弹性力学第03章_.ppt

1、第三章平面问题的直角坐标解答,本章是按应力求解平面问题的实际应用。其中采用应力函数作为基本未知函数进行求解，并以直角坐标来表示问题的解答。在学习本章时，应重点掌握内容如下： 1、按应力函数求解平面问题时，应力函数必须满足的条件； 2、逆解法和半逆解法； 3、由应力求位移的过程及方法； 4、从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹性力学和材料力学解法的异同；,本章学习指南,1、早期应用逆解法与半逆解法曾经得出许多荷载和边界条件比较简单的平面问题的解答。但是，对于复杂荷载和边界条件的工程实际问题，难以用这些方法找出函数式解答。 2、现在，对于复杂情况，可采用弹性力学的近似解法来求解工程实际问题。 3、本

2、课程不要求求解新问题的函数式解答，而是要求了解与掌握弹性力学问题是如何求解的，如何满足有关的方程和边界条件的。 4、要求能阅读和理解弹性力学已有的解答，并为今后的工程实际应用打下一定的基础。,本章学习指南,弹性力学的基本任务与基本原理 逆解法与半逆解法、多项式解答 矩形梁的纯弯曲 位移分量的求出 简支梁受均匀分布荷载 楔形体受重力和液体压力,主要内容,3.1 弹性力学基本任务与基本原理,位移分量 u,v,应变分量 ex ey gxy,应力分量 sx sy txy,体力f,变形协调方程,约束位移,弹性力学的基本原理,解的唯一性定理,解的叠加原理,圣维南原理,解的唯一性原理,解的唯一性定理：假如弹

3、性体内受已知体力的作用，物体表面面力已知，或者表面位移已知；或者部分表面面力已知，部分表面位移已知。当弹性体处于平衡状态时，弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是唯一的。当表面有部分或全部位移已知时，则位移分量也是唯一的。,意义：为弹性力学问题的求解提供了重要的理论依据。由于偏微分方程求解困难，因此在弹性力学问题分析中，经常需要使用逆解法或半逆解法。而解的唯一性定理为这些方法奠定了基础。,弹性力学解的叠加原理,解的叠加原理：在线弹性条件下，对于满足小变形条件的弹性体，将两组不同的外力作用下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力共同作用于弹性体的解答。,注意事项：由于全部基本方程和边界条件是由变形

4、前的坐标描述的，因此只有在小变形的条件下才可以使用叠加原理。即变形对外力作用点位置的改变可以忽略不计。,圣维南原理及应用,对于工程实际问题，构件表面面力或者位移很难满足严格的边界条件。这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。,圣维南原理主要内容：物体表面某一小面积上作用的外力力系，如果被一个静力等效的力系所替带，那么物体内部只能导致局部应力的改变。而在距离力的作用点较远处，其影响可以忽略不计。,圣维南原理及应用,根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的作用区域附近。离此区域较

5、远处，几乎不受影响。,通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界条件转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力学问题得到解答。,应用的注意事项： 1、取代原力系的必须是静力等效力系：主失量和主矩相等。 2、应用时不能讨论局部应力场。,弹性力学的基本任务与基本原理 逆解法与半逆解法、多项式解答 矩形梁的纯弯曲 位移分量的求出 简支梁受均匀分布荷载 楔形体受重力和液体压力,主要内容,3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答,体力为常量时，按应力法求解平面问题，可转化为求解一个应力函数f ，它在区域内满足应力函数表示的相容方程(2-25)：,逆解法与半逆解法、多项式解答,求得应力函数后，由下式(

6、2-24)求应力分量，然后求应变和位移分量。,逆解法与半逆解法,逆解法：,(2)由式(2-24)，根据应力函数 f 求得应力分量;,逆解法与半逆解法,(3)在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件, 分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数）,逆解法与半逆解法,(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形

7、式；,半逆解法：,(2)按式(2-24)，由应力推出应力函数f的一般形式（含待定函数项）；,(3)将应力函数f代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表达形式；,逆解法与半逆解法,(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全部应力边界条件。如果都能满足，则所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复上述过程并进行求解。,(4)将应力函数f代入式(2-24)，由应力函数求得应力分量,逆解法与半逆解法,逆解法和半逆解法的求解过程带有“试算”的性质，显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。,逆解法解平面问题及其多项式解答,下面用逆解法求出几个简单的平

