计算机组成原理运算方法与运算器

1、第2章 运算方法和运算器,2020年8月9日星期日,2,目录,2.0 数据的类型 2.1 数据与文字的表示方法 （掌握） 2.2 定点加法、减法运算 （掌握） 2.3 定点乘法运算 （掌握） 2.4 定点除法运算 （掌握） 2.5 定点运算器的组成 （了解） 2.6 浮点运算方法和浮点运算器（理解）,2020年8月9日星期日,3,学习要求,掌握定点和浮点数的表示方法，表示范围； 掌握定点数的补码加减法、常用的乘除法运算方法； 掌握浮点数的加减运算方法； 掌握数据校验的方法； 理解溢出判断方法； 清楚运算器部件的组成结构及设计方法。,2020年8月9日星期日,4,2.0 数据的类型（1/2）,按

2、数制分： 十进制：在微机中直接运算困难； 二进制：占存储空间少，硬件上易于实现，易于运算； 十六进制：方便观察和使用； 二-十进制：4位二进制数表示1位十进制数，转换简单。 按数据格式分： 真值：没有经过编码的直观数据表示方式，其值可带正负号(+、-)，任何数制均可； 机器数：符号数字化后的数值(包括正负号的表示)，一般位数固定(8、16、32)，不能随便忽略任何位置上的0或1；,2020年8月9日星期日,5,2.0 数据的类型（2/2）,按数据的表示范围分： 定点数：小数点位置固定，数据表示范围小； 浮点数：小数点位置不固定，数据表示范围较大。 按能否表示负数分： 无符号数：所有均为表示数值

3、，直接用二进制数表示； 有符号数：有正负之分，最高位为符号位，其余位表示数值。 按编码不同又可分为原码、反码、补码、移码,2020年8月9日星期日,6,2.1 数据与文字的表示方法,2.1.1 数据格式 2.1.2 数的机器码表示 2.1.3 字符与字符串的表示方法 2.1.4 汉字的表示方法 2.1.5 校验码,2020年8月9日星期日,7,2.1.1 数据格式,计算机在数的表示方式时，应该考虑一下几个因素: 表示的数据类型（符号、小数点、数值） 数值的范围 数值精度 存储、处理、传送的硬件代价 计算机常用的数据表示格式有两种： 定点表示：小数点位置固定 浮点表示：小数点位置不固定,2020

4、年8月9日星期日,8,2.1.1数据格式定点数,一、定点表示法 所有数据的小数点位置固定不变 由于定点数在约定机器中所有的小数点位置是固定不变的，所以小数点“.”在数据表示中省略了。 理论上小数点位置可以任意，但实际上将数据表示有两种方法（小数点位置固定-定点表示法/定点格式）： 纯小数 纯整数 定点数表示： 带符号数 不带符号数,2020年8月9日星期日,9,2.1.1数据格式定点数,假设用n+1位字来表示一个定点数x， 对于任意定点数x= xn xn-1 xn-2 x2 x1 x0 ,在定点机中如下图表示：,2020年8月9日星期日,10,定点数：小数点固定在某一位置的数据； 纯小数： 表

5、示形式 （原码表示） 有符号数 x=xnxn-1xn-2x1 x0 |x|1-2-n ;xn为符号位 无符号数 x=xnxn-1xn-2x1 x0 0 x 1-2-n ; xn为符号位即xn=0 数据表示范围 0.00= 0 |x| 1-2-n = 0.11 纯整数： 表示形式 有符号数 x=x n x n-1 x 1 x 0 |x|2n-1 ; xn为符号位无符号数 x=x n x n-1 x 1 x 0 0 x2n+1-1 ; xn为数值位 注意：小数点的位置是机器约定好的，并没有实际的保存。,xn xn-1xn-2xn-3 x1 x0,xnxn-1xn-2x1x0,2.1.1 数据格式定

6、点数,设采用n+1位数据,2020年8月9日星期日,11,定点数：最值情况 纯小数： （原码表示时最值情况） 表示形式 最大正数 最大正数值为：1-2-n, 最小正数 最小正数的值为：2-n,2.1.1 数据格式定点数,设采用n+1位数据,0 1 1 1 1 1,2020年8月9日星期日,12,定点数：最值情况 纯小数： （原码表示时最值情况） 表示形式 绝对值最大负数 绝对值最大负数值为：-（1-2-n）,2.1.1 数据格式定点数,设采用n+1位数据,2020年8月9日星期日,13,定点数：最值情况 纯小数： （补码表示时最值情况） 表示形式 绝对值最大负数 绝对值最大负数值为：-1 通过

7、2.2节公式可推出此结论,2.1.1 数据格式定点数,设采用n+1位数据,2020年8月9日星期日,14,定点数：最值情况 纯整数： 原码表示的绝对值最大负数 原码表示的绝对值最大负数值为：-（2n-1） 补码表示的绝对值最大的负数 补码表示的绝对值最大的负数值为：-2n,2.1.1 数据格式定点数,设采用n+1位数据,2020年8月9日星期日,15,2.1.1数据格式,4、定点表示法的特点 定点数表示数的范围受字长限制，表示数的范围有限; 定点表示的精度有限 机器中，常用定点纯整数表示; 如果用定点表示，则如何表示实数（包括小数和整数）呢？ -引入浮点,2020年8月9日星期日,16,科学计

