，得,这个关系式称为形变协调方程或相容方程。,从相容方程看出，连续体的形变分量x, y, xy不是相互独立的，它们必须满足相容方程，才能保证位移分量u,v 的存在。,从而得,例如：取显然不满足相容方程的形变分量,由几何方程中的前两式，得,将 gxy =Cxy 代入几何方程的第三式，得,显然，式(a)和式(b)不能相

35、容，互相矛盾。,故函数x, y, xy不能任意选取，必须满足相容方程。,现在用物理方程将相容方程中的形变分量消去，使相容方程只包含应力分量x, y, xy,对于平面应力问题,将 代入 ，得,利用平衡微分方程消去txy。,将平衡微分方程写成,将二式分别对x及y求导, 然后相加, 并注意txy=tyx, 得,代入,得到用应力表示的平面应力问题的相容方程,将用 代替，得平面应变问题的相容方程,现在，我们得到了求解应力的基本方程,3.应力边界条件（s=s, su=0),在s上,其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。,二.按应力求解平面问题时，应力分量x, y, xy必须满足的条件,1.在区域A内的平

36、衡方程,2.在区域A内的相容方程,3.在边界上的应力边界条件 其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。,在s上,4.对于多连体，还需考虑位移的单值条件（只有一个连续边界的物体单连体）。,此四条件, 是求解应力、 校核应力是否正确的全部条件。对已有的解答，可以用这些条件进行校核。,2.10 常体力情况下的简化 应力函数,很多工程问题中，体力是常量，即体力分量fx和fy不随坐标x和y而变。例如，重力、常加速度下平动的惯性力，都是常量的体力。,常体力下，平面应力问题和平面应变问题的相容方程的右边都为零,拉普拉斯算子,一.常体力情况下方程的简化,注意，体力为常量时，三方程都不含弹性常数，因而得出的应力

37、分量必然与弹性常数无关。由此得出：,在s上,1.对于不同材料， x, y, xy的理论解答相同；用试验方法求应力时，可用不同的模型材料代替。,2.对两种平面问题，应力分量x, y, xy的解答相同，即理论解可互相通用；用模型试验时，可用平面应力问题的模型代替平面应变问题的模型，使模型的制作和加载大大简化。,可见，在体力为常量情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量应满足,在s上,1.先考察平衡微分方程,二. 应力函数,特解可以取为,也可取为,这是一非齐次微分方程组，它的解答是，任一特解和齐次微分方程的通解之和。,对应的齐次微分方程为,现求其通解，根据偏微分方程理论，知,若设函数 f = f

38、(x,y), 则有,假如函数 C 和 D 满足,那么，一定存在某一函数 f , 使得,将齐次微分方程改为,根据上述微分方程的理论，一定存在某一个函数A，使得,也一定存在某一个函数B，使得,由此得,即,因而，有一定存在某一个函数 F (x, y)，使得,将 代入 ； 代入 ；,代入 ，得,将此通解与任一组特解叠加，即得平衡微分方程的全解：,2.应力函数 应满足的条件, 称为平面问题的应力函数，又称艾里应力函数。但它是未知函数。此解答不仅满足了平衡方程，而且使平面问题的求解大为简化：从求解3个应力未知函数，变为求解1个应力函数 。,(1)应力函数 应满足相容方程,上式所表示的应力分量应满足相容方程

39、,将上式代入相容方程，得,fx, fy 为常量,于是上式简化为,将此式展开成为,这就是用应力函数表示的相容方程。由此可见，应力函数应满足重调和方程，也就是它应是重调和函数。,此方程可表示成,(2)应力函数 应满足应力边界条件（假设全部为应力边界条件）,在s上,一般仍用此式表示。,综上所述，在常体力情况下，按应力求解平面问题，可归纳为求解一个应力函数，它必须满足 1.在区域内的相容方程 2.在边界上的应力边界条件(假设全部为应力边界条件) 3.在多连体中，还须满足位移单值条件。,在s上,求出应力函数后，便可求出应力分量，然后再求应变分量和位移分量。,例题,例1：试列出下列问题的边界条件。,(a)

40、,(b),解：,对(a)问题，在主要边界 y=h/2，应精确满足下列边界条件,(a),在小边界(次要边界) x=0, 应用圣维南原理, 列出三个积分近似边界条件, 当板厚=1时,在小边界 x=l 处，当平衡微分方程和其它各边界都已满足条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。,(b),对(b)问题,在主要边界 y=0, b, 应精确满足下列边界条件,在小边界 y=0, 列出三个积分近似边界条件, 当板厚=1时,注意，在列力矩条件时，两边均是对原点O 的力矩来计算的。对于 y=h 的小边界条件可以不必校核。,例2：厚度=1的悬臂梁，在自由端受集中力F的作用。已求得其位移的解答是,试检查此