8、面问题（矩形薄板）的解答。体力不计，即fx=fy=0，应力函数取为多项式。,1、取应力函数为一次式：f=a+bx+cy,显然，不论各系数取何值，总能满足相容方程(2-25):,代入方程(2-24),求得应力分量：sx= sy = txy = 0,逆解法解平面问题及其多项式解答,代入应力边界条件方程(2-15):,结论： （1）线性应力函数对应于无体力、无面力、无应力的力学状态； （2）将平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力分布。,不论弹性体形状如何，也不论坐标系如何选择，均求得面力分量：,逆解法解平面问题及其多项式解答,2、取应力函数为二次式：f=ax2+bxy+cy2,显然，不论

9、各系数取何值，相容方程(2-25)总能满足；,代入方程(2-24)求得应力分量： sx=2c，sy =2a， txy=tyx=-b,代入应力边界条件方程(2-15)，求得各边界上面力分布如下：,上边界：,下边界：,左边界：,右边界：,逆解法解平面问题及其多项式解答,因此，二次式能解决矩形板受均匀拉压力或剪力的问题,上边界：,下边界：,左边界：,右边界：,逆解法解平面问题及其多项式解答,3、取应力函数为三次式：f=ay3,显然，不论各系数取何值，相容方程(2-25)总能满足；,代入方程(2-24)求得应力分量： sx= 6ay ，sy =0 ，txy=tyx= 0,代入应力边界条件方程(2-15

10、)，求得各边界上面力分布如下：,上边界：,下边界：,左边界：,右边界：,逆解法解平面问题及其多项式解答,结论： （1）上下边界无面力； （2）左右边界为线性水平面力，并能合成为一个力偶，因而能解决矩形梁受纯弯曲的问题。,上边界：,下边界：,左边界：,右边界：,逆解法解平面问题及其多项式解答,4、如果应力函数取四次或四次以上的多项式，则其中的系数必须满足一定的条件，才能满足相容方程。 (例如：当应力函数取四次多项式ax4 + bx3y + cx2y2 + dxy3 + ey4，求此条件）,例题,例1：已知函数f=a(x4 -y4)，试检查它能否作为应力函数？若能，试求出应力分量（不计体力），并求

11、出如图所示矩形薄板边界上的面力。,例题,解：按逆解法 1、将f=a(x4-y4)代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能作为应力函数。 2、将f代入式（224），得出应力分量：,例题,3、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：,在主要边界上：,在次要边界上：,例题,例2：习题33,解：按逆解法 1、将f代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能成为该问题的解。 2、将f代入式（224），得出应力分量：,例题,3、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：,在主要边界上：,因此，在y=h/2的边界面上，无任何面力作用，即,在x=0,l的次要边界上：,例题,各边界面上的面力分布如图所示：,在

12、x=0,l的次要边界上，其主失量和主矩如下：,因此上述应力函数可解决悬臂梁在左端受集中力F作用的问题,课后作业,作业：习题34,弹性力学的基本任务与基本原理 逆解法与半逆解法、多项式解答 矩形梁的纯弯曲 位移分量的求出 简支梁受均匀分布荷载 楔形体受重力和液体压力,主要内容,3.3 矩形梁的纯弯曲_逆解法,问题：矩形截面长梁（长度 l 远大于深度 h），宽度远小于深度和长度（近似于平面应力问题），或者远大于深度和长度（近似于平面应变问题），两端受相反的力偶作用而弯曲，体力不计。（设梁宽为单位宽度1，每单位宽度上力偶的矩为M）,矩形梁的纯弯曲,结论： （1）上下边界无面力； （2）左右边界为线性

13、水平面力，并能合成为一个力偶，因而能解决矩形梁受纯弯曲的问题。,当应力函数为三次式：f=ay3,矩形梁的纯弯曲,解：逆解法,求得应力分量： sx= 6ay ，sy =0 ，txy=tyx= 0,(1)假定应力函数：由上一节可知，当满足相容方程(2-25)的应力函数为三次式 f=ay3 时，能解决矩形梁受纯弯曲的问题。,(2)求应力分量：代入方程(2-24),矩形梁的纯弯曲,(3)考察应力分量是否满足边界条件？若要满足，系数a如何取值？,上下两边界：没有面力作用，代入应力边界条件(2-15)，得上下边界处 sy =0 ，txy=tyx= 0。 由于梁内应力分量分布为sx= 6ay ，sy =0