8、数法的表示,一个十进制数可以表示成不同的形式： 同理，一个二进制数也可以有多种表示：,其中2+100，2-100是比例因子，存储时将有效数字和比例因子分别存储，即分别存储数的表示范围与精度，比例因子变化即数的小数点变化，因此称为浮点表示法。,2020年8月9日星期日,17,2.1.1 数据格式浮点数,浮点数：小数点位置可变，形如科学计数法中的数据表示。 浮点数格式定义： N= Re M M：尾数(mantissa) ，是一个纯小数，表示数据的全部有效数位，决定着数值的精度； R：基数(radix) ，可以取2、8、10、16，表示当前的数制； 微机中，一般默认为2，隐含表示。 e： 阶码(ex

9、ponent) ，是一个整数，用于指出小数点在该数中的位置，决定着数据数值的大小。 机器数的一般表示形式（为了方便浮点数比较大小，一般采用第二种方法）,2020年8月9日星期日,18,浮点数的IEEE754标准表示,为便于软件移植，按照 IEEE754 标准，实际机器内32位浮点数和64位浮点数的标准格式如下：,2020年8月9日星期日,19,32位浮点数的IEEE754 标准表示（采用下面的表示方法）,数符S：表示浮点数的符号，占1位，0正数、1负数； 尾数M：23位，原码纯小数表示，小数点在尾数域的最前面； 由于原码表示的规格化浮点数要求，最高数值位始终为1，因此该标准中隐藏最高数值位(即

10、数值1)，标准浮点数的存储在尾数中隐含存储着一个1，因此在计算尾数的真值时比一般形式要多一个整数1。尾数的实际值为1.M； 阶码E：8 位，采用有偏移值的移码表示，移码域值大则其指数也大； 移127码，即E=e+127，E的8位二进制数即为移127码的编码； 浮点数的真值：N=（-1）S（1.M）2E-127,2020年8月9日星期日,20,IEEE754 标准格式 （64位格式）,其真值表示为： x=（1）S（1.M）2E1023 eE1023,2020年8月9日星期日,21,浮点数的规格化,浮点数的一般表示 同一个浮点数的表示是不唯一的。如0.1101可表示为0.0110121 ，也可表示

11、为1.1012-1 。 机器数的表示不同，不利于运算 规格化的目的 保证浮点数表示的唯一性； 为了提高数据的精度,2020年8月9日星期日,22,浮点数的规格化,规格化要求 按国际电子电气工程师协会规定的标准，浮点数的尾数要用原码表示，即符号位 : 0 表示正，1 表示负 当尾数的值不为0时，规定其绝对值应 0.5，也就是最高位为1 否则要修改阶码同时移动小数点的位置，使其满足这一要求，这个过程称为浮点数的规格化。 规格化处理： 尾数向左移n位(小数点右移)，同时阶码减n； 尾数向右移n位(小数点左移)，同时阶码加n。,左规,右规,2020年8月9日星期日,23,规格化浮点数实际运算时 既然非

12、 0 值浮点数的尾数数值最高位必定为 1，则在保存浮点数到内存前，通过尾数右移, 强行把该位去掉, 用同样多的尾数位就能多存一位二进制数，有利于提高数据表示精度，称这种处理方案使用了隐藏位技术。当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢复该隐藏位。,浮点数的规格化,2020年8月9日星期日,24,浮点数的规格化,尾数用原码表示时 尾数最高数值位为1； 尾数形如0.1（正）；或1.1（负）； 例如，0.01125要规格化则变为0.1124； 0.01125要规格化则变为1.1124； 尾数用补码表示时 尾数最高数值位和尾数符号位相反； 尾数形如0.1（正）；或1.0（负） 例如，0.0

13、1125要规格化，则变为0.1124； 0.01125要规格化，则变为1.0124；,2020年8月9日星期日,25,阶码E的移码表示法（一般浮点数表示方法）,移码通常用来表示浮点数的阶码，由真值加一个固定的常数生成，这个固定的常数称为偏移量。 设定点整数移码的形式为xmx2x1 x0，则移码定义为： x移=2m+x -2mx2m 注意：m为有效数据位位数 x移是机器数，x是真值，2m是一个固定的偏移量，移码共有m+1位。 例、某浮点数阶码8位，含一位符号位，移码表示。当阶码x = -0111 1111，则： x移 = 27 - 0111 1111 =128-127 =0000 0001,20

14、20年8月9日星期日,26,阶码E的移码表示法,移码通常用来表示浮点数的阶码，由真值加一个固定的常数生成，这个固定的常数称为偏移量。 例如x移 = 27 - 0111 1111 =128-127 =0000 0001 注意在一般的浮点数表示形式，阶码用移码表示时（8位阶码）偏移量是128，但在浮点数754标准表示时，阶码用移码表示时偏移量是127 在实际的使用中，如果没有任何的特殊说明，则默认为浮点数的一般表示形式。,2020年8月9日星期日,27,2.1.3数的定点表示与浮点表示一、浮点表示法,我们在看一看下面的表： 【X】移=2m+X，128,1000 0000,0000 0000,111