41、组位移是否是该问题的解答。,解：此组位移若为此问题的解答，则应满足下列条件,1. 在区域内，满足用位移表示的平衡微分方程,在Su上,2. 在所有受面力的边界s上,满足应力边界条件。,3. 在su满足位移边界条件,其中在小边界上可以应用圣维南原理，即用三个积分的边界条件来代替。,本题只需校核在 边界x=l 的刚体约束条件,A点( x=l 及y=0 )，,例3：试考虑下列平面问题的应变分量是否存在， x=Axy, y=By3, xy=CDy3 x=Ay2, y=Bx2y, xy=Cxy x=y=0, xy=Cxy,解：,应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件（相容方程）即,(a) 相容 (b)

42、须满足 B=0，2A=C (c) 不相容 只有C=0， x = y= xy= 0,例4：在无体力的情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在。 x=Ax + By, y= Cx + Dy, xy= Ex + Fy ； x=A( x2 + y2 ), y=B ( x2 + y2 ), xy=Cxy,解：,弹性体中的应力，在单连体中必须满足,在s上,此组应力满足相容方程，为满足平衡微分方程，必须 A=F, D=E，此外，还须满足应力边界条件。,(b) 为满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0 为满足平衡微分方程,其系数必须满足 A =B =C/2 上两式是矛盾的，故此组应力不存在。,(b)

43、 x=A( x2 + y2 ), y=B ( x2 + y2 ), xy=Cxy,例5：若f (x,y) 是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程,试证明函数f , xf , yf , (x2+y2)f 都满足重调和方程，因而都可以作为应力函数 使用。,证明：,上述函数作为应力函数，均能满足相容方程（重调和方程）,例6：图示梁受到均布载荷的作用，试用下列应力表达式求解其应力。,解：,在s上,本题是按应力求解，因而，应力分量必须满足,将应力分量代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。,再校核边界条件，在主要边界上,将C1,C2代入应力分量，得,再将应力表达式代入次要边界条件：,可见，在次要边界上的积

44、分边界条件均能满足。,例7：材料力学中，当矩形截面梁(厚度=1)受任意横向载荷q(x)作用而弯曲时，弯曲正应力公式为,试由平衡微分方程(不计体力)导出切应力xy和挤压应力x的公式 (提示:注意,积分后得出的任意函数,可由梁的上下边界条件来确定.),解：,不计体力, 将 代入平衡微分方程第一式,得,两边对y积分，得,再由上下边界条件 得,其中,将 代入平衡微分方程第二式,代入上式, 得,得,两边对y积分，得,再由上下边界条件,得,上述解答已满足平衡微分方程及y=h/2的边界条件, 但一般不满足相容方程, 且尚未校核左右端的小边界条件。,2.当q为常数时, 试检验应力分量是否满足相容方程？试在x中

45、加一项对平衡没有影响的函数f (y), 再由相容方程确定f (y) , 并校核梁的左右边界条件。,若q=常数，则,于是,代入相容方程，,为满足相容方程，令,积分得,由 x=l 次要边界条件,得 B=0 ；,满足。,得,由此得,经检验，在小边界 x=0,l 上剪力边界条件亦满足。,第三章 平面问题的直角坐标解答,3.1 逆解法和半逆解法 多项式解答 3.2 矩形梁的纯弯曲 3.3 位移分量的求出 3.4 简支梁受均布载荷 3.5 楔形体受重力和液体压力,3.1 逆解法和半逆解法 多项式解答,在常体力情况下，按应力求解平面问题，可归纳为求解一个应力函数，它必须满足 1.在区域内的相容方程 2.在边

46、界上的应力边界条件(假设全部为应力边界条件) 3.在多连体中，还须满足位移单值条件。,在s上,求出应力函数 后，便可求出应力分量.,然后再求应变分量和位移分量。,由于相容方程 是偏微分方程，它的通解不能写成有限项数的形式，一般不能直接求解问题。只能采取逆解法和半逆解法。,所谓逆解法，就是(1)先设定满足 的应力函数；,(2)根据 求出应力分量；,(3)在给定的边界形状下，根据应力边界条件，由应力反推出相应的面力，即,反过来得知所选取的应力函数可以解决的问题。（可解决的正是上述面力对应的问题）,一.逆解法,下面用逆解法求解几个简单问题的解答。假定体力可忽略不计( fx = fy = 0 )，应力