14、，txy=tyx= 0，显然上述条件成立。,矩形梁的纯弯曲,左右两边界： (a):没有切向面力作用，代入应力边界条件(2-15)，得 txy= 0，这也能满足。因为所有各点均有上述条件成立。,(b):应用圣维南原理，由主应力合成的主矢量为0，合成的主矩等于面力的力偶矩M，即有,将应力分量代入，可得,从而有,sx=6ay , sy=0, txy=0,矩形梁的纯弯曲,与材料力学中解答完全相同，即各纤维只受按直线分布的弯应力。如左图所示,组成力偶的面力必须按左图所示的直线分布，解答(3-1)才是完全精确的；否则会有误差。但是根据圣维南原理，只在两端附近有显著误差，而离开两端较远处，误差可以不计。,例

15、题,例2：习题37,解：按逆解法 1、将f代入相容方程，可知其是满足的。 2、将f代入式（224），得出应力分量：,例题,3、考察边界条件,在主要边界上，应精确满足式（215）：,第一式自然满足，由第二式有：,（a）,例题,在次要边界x=0上，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：,由此得：,（b）,例题,结合（a）、（b）求解：,代入应力分量，得：,推论,如果区域内的平衡微分方程和相容方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则可以推论出，最后一个小边界上的三个积分应力边界条件（即主失量和主矩条件）必然是满足的。,弹性力学的基本任务与

16、基本原理 逆解法与半逆解法、多项式解答 矩形梁的纯弯曲 位移分量的求出 简支梁受均匀分布荷载 楔形体受重力和液体压力,主要内容,3.4 位移分量的求解,本节所解决的问题：按应力求解时，如果已求出应力分量，如何求对应的位移分量？ 以矩形梁的纯弯曲为例，由应力分量求解位移分量,1、假定考虑平面应力问题。首先将上节所求应力分量代入物理方程(2-12),位移分量的求解,2、将应变分量代入平面问题的几何方程(2-8)：,前两式分别积分，可得,代入第三式，并整理可得,位移分量的求解,等式左右两边分别为 y 和 x 的函数，要想对于所有的 y 和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数w：,分别积分，可得,位

17、移分量的求解,代入位移分量公式，并整理可得,其中表示刚体位移量的常数u0 ，u0 和 w ，须由约束条件确定。,(d),位移分量的求解,对于同一个截面， x 为常量，因此上式也是常量。于是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截面仍然保持为平面。,由位移分量的公式，可知不论约束条件如何，可求得垂直线段的转角为,由位移分量第二式，可知不论约束条件如何，可求得梁的各纵向纤维的曲率是,就是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。,位移分量的求解,分两种约束情况讨论：简支梁和悬臂梁。,下面根据约束条件来确定位移分量中的刚体位移常数u0 ，u0 和w 。,位移分量的求解,1、简支梁的约束条件为:,将位

18、移分量代入上述约束条件，可求出三个常数，代回得,(3-3),位移分量的求解,2、悬臂梁 其左端自由，右端完全固定。在梁的右端，对于任何 y 值要求两个位移均为0。在多项式解答中，此条件是无法满足的。实际工程上，这种完全固定的约束条件也是不大可能实现的。为此，与材料力学中一样，假设右端截面的中点不移动，该点的水平线段不转动。,位移分量的求解,根据上述分析，对于悬臂梁，其约束条件为,(3-4),可求出三个常数，代回可得,位移分量的求解,以上是以平面应力问题为例推导了相应的应变分量和位移分量解。对于平面应变情况下的梁(梁宽度远大于深度和长度），须在以上的应变分量和位移分量的公式中，将 E 和 m 作

19、如下替换，即可求解。,位移分量的求解,小结： 1、对于纯弯曲梁问题，弹性力学与材料力学解答在应力、应变等方面是一致的。,2、以后凡是由应力分量求位移分量的过程，均可以参照上述步骤进行求解。,小结,按逆解法求解平面问题的一般步骤：,(1)假定应力函数，并检核是否满足相容方程(2-25)：,(2) 代入方程(2-24)，求应力分量：,(3)考察应力分量是否满足边界条件，据此求出其中的待定系数。,小结,(4)将所求应力分量代入物理方程，可求得应变分量；,(5)将所求应变分量代入平面问题的几何方程(2-8) ，通过积分求位移分量，其中会引入表示刚体位移的三个待定常数u0 ，v0 和 w 。根据边界上约