15、1 1111,1000 0000,1000 0001,0000 0001,0111 1111,1000 0001,1111 1110,1111 1111,1000 0000,1111 1111,0000 000,1000 0000,0000 0000,0000 0000,0000 0000,1000 0000,0000 0001,0000 0001,0000 0001,1000 0001,0111 1111,0111 1111,0111 1111,1111 1111,2020年8月9日星期日,28,浮点数的表示范围,在浮点数的表示范围中，有两种情况被称为机器零： （1）若浮点数的尾数为零，无论

16、阶码为何值； （2）当阶码的值遇到比它能表示的最小值还要小时（阶码负溢出），无论其尾数为何值,机器零,机器零：浮点数的尾数为零或阶码为最小数,2020年8月9日星期日,29,浮点数的表示范围,0,最大负数,最小正数,最小负数,最大正数,下溢区,上溢区,上溢区,负数区,正数区,浮点数的溢出：阶码溢出 上溢：阶码大于所能表示的最大值； 下溢：阶码小于所能表示的最小值； 机器零： 尾数为 0，或阶码小于所能表示的最小值；,2020年8月9日星期日,30,浮点数的最值,设浮点数格式为,移码表示-2m，+(2m-1),补码表示-1，+(1-2-n),-12+( 2m-1 ),-2-n2-2m,+2-n2

17、-2m,+(1-2-n)2+(2m-1),1 111;1 0000,0 000;1 1111,0 000;0 0001,1 111;0 1111,同左,同左,0 000;1 0111,-(2-1+2-n)2-2m,+2-12-2m,同左,同左,0 000;0 1000,2020年8月9日星期日,31,IEEE754 标准的32位数据表示,IEEE754 标准中的阶码E 正零、负零 E与M均为零，正负之分由数据符号确定； 正无穷、负无穷 E为全1，M为全零，正负之分由数据符号确定； 阶码E的其余值（0000 00011111 1110）为规格化数据； E为1254，真正的指数e的范围为-126+

18、127 为避免浮点数下溢，允许采用比最小规格化数还小的非规格化数来表示，但此时尾数M前的隐含位为0，而不是1。,E=0000 0000，M=0000 0000,E=1111 1111，M=0000 0000,0000 0000 1111 1111,2020年8月9日星期日,32,IEEE754 标准对特殊数据的表示,阶码的值在1254，移码则在-126127,IEEE 754标准的单精度和双精度浮点数表示格式。 其中，阶码值0和255分别用来表示特殊数值：当阶码值为255时，若尾数部分为0，则表示无穷大；若尾数部分不为0，则认为这是一个非数值。 当阶码和尾数均为0时则表示该数值为0，因为非零数

19、的有效位总是1，因此特别约定，这表示为0。 当阶码为0， 尾数不为0时，该数绝对值较小， 允许采用比最小规格化数还要小的数表示。,2020年8月9日星期日,33,【例1】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码采用补码表示，尾数采用原码表示，分析其浮点数表示范围。,最大正数 最大正数为0.11120111 即（129）231 该浮点数即为规格化数形式；,2020年8月9日星期日,34,【例1】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码采用补码表示，尾数采用原码表示，分析其浮点数表示范围。,最小正数 非规格化数形式 最小正数为0.0012100 即29

20、2（25）= 29 2-32 规格化数形式 最小正数为0.12100 21 2（25） 233,2020年8月9日星期日,35,【例1】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码采用补码表示，尾数采用原码表示，分析其浮点数表示范围。,最小负数 最小负数为0.112011 即（129）2（251）= （129） 231 该浮点数即为规格化数形式；,2020年8月9日星期日,36,【例1】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码采用补码表示，尾数采用原码表示，分析其浮点数表示范围。,最大负数 非规格化数形式 最大负数为0.0012100 即 29 2（25

21、）= 29 2-32 规格化数形式 最大负数为0. 12100 即 21 2（25）= 2-1 232,2020年8月9日星期日,37,【例2】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码和尾数均采用补码表示，分析其规格化浮点数表示范围。,最大正数 阶码最大、尾数最大 最大正数为0.1112111 （129）231 最小正数 最小正数为0.1000232 即2-3221 2-33 注意：不是 因为0.01 2-32不是规格化数。,2020年8月9日星期日,38,【例2】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码和尾数均采用补码表示，分析其规格化浮点数表示范

22、围。,最小的负数 最小负数为1.000231 即231（1）= 231 最大的负数 最大负数为0.1001232 即（ 29+ 21 ）232 注意：因有规格化要求，不是,2020年8月9日星期日,39,课本P18 例1,例1 若浮点数的754标准存储格式为(41360000)16，求其浮点数的十进制数值。 解： (41360000)16 = 0100 0001 0011 0110 0000 0000 0000 0000 指数e=E-127= 1000 0010 0111 1111=0000 0011=3 尾数1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.01101