47、函数取为多项式。,1.取应力函数为一次式 = a + bx + cy,应力函数 满足相容方程,由 得应力分量,不论弹性体为何形状，也不论坐标轴如何选择，由 应力边界条件 总是得出,一次式 = a + bx + cy对应无体力，无面力，无应力的状态。把应力函数加上一个线性函数，不影响应力。,2.取应力函数为二次式 = ax2 + bxy + cy2,应力函数 满足相容方程,现分别考察每一项所能解决的问题。,对应 = ax2，应力分量是,如图矩形板和坐标轴，当板内应力为x = 0, y = 2a, xy=yx = 0, 由应力边界条件可知，左右两边没有面力，上下两边有均布面力2a。,可见，应力函数

48、 = ax2 能解决矩形板在 y 方向受均布力的问题。,如图矩形板和坐标轴，当板内应力为x = 0, y = 0, xy=yx =b, 由应力边界条件可知，左右上下两边分别有与面相切的面力 b。,可见，应力函数 = bxy 能解决矩形板受均布剪力的问题。,对应 = bxy，应力分量是,对应 = cy2，应力分量是,应力函数 = cy2 能解决矩形板在 x方向受均布力的问题。, = ax2 + bxy + cy2 表示常量的正应力和切应力。,4.如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则其中的系数必须满足一定的条件。,应力函数 满足相容方程,对应 = ay3，应力分量是,可见，应力函数 = ay

49、3 能解决矩形梁纯弯曲问题。,3.取应力函数为三次式 = ay3,5.例题,例1：图示矩形长梁, lh, 试考察应力函数 能解决什么样的受力问题。,解：,按逆解法求解,1.将 代入相容方程，满足相容方程,2.将 代入 得应力分量,3.由边界形状和应力分量反推边界上的面力,在主要边界 y = h/2 上,因此，在上下边界上无面力，即,在次要边界 x =0, l 上,x=0 (负 x 面),x=l (正 x 面),此应力函数可以解决悬臂梁在 x=0 处受集中力作用的问题。,二. 半逆解法,半逆解法是针对实际问题来求解的，半逆解法的具体步骤如下：,逆解法没有针对具体问题进行求解, 而是找出满足相容方

50、程的应力函数, 来考察它们能解决什么问题。这种方法可以积累弹性力学的基本解答。,1. 根据弹性受力情况和边界条件等，假设部分或全部应力分量的函数形式；,2. 根据 由应力推出应力函数 的形式；,3.将 代入相容方程，求出 的具体表达式；,4. 将 代入 ，求出对应的应力分量。,5. 将应力代入边界条件,在s上,考察它们是否满足全部边界条件(对于多连体，还须满足位移单值条件)。如果所有的条件均能满足，上述解答就是正确的解答。否则，就要修改假设，重新进行求解。,3.2 矩形梁的纯弯曲,设有矩形截面的长梁(梁的长度 l 深度h )，它的宽度远小于深度和长度(近似的平面应力情况)，或远大于深度和长度(

51、近似的平面应变情况), 两端受相反的力偶而弯曲，体力不计。（取=1）,相应的应力分量为,矩形截面梁纯弯曲问题，可借助由逆解法得出的应力函数 = ay3 。显然， 满足相容方程,1.考察上下两个主要边界的边界条件,上下边都没有面力，要求,此边界条件满足。,2.考察左右端次要边界的边界条件,左右两端没有 y 向的面力，分别要求,此边界条件也满足。,x = 0, l 为小边界，可以用圣维南原理，将关于x 的边界条件用主矢量和主矩的条件代替。,这些应力分量是否能满足边界条件？如能满足，a 取什么值？,将 代入上两式,前一式总能满足，后一式要求,代入 得,注意到,得应力分量,与材力结果相同。,3.3 位

52、移分量的求出,以纯弯曲矩形梁为例，说明如何由应力分量求出位移分量。（求解步骤）,得形变分量,1. 将应力分量分量代入物理方程,2. 将形变分量代入几何方程, 再积分求位移,将 代入,得位移分量,将前二式积分，得,f1, f2 为待定函数，可通过第三式求出。,将上式代入 ，得,移项，得,等式左边是 y 的函数，而右边是 x 的函数，因此，只可能两边都等于同一常数。于是有,积分，得,代入,得位移分量,其中常数 , u0, v0表示刚体位移，由约束条件求得。,3. 由约束条件确定常数 , u0, v0,如图简支梁，约束条件是,代入,求出 , u0, v0，就得到简支梁的位移分量,有,梁轴的挠度方程为