20、束位移边界条件确定这三个待定常数。,课后作业,作业：习题36,弹性力学的基本任务与基本原理 逆解法与半逆解法、多项式解答 矩形梁的纯弯曲 位移分量的求出 简支梁受均匀分布荷载 楔形体受重力和液体压力,主要内容,3.5 简支梁受均布荷载,问题：矩形截面简支梁，长度为 2l ，深度为 h，宽度远小于深度和长度（典型的平面应力问题），受均布荷载 q ，由两端的反力ql 维持平衡。（设梁宽为单位宽度1）,简支梁受均布荷载,解：按半逆解法的步骤进行求解。,(1)假定应力分量的函数形式；,所以可假设,所以可假设,由材料力学可知，弯应力 sx 主要由弯矩引起的，即,由材料力学可知，切应力 txy 主要由剪力

21、引起的，即,简支梁受均布荷载,由于q 不随 x 变化，因此可假定应力 sy 也不随 x 变化，即应力 sy 只是 y 的函数： sy = f(y)。 教材中正是采用了第三种假设。,由材料力学可知，挤压应力 sy 主要由直接荷载 q 引起的，即,简支梁受均布荷载,(2)由应力推出应力函数的一般形式,对 x 积分可得,其中有三个关于 y 的待定函数。,将应力分量代入方程(2-24)，在无体力情况下，有,简支梁受均布荷载,(3)由相容方程求应力函数；,上述二次方程对所有 x 均应满足，故其系数和自由项均必须为0,将上步所得应力函数的一般形式代入无体力情况下的相容方程，整理后有,简支梁受均布荷载,由上

22、述三个方程可求得三个待定函数的一般形式：,根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，故上述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略。,简支梁受均布荷载,(4)由应力函数求应力分量,校核应力分量： 代入平衡微分方程和相容方程，可知上述应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。其中的9个待定常数由边界条件来确定。,将应力函数 f 代入式(2-24)，可得应力分量：,简支梁受均布荷载,在这个问题中，y 轴是对称轴，应力函数 f 应为 x 的偶函数（sx 和 sy 应为 x 的偶函数， txy 是 x 的奇函数）,如果不考虑对称性条件，在考虑了所有的边界的边界条件后，也可以得到相同的结果，但计算量会

23、增加许多。,对于任何问题，凡是具有对称性（或反对称性）的，宜先考虑对称性条件，可以简化问题的求解，减少计算量。,得到：E=F=G=0,由,简支梁受均布荷载,(5)考察边界条件,将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，可计算出4个待定常数:,首先考察上下两边的主要边界条件：,简支梁受均布荷载,由于在左右边界上均没有水平面力，这就要求当由 x=l 时，对于任何 y 值，均有 sx = 0 。由(i)式知，这是不可能的，除非式中的 q=H=K=0 。为此，应用圣维南原理，只能要求此部分边界上合成的主矢量和主矩为0。对于右边界，有:,其次考察左右两边的次要边界条件,将(i)式代入，可得,简支梁受均布荷

24、载,将单位宽度截面梁的惯性矩I、静矩S、弯矩M和剪力FS的表达式代入上式可得：,综上所述，将各待定常数代入，可得应力分量的最终解答为：,(3-6),简支梁受均布荷载,1、对于lh的长梁， y 与 h 同阶，x 与 l 同阶。因此应力解答中有三种数量级，分别为 q(l/h)2、 q(l/h) 、 q。 2、弯应力sx的第一项与q(l/h)2同阶大小，为主要应力； 3、切应力txy与q(l/h)同阶大小，为次要应力； 4、挤压应力sy及弯应力sx的第二项均与q同阶大小，为更次要应力。,应力分布特点,简支梁受均布荷载,1、弯应力sx的第一项为主要应力，并且与材料力学解答相同，而第二项正是弹性力学才有