23、1 浮点数 N =（-1）S（1.M）2e = （-1）0（1. 011011）23 = (11.375)10,数符S,阶码E,尾数M,2020年8月9日星期日,40,课本P18 例2,例2 将(20.59375)10转换成754标准的32位浮点数的二进制存储格式。 解： (20.59375)10(10100.10011)2 将尾数规范为1.M的形式： 10100.100111.01001001124e4 可得：M 010010011 S 0E 41271311000 0011 故，32位浮点数的754标准格式为： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000

24、(41A4C000)16,2020年8月9日星期日,41,单精度浮点数与双精度浮点数,高级语言的float、double使用的即是IEEE754规定的格式。 float ：32位浮点值，也叫单精度浮点数（4字节保存） double：64位浮点值，也叫双精度浮点数（8字节保存） 单精度浮点数的例子：,1位 8位 7位 8位 8位,-1100,0.01,2020年8月9日星期日,42,求解技巧,例如：将下列十进制数表示成IEEE754格式的32位浮点数二进制存储形式。 27/32 11/512 求解： 27/32=27*(1/32) = (0001 1011) *2-5=1.1011*2-1 尾数

25、：1.1011；阶码：e=-5+4=-1 ，E=e+127=126 IEEE754数据：0 0111 1110 1011 0000 0000 0000 0000 000 11/512= (0000 1011) =1.011*2-6 尾数：1.011；阶码：e=-9+3=-6 ，E=e+127=121 IEEE754数据：0 0111 1001 0110 0000 0000 0000 0000 00,2020年8月9日星期日,43,例：将十进制数-54表示成二进制定点数(16位)和浮点数(16位，其中数值部分10位，阶码部分4位，阶符和数符各取1位)，并写出它在定点机和浮点机中的机器数形式。,令

26、 x = -54，则x = -110110 16位定点数真值表示： x = -000 0000 0011 0110 定点机器数形式 x原： x补： 浮点数规格化表示：x = -(0.1101100000)2110 浮点机器数形式 x原： x补：,非IEEE754标准,1 000 0000 0011 0110,1 111 1111 1100 1010,0 0110 ; 1 11 0110 0000,0 0110 ; 1 00 1010 0000,2020年8月9日星期日,44,浙江大学考研试题,计算机储存程序的特点之一是把数据和指令都作为二进制信号看待。今有一计算机字长32bit，数符位是第31

27、bit；单精度浮点数格式如图所示。 对于二进制数1000 1111 1110 1111 1100 0000 0000 0000 表示一个补码整数，其十进制值是多少？ 表示一个无符号整数，其十进制值是多少？ 表示一个IEEE754标准的单精度浮点数，其值是多少？,2020年8月9日星期日,45,二进制数1000 1111 1110 1111 1100 0000 0000 0000,表示一个补码整数，其十进制值是多少？ 作为补码整数，其对应的原码是1111 0000 0001 0000 0100 0000 0000 0000 十进制值是 -（230+ 229 +228 + 220 + 214 ）

28、表示一个无符号整数，其十进制值是多少？ 作为无符号整数，其十进制值是231+ 227+ 226 +225 + 224 + 223+ 222 +221 + 219 +218 + 217 +216 + 215 +214,2020年8月9日星期日,46,二进制数1000 1111 1110 1111 1100 0000 0000 0000,作为IEEE754标准的单精度浮点数 阶码E是0001 1111 指数e阶码E1270001 11110111 1111 -1100000B-96D 尾数M=110 1111 1100 0000 0000 0000 则1.M=1. 110 1111 1100 00

29、00 0000 0000=1.110 1111 11 单精度浮点数值为： X (-1)s1.M2e-(1.110 1111 11)2-96 -(0.1110 1111 11)2-95 -0.31152-95,2020年8月9日星期日,47,2.1.2 数的机器码表示,重点： 1、原码、补码、移码的表示形式 2、补码的定义 3、原码、补码、移码的表示范围,2020年8月9日星期日,48,1、原码表示法定义,定义： 定点小数：x原 定点整数：x原 举例： +0.110 原 0.110 -0.110原 1 - (-0.110) = 1.110 +110原 0110 -110原 23- (-110)

30、1000 +110 = 1110,x1 x 0,1- x=1+|x| 0 x -1,x2n x 0,2n- x=2n+|x| 0 x -2n,实际机器中保存时并不保存小数点,2020年8月9日星期日,49,1、原码表示法特点,0有两种表示法 +0原 = 0000 ;-0原 = 1000 数据表示范围 定点小数：-1X1 定点整数: -2nX2n （若数值位n=3即：-8X8） 优点 与真值对应关系简单； 缺点 参与运算复杂，需要将数值位与符号位分开考虑。,2020年8月9日星期日,50,要将指向5点的时钟调整到3点整，应如何处理？,5-2=3,5+10=3（12自动丢失。12就是模）,补码表示