53、,与材料力学的结果相同。,如图悬臂梁，x=l 处，对于 h/2 y h/2, 要求 u = 0, v = 0,在多项式解答中这条件是无法满足的。在工程实际中这种完全固定的约束也是不大能实现的。,现在，假定固定端的中点不移动，该点的水平线段也不转动。这样，约束条件是,代入,有,求解得,得出悬臂梁的位移分量,梁轴的挠度方程为,与材料力学的结果相同。,对于平面应变情况下的梁，须把E换为 ，把 换为 。,由 可见， 不论约束情况如何(不论 , u0, v0取何值)铅直线段的转角都是,同一横截界面上x是常数，因而是常量。,于是可见，同一截面上的各铅直线段的转角相同，说明横截面保持为平面。,4. 对结果的

54、讨论,由 可见，梁的各纵向纤维 的曲率为,这是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。,3.4 简支梁受均布载荷,此问题用半逆解法，步骤如下：,1. 假设应力分量的函数形式,由材料力学知： 弯应力x 主要是由弯矩 M 引起的， 切应力xy 主要是由剪力Fs引起的， 挤压应力y 主要是由直接载荷 q 引起的。,因q不随x变，因而可以假设y不随 x 变，也就是假设 y 只是 y 的函数：y = f (y),3. 由相容方程求解应力函数,将 y = f (y) 代入,对 x 积分，得,其中 f (y), f1(y), f2(y) 都是待定的 y 的函数。,2. 推求应力函数的形式,将 代入 得,有,这

55、是 x 的二次方程，但相容方程要求它有无数多的根(全梁的 x 都应该满足它), 可见它的系数和自由项都必须等于零，即,前两个方程要求,这里 f1(y) 的常数项被略去，这是因为这一项在 的表达式中成为 x 的一次项，不影响应力分量。,第三个方程要求,即,其中的一次项和常数项都被略去，因为它们不影响应力分量。,将 代入,得应力函数,4. 由应力函数求应力分量,将 代入,注意到yz面是梁和载荷的对称面, 所以, 应力分布应对称于yz面。这样, x, y应该是 x 的偶函数, 而 xy 应该是 x 的奇函数。,E = F = G = 0,于是，有,5. 考察边界条件（确定待定系数),通常梁的跨度远大

56、于梁的深度，梁的上下两个边界是主要边界。在主要边界上应力边界条件必须完全满足；次要边界上如果边界条件不能完全满足，可引用圣维南原理用三个积分条件来代替。,先来考虑上下两个主要边界条件：,将y, xy代入主要边界条件，得,联立求解，得,将上述结果代入右边三式，得,现在考虑左右两边的次要边界条件；,由于问题的对称性，只需考虑其中一边，如右边。边界条件： 当 x=l 时，h/2 y h/2, x=0,这是不可能满足的，除非 q=H=K=0,应用圣维南原理，用三个积分条件代替边界条件。,将右边sx, txy 代入上式,由前两式得：,第三式自然满足。,代入并整理，得,各应力沿y方向分布,6. 比较弹性力

57、学和材料力学 关于简支梁受均布载荷的解答,取梁宽 d=1 时，I = h3/12, S = h2/8 y2/2,代入右式：,长度远大于深度( lh )的长梁，应力各项的数量级：,弯应力x 的第一项与 同阶大小,为主要应力。 与材料力学解答相同。第二项是材料力学没有的，是修正项，但只是 q 级。,切应力xy 与 同阶大小, 为次要应力。 与材料力学解答完全相同。,挤压应力y 的第一项与 q 同阶大小,为更次要应力。材料力学中不考虑。,由此可见，弹性力学与材料力学解答的区别，只反映在最小的q量 级上，而 , ,量级的值完全相同。,因此, 对于长梁( 长度 ：深度 4 ), 材料力学的解答虽是近似的

58、, 但已足够精确, 符合工程上的要求。,7. 弹性力学和材料力学解法上的区别,弹性力学的解法：严格满足区域内的平衡微分方程，几何方程和物体方程，以及边界上的全部边界条件(小边界上尽管应用了圣维南原理，应力边界条件是近似满足的，但只影响小边界附近的局部区域)。,材料力学的解方法: 在许多方面都作了近似处理，只能得到近似解答。,例如，在几何条件中，材料力学引用了平面截面假设，由此导出位移，形变和应力沿横向均为线性分布；在平衡条件中，材料力学考虑的是有限大部分的物体( h dx b)的平衡条件，而不是微分体的平衡条件；材料力学中忽略了sy 的影响，并且在主要边界上没有严格考虑边界条件。这些都使得材料力学的解答成为近似解答。,一般地说，材料料力学的解法只适用于解决杆状结构的问题，对于非杆状结构的问题只能用弹性力学的解法来求解。,3.5 简支梁受均布载荷,设有楔形体, 下端无限长, 受到重力和液体压力, 楔形体密度为1, 液体密度为2 , 试求应力分量。,解：采用半逆解法,1.应用量纲分析方法假设应力分量的函数形式,(1)因应力与1g 和2g 成正比，