25、的修正项，它只与q同阶大小； 2、切应力txy为次要应力，也与材料力学解答完全相同； 3、挤压应力sy在材料力学中一般不考虑，它只与q同阶大小。 4、两者的区别中主要反映在最小的量级上。,比较弹性力学与材料力学对该问题的解答,简支梁受均布荷载,（1）弹性力学解法中，严格地考虑并满足区域内的平衡微分方程、几何方程、物理方程及边界上的全部边界条件（小边界上应用圣维南近似），因此解答是较精确的。 （2）材料力学解法中，许多方面作了近似处理，只能得出近似的解答。例如平面截面假设导出位移、应变和应力沿横向均为直线分布；在平衡条件中，忽略了挤压应力sy的作用，并且考虑的是有限部分物体的平衡，而不是微分单元

26、体的平衡；在主要边界上，没有严格考虑应力边界条件。 （3）两者的区别中主要反映在最小的量级上，故材料力学的解答尽管近似，但对杆件是足够精确的（此时lh ），否则不能用材料力学的解法来求解。,比较弹性力学与材料力学在解法上的区别,课后作业,作业：习题311,弹性力学的基本任务与基本原理 逆解法与半逆解法、多项式解答 矩形梁的纯弯曲 位移分量的求出 简支梁受均匀分布荷载 楔形体受重力和液体压力,主要内容,3.6 楔形体受重力和液体压力,问题：如图，无限长的楔形体受重力和液体压力，试求应力分量。,楔形体受重力和液体压力,解：按半逆解法的步骤进行求解。,(1)首先从量纲分析入手，来假定应力分量的函数形

27、式,楔形体内任意点的应力由重力和液体压力所引起，两部分应力分别与r1g 和r2g 成正比，而应力量纲（L-1MT-2）只比r1g 和 r2g 的量纲（L-2MT-2）高一次幂的长度量纲，因此应力只能是 r1g 和 r2g 与 x 和 y 的一次式相乘，亦即应力中只能包含 x 和 y 的纯一次式。,楔形体受重力和液体压力,(2)由应力推出应力函数的一般形式；,（3）校核应力函数 此纯三次多项式自然满足相容方程,由方程(2-24)可知，应力函数应比应力的长度量纲提高二次幂，所以应力函数应为 x 和 y 的纯三次式，而纯三次多项式只有四项，即,楔形体受重力和液体压力,(4)由应力函数求应力分量,将应

28、力函数 f 代入式(2-24)，可得应力分量：,校核应力分量： 代入平衡微分方程和相容方程，可知上述应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。其中的4个待定常数由边界条件来确定。,楔形体受重力和液体压力,(5)考察边界条件：只有两个边界，均为主要边界（大边界），都应精确满足应力边界条件；,将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，得到如下待定常数:,首先考察左边界上的应力边界条件：,楔形体受重力和液体压力,其次考察右边界上的应力边界条件，由于没有面力，故：,将该边界的外法线方向余弦和应力分量在相应边界处的值代入上述条件,可求解得到如下待定常数:,楔形体受重力和液体压力,应力分量sx沿水平方向没变化

29、，此结果不能由材料力学公式求得；,综上所述，将各待定常数代回，可得应力分量的最终解答为：,(3-7),应力分量sy沿水平方向按直线变化，可求出其在左右两边界上值与材料力学偏心受压公式算得的结果相同。,应力分量txy也按直线变化，可求出其在两边界上值为,楔形体受重力和液体压力,各应力分量沿水平方向的变化图：,楔形体受重力和液体压力,1、沿着坝轴，坝身往往截面不同，坝身常常不是无限长，因此严格讲，这不是一个平面问题。但是，如果可将坝身分为若干段，每段范围内坝身截面可当作不变化，轴向切应力也可当作0，则可作为平面问题来求解。 2、假定了下端是无限长，可以自由变形。实际上坝身是有限高的，底部与地基相连

30、，即受约束，因此对于底部，以上解答是不精确的。 3、坝顶不会是尖顶，而且还会受其它的荷载，因此，在坝顶处，以上解答也不适用。 4、关于重力坝的较精确的应力分析，目前大多采用有限元方法来进行。,以上解答一向被当作三角形重力坝中应力的基本解答，但要注意以下三点：,本章小结,按逆解法（应力函数）求解时，必须满足： （1）区域内的相容方程； （2）边界上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件）； （3）多连体中的位移单值条件,在半逆解法中寻找应力分量时，通常采用下列方法来假设应力分量的函数形式： （1）由材料力学解答提出假设 （2）由边界受力情况提出假设 （3）用量纲分析方法提出假设,本章小结,1、首先考虑主要边界（大边界）上的条