31、法的引入（1/3）,2020年8月9日星期日,51,继续推导： 5-2=5+10（MOD 12） 5+（-2）=5+10（MOD 12） -2=10（MOD 12） 结论：,在模为12的情况下，-2的补码就是10。一个负数用其补码代替，同样可以得到正确的运算结果。,补码表示法的引入（2/3）,2020年8月9日星期日,52,进一步结论： 在计算机中，机器能表示的数据位数是固定的，其运算都是有模运算。 若是n位整数，则其模为2n； 若是小数，则其模为2。 若运算结果超出了计算机所能表示的数值范围，则只保留它的小于模的低n位的数值，超过n位的高位部分就自动舍弃了。,补码表示法的引入（3/3）,20

32、20年8月9日星期日,53,1.计算机本身是一个模数系统 因为机器字长有限,当计算结果的位数超过机器字长时,向更高位的进位就会丢失, 这就是机器的模。 2.对n+1位的定点小数, XS . X1X2Xn,符号位XS的位权是20,符号位向更高位的进位要丢失, 所以定点小数的模是21 =2 3.对n位的定点整数, XS X1X2Xn-1, 符号位XS的位权是2n,符号位向更高位的进位要丢失, 故定点整数的模是2n 。,2020年8月9日星期日,54,2、补码表示法定义,定义： 定点小数： x补 定点整数： x补 举例： +0.110 补 0.110 -0.110 补 10 + (-0.110) =

33、 1.010 +110补 0110 -110 补 24+(-110 ) 10000 -110 = 1010,x 1 x 0,2+x = 2 - |x| 0 x -1,x 2n x 0,2n+1+x = 2n+1-|x| 0 x -2n,x为n+1位,（mod 2）,（mod 2n+1）,实际机器中保存时并不保存小数点,2020年8月9日星期日,55,2、补码表示法特点,0有唯一的表示法 -0补 24+(-0 ) mod 24 0000 +0补 数据表示范围 定点小数：-1X1 定点整数: -2nX2n （若n=3，则-8X8） 加减运算规则 XY补X补 Y补 (mod 2) 只要结果不溢出，可

34、将补码符号位与数值位一起参与运算。 x补补x原 补码除2操作，可通过算术右移实现（,符号位向右移动后,正数的话补0,负数补1,） -0.0110补11010，则(-0.0110)/10补 = 11101，真值为-0.0011,比原码多一个负的最小值表示，其编码为100*0,2020年8月9日星期日,56,由原码求补码,由原码求补码的简便原则(负数) 除符号位以外,其余各位按位取反，末位加1； 从最低位开始，遇到的第一个1以前的各位保持不变，之后各位取反。,例：X原= 1 1 0 1 1 0 1 0 0,X补=,1 0 1 0 0 1,1 0 0,2020年8月9日星期日,57,由X补求-X补

35、连符号位一起各位求反，末位加1。 例：X补=1.1010101 解:,由-X补求X补，此规则同样适用。,求相反数的补码,X补= 1 1 0 1 0 1 0 1,0 0 1 0 1 0 1 0,+,1,-X补= 0 0 1 0 1 0 1 1,2020年8月9日星期日,58,3、移码表示法,移码通常用于表示浮点数的阶码 用定点整数形式的移码 定义：x移=2n+x -2n x 2n 注意n为x的有效位数的个数 与x补的区别：符号位相反 优点： 可以比较直观地判断两个数据的大小； 浮点数运算时，容易进行对阶操作； 表示浮点数阶码时，容易判断是否下溢；,4位补码与移码,2020年8月9日星期日,59,

36、原、补、移码的编码形式,正数： 原、补码的编码完全相同； 补码和移码的符号位相反，数值位相同； 负数： 原码： 符号位为1 数值部分与真值的绝对值相同 补码： 符号位为1数值部分与原码各位相反，且末位加1 移码： 符号位与补码相反，数值位与补码相同,2020年8月9日星期日,60,课本P22例6以定点整数为例,用数轴形式说明原码、反码、补码、移码表示范围和可能的数码组合情况。,2020年8月9日星期日,61,2020年8月9日星期日,61,课本P22例7将十进制真值(127，1，0，1，127)列表表示成二进制数及原码、反码、补码、移码值。,符号位+0；- 1,数值位各位取反,数值位末位加1,

37、符号位(正负数)取反,负数时,2020年8月9日星期日,62,P22例8设机器字长16位，定点表示，尾数15位，数符1位，问： (1)定点原码整数表示时，最大正数是多少？最小负数是多少？ (2)定点原码小数表示时，最大正数是多少？最小负数是多少？,(215-1) = +32767,-(215-1) = -32767,(1-2-15) = +(1-1/32768),-(1-2-15) = -(1-1/32768),定点原码整数 最大正数 最小负数 定点原码小数 最大正数 最小负数,2020年8月9日星期日,63,2.1.1数据格式(3)十进制数串的表示方法,字符串形式 压缩的十进制数串形式,20

38、20年8月9日星期日,64,2.1.1数据格式(3)十进制数串的表示方法,字符串形式 每个十进制数位占用一个字节或一个符号位。 “+”、“”号对应的十进制值分别是43、45。 除保存各数位，还需要指明该数存放的起始地址和总位数； 主要用于非数值计算的应用领域。,2020年8月9日星期日,65,2.1.1数据格式(3)十进制数串的表示方法,压缩的十进制数串形式 采用BCD码表示，一个字节可存放两个十进制数位； 它比前一种形式节省存储空间，又便于直接完成十进制数的算术运算，是广泛采用的较为理想的方法。 用特殊的二进制编码表示数据正负，如1100正、1101负,2020年8月9日星期日,66,2.1

39、.3 字符与字符串的表示方法,ASCII码(美国国家信息交换标准字符码) 包括128个字符，共需7位编码； ASCII码规定：最高位为0，余下7位作为128个字符的编码。 最高位的作用：奇偶校验；扩展编码。 字符串 指连续的一串字符， 每个字节存一个字符。 当存储字长为2、或4个字节时，在同一个存储单元中; 可按从低位字节向高位字节的顺序存放字符串的内容; 或按从高位字节向低位字节的次序顺序存放字符串的内容。,2020年8月9日星期日,67,2.1.4 汉字的表示方法,汉字从输入计算机到汉字输出基本经过三个阶段 汉字的输入编码 目的：直接使用西文标准键盘把汉字输入到计算机 。 分类：主要有数字

40、编码、拼音码 、字形编码三类。 汉字内码 用于汉字信息的存储、交换、检索等操作的机内代码 汉字内码用两个字节表示。为区分汉字字符与英文字符, 将汉字国标码的每个字节的最高位置1, 作为汉字机内码 汉字字模码 用点阵表示的汉字字形代码，用于汉字的输出。,汉字字形库 一般,汉字用点阵方式表示其外形, 即 汉字字模。 不管汉字的笔划多少，都可在同样的方块中书写，从而把方块分割为许多小方块，组成一个点阵，每个小方块就是点阵中的一个点，即二进制的一个位。每个点由0和1表示“白”和“黑”两种颜色。用这样的点阵就可输出汉字。存储在计算机中的汉字和符号的外形集合称为汉字库。,2020年8月9日星期日,68,2

41、020年8月9日星期日,69,中文编码,字符代码化（输入）,数字码 拼音码 字形码,2020年8月9日星期日,70,汉字字模码,2.1.5 校验码（数据校验）,数据校验的原因：为减少和避免错误信息的形成、存储、传送中发生的错误, 除需提高硬件本身的可靠性外, 还要在数据编码上想办法。数据校验码就是一种有效的方法。 数据校验码是指能发现错误或能自动纠正错误的数据编码, 又叫“检错纠错编码”。 数据校验码的码距是衡量两个编码相异程度大小的单位, 码距为1, 即表示两个码字间最少只有1个二进制位不同(如0000与1000之间), 这种编码无检错能力。,0000 0001 0010 0011 0100

42、 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111,2.1.5 校验码（数据校验）,数据校验码的检验原理是:在编码中, 除合法的码字外,再加上一些非法的码字, 当某个合法码字出现错误时,就变成非法码字。合理安排非法码字的数量和编码规则, 能达到纠错的目的。 对于码距2的数据校验码开始具有检错能力。码距越大, 检错、纠错的能力就越强, 且检错能力总是大于或等于纠错能力。,2020年8月9日星期日,73,码距及作用,设用四位二进制表示16种状态 16种编码都用到了，此时码距为1； 任何一种状态的四位码中的一位或几位出错，就变成另一个合法码

43、； 无查错能力。 若用四位二进制表示8个状态 只用其中的8种编码，而把另8种编码作为非法编码； 可使码距扩大为2； 注意：并不是任选8种编码都可扩大码距；,2020年8月9日星期日,74,校验码的类型,奇偶校验码 判断数据中1的个数，设置1位校验位； 分奇校验和偶校验两种，只能检错，无纠错能力； 海明校验码 在奇偶校验的基础上增加校验位而得； 具有检错和纠错的能力； 循环冗余校验码（CRC） 通过模2的除法运算建立数据信息和校验位之间的约定关系； 具有很强的检错纠错能力。,2020年8月9日星期日,75,校验过程：,有效 信息,校验码 编码器,校 验 码,校验位,校 验 码,发送 /写 /存,

44、接收 /读 /取,有 效 信 息,校 验 位,有 效 信 息,校 验 位,校验码 译码器,正确,错误,输出,奇偶校验码概念,奇偶校验码是一种最简单而有效的数据校验方法。 实现方法: 在每个被传送码的左边或右边加上1位奇偶校验位0或1, 若采用奇校验位, 只需把每个编码中1的个数凑成奇数; 若采用偶校验位, 只要把每个编码中1的个数凑成偶数。 检验原理: 码距为1的二进制码加上奇偶校验位就变成码距为2的奇偶校验码, 这种编码能发现1个或奇数个错, 但因码距较小, 不能实现错误定位。,2020年8月9日星期日,77,奇偶校验码概念,奇偶校验原理 在数据中增加1个冗余位，使码距由1增加到2； 如果合

45、法编码中有奇数个位发生了错误，就将成为非法代码。 增加的冗余位称为奇偶校验位。 校验的类型 偶校验：每个码字(包括校验位)中1的数目为偶数。 奇校验：每个码字(包括校验位)中1的数目为奇数。 校验过程 发送端：按照校验类型，在发送数据后添加校验位P； 接收端：对接收到的数据（包括校验位）进行同样类型的校验，决定数据传输中是否存在错误；,2020年8月9日星期日,78,奇偶校验码校验原理,偶校验：在接收端求校验位 P=D7D6D5D4D3D2 D1 D0 P 若P0，则无错；若P1，则有错。 奇校验：在接收端求校验位 P=D7D6D5D4D3D2 D1 D0 P 若P1，则无错；若P0，则有错。

46、 电路实现： 一般采用异或电路得到校验位。,1010 1011,求校验码,偶校验码 1010 1011 1,奇校验码 1010 1011 0,2020年8月9日星期日,79,接收端,字,校验位,校验码,例1： 数据 0010 0001,奇校验码,0010 0001,1,偶校验码,0010 0001,0,例2：数据 ： 0111 0101,偶校验码,0111 0101,1,发送端,（门电路）,0110 0101,1,出错！,奇偶校验码 例题（1/2）,2020年8月9日星期日,80,例3：数据 ： 0111 0101,奇校验码,0111 0101,0,发送端,（门电路）,0110 0111,0,

47、接收端,正确,奇偶校验只能发现 奇数个错误，且不能 纠正错误！,奇偶校验码例题（1/2）,已经错了，但是并未检 查出来！,奇偶校验,对奇偶校验码的评价:它能发现一位或奇数个位出错，但无错误定位和纠错能力。尽管奇偶校验码的检错能力较低，但对计算机内存出错概率统计, 其中7080是1位错误, 另因奇偶校验码实现简单, 故它还是一种应用最广泛的校验方法。 实际应用中, 多采用奇校验, 因奇校验中不存在全“0”代码, 在某些场合下更便于判别。,2020年8月9日星期日,81,2020年8月9日星期日,82,CRC校验（自学了解）,CRC的工作方法 在发送端产生一个循环冗余码，附加在信息位后面一起发送到

48、接收端； 接收端收到的信息按发送端形成循环冗余码同样的算法进行校验； 若无错，则接收；若有错，需重发。 CRC的特点 可检测出所有奇数位错； 可检测出所有双比特的错； 可检测出所有小于、等于校验位长度的突发错。 CRC码的信息字段和校验字段的长度可以任意选定。,2020年8月9日星期日,83,2.2 定点加法、减法运算,2.2.1 补码加法 2.2.2 补码减法 2.2.3 溢出概念与检验方法 2.2.4 基本的二进制加法、减法器,2020年8月9日星期日,84,2.2.1 补码加法,补码加法运算基本公式 定点整数： x+y补 x补 + y补 （mod 2n+1）定点小数： x+y补 x补 +

49、 y补 （mod 2） 证明 （1）证明依据：补码的定义(以定点小数为例) （2）证明思路：分三种情况。 (a) x、y均为正值（0，0） (b) x、y一正一负（0，0 或者0） (c) x、y均为负值（0，0）,2020年8月9日星期日,85,补码加法公式证明（1/2）,证明： (a)0,0 补补补(mod 2) (b)0,0 x补=2+x , y补=2+y x补+ y补= 2+x+2+y =2+ (2+x+y) = 2+x+y补 （mod 2） = x+y补,2020年8月9日星期日,86,补码加法公式证明（2/2）,(c)0,0 (0的证明与此相同) x补=x , y补=2+y x补+

50、 y补= x+2+y =2+ (x+y) 当x+y0时，2+(x+y) 2 ，进位2必丢失； 因(x+y) 0 ，故x补+y补= x+y =x+y补 (mod 2) 当x+y0时，2+(x+y) 2 因(x+y) 0 ，故x补+ y补= 2+(x+y) =x+y补 (mod 2),2020年8月9日星期日,87,定点数补码加法举例,例11 +1001, +0101， 求。 解： 补0 1001, 补0 0101 补 0 1001 补0 0101 补 0 1110 所以1110,例12 x1011, 0101, 求。 解： 补0 1011, 补1 1011 补0 1011 补1 1011 补 1

51、0 0110 所以+ 0110,2020年8月9日星期日,88,2.2.2 补码减法,补码减法运算基本公式 定点整数：x - y补x补 - y补x补 + -y补 （mod 2n+1） 定点小数：x - y补x补 - y补x补 + -y补 （mod 2） 证明：只需要证明 补补 已证明x+y补 x补 + y补 ，故y补x+y补x补 又xy补 x补 + y补 ，故y补xy补x补 可得y补 + y补x+y补+ xy补x补 x补 x + y + xy补x补 x补 x + x补x补 x补0 补等于补的各位取反，末位加1。,2020年8月9日星期日,89,定点数补码减法举例例13 已知1 1110，2 +

52、 1101， 求：1补，1补，2补，2补。,解： 1补 1 0010 1补 1补1 0 11010 00010 1110 2补 0 1101 2补2补1 1 00100 00011 0011,注意课本上的错误！,注意课本上的错误！,2020年8月9日星期日,90,定点数补码减法举例 例14 1101，0110，求。,解: 补0 1101，补0 0110，补1 1010 补 补补 0 1101 1 1010 10 0111 0 0111 0111,0 1101,) 1 1010,1 0 0111,2020年8月9日星期日,91,2020年8月9日星期日,91,定点数补码加减法运算,基本公式 定点

53、整数：x y补 x补 + y补 （mod 2n+1） 定点小数：x y补 x补 + y补 （mod 2） 定点数补码加减法运算 符号位和数值位可同等处理； 只要结果不溢出，将结果按2n+1或2取模，即为本次运算结果。,2020年8月9日星期日,92,例 设机器字长为8位，补1010 0011， 补0010 1101 ，求xy。,解: 补1101 0011 补 补补 1010 0011 1101 0011 1 0111 0110 0111 0110 118,1010 0011,) 1101 0011,1 0111 0110,x= 93，y= +45 计算过程中，产生了溢出！ 9345=-138

54、128,2020年8月9日星期日,93,2.2.3 溢出概念与检测方法,溢出 在定点数机器中，数的大小超出了定点数能表示的范围。 上溢 数据大于机器所能表示的最大正数； 下溢 数据小于机器所能表示的最小负数； 例如，4位补码表示的定点整数，范围为-8，+7 若x = 5，y = 4，则x+y产生上溢 若x = -5，y = -4，则x+y产生下溢 若x = 5，y = -4，则x-y产生上溢,2020年8月9日星期日,93,2020年8月9日星期日,94,例题,例15 +0.1011, +0.1001,求。 解:补0.1011 补0.1001 补0.1011 补0.1001 补1.0100,例

55、16 -0.1101, -0.1111,求。 解:补1.0011 补1.0001 补1.0011 补1.0001 补 0.0101,正数+正数=负数,负数+负数=正数,溢出！,溢出判别方法,直接判别法 变形补码判别法 进位判别法,2020年8月9日星期日,95,2020年8月9日星期日,96,溢出判别方法直接判别法,方法： 同号补码相加，结果符号位与加数相反； 异号补码相减，结果符号位与减数相同； 特点：硬件实现较复杂； 举例： 若x补=0101，y补=0100，则x+y补=1001 若x补=1011，y补=1100，则x+y补=0111 若x补=0101，y补=1100 ，则x-y补=100

56、1,上溢,下溢,上溢,2020年8月9日星期日,97,溢出判别方法变形补码判别法,变形补码，也叫模4补码：采用双符号位表示补码 判别方法： 特点：硬件实现简单，只需对结果符号位进行异或 举例： 若x补=00101，y补=00100，则x+y补=01001 若x补=11011，y补=11100，则x+y补=10111 若x补=00101，y补=11100 ，则x-y补=01001,上溢,下溢,上溢,2020年8月9日星期日,98,2020年8月9日星期日,98,溢出判别方法进位判别法,0101,) 0100,1001,1,0,0001,) 0100,0101,0,0,V=01=1,V=00=0,

57、判别方法： 最高数值位的进位与符号位的进位是否相同；采用单符号位法。当最高有效位产生进位而符号位无进位时，产生上溢；当最高有效位无进位而符号位有进位时，产生下溢。 判别公式 溢出标志V=Cf Cn-1 ，其中Cf为符号位产生的进位， Cn-1为最高数值位产生的进位。 举例：,2020年8月9日星期日,99,规格化操作有两种：“左规”和“右规”。若 采用变形补码表示尾数，则当结果的尾数出现 11.1xxxx或00.0 xxxx的形式时，需将尾数 左移1位，阶码减1，直到尾数为规格化形式为 止，这个过程称为“左规”。当浮点运算结果 的尾数出现01.xxxx或10.xxxx的形式时， 并不一定溢出，

58、应先将尾数右移1位，阶码加1， 然后判断阶码是否溢出，这个过程称为“右 规”。,2020年8月9日星期日,100,回顾逻辑门图形符号,2.2.4 基本的二进制加法/减法器,2020年8月9日星期日,101,2020年8月9日星期日,102,2.2.4 基本的二进制加法/减法器,一位二进制数据的半加器： 加数：Ai、Bi 结果：Si（和） Ci+1（本位向高位的进位） 一位半加器示意图：,一位二进制数据的全加器： 加数：Ai、Bi Ci（低位向本位的进位） 结果：Si（和） Ci+1（本位向高位的进位） 一位全加器示意图：,2020年8月9日星期日,103,一位二进制数据的全加器的逻辑结构,全加运算的真值表如右所示： 两个输出端的逻辑表达式 SiAiBiCi Ci1AiBiBiCiCiAi = AiBiCi（BiAi ） 全加器逻辑结构：,3T+1T+1T,3T+3T,2020年8月9日星期日,104,一位二进制数据的全加器的逻辑结构,全加运算的真值表如右所示： 两个输出端的逻辑表达式 SiAiBiCi Ci1AiBiBiCiCiAi 全加器逻辑结构：,3T+1T+1T,3T+3T,延迟时间 由Ai、Bi到Si的延迟 时间为6T 由Ai、Bi到Ci+1到的延迟 时间为5T 由Ci到Ci+1的延迟时间为 2T,2