高等数学上_复旦大学出版_习题1答案

1、高等数学上（复大版）习题一 1 习题一习题一 1. 设,求,BA.1, 2 00 AxxB xx=,AB AB 解: 121 000 122 000 21 120 00 ABxxxxxxA ABxxxxxxB B Axxxxxx = = = 3 0 1 x x x 所以函数的定义域是-3,0)(0,1). (3)要使函数有意义,必须 即 2 10 x 1x 所以函数的定义域是.(, 1)( 1,1)(1,) + (4)要使函数有意义,必须 即12sin1x 11 sin 22 x 即或,(k为整数). 2 2 66 kxk+ 57 2 2 66 kxk+ 也即(k为整数). 66 kxk+ 高

2、等数学上（复大版）习题一 3 所以函数的定义域是,k为整数. , 66 kk+ 7. 求函数的定义域与值域. 1 sin,0 0,0 x yx x = = 解: 由已知显然有函数的定义域为(-,+),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍-0 x 1 x 1 sin x 1,1上所有的值,所以函数的值域为-1,1. 8. 没,求 1 ( ) 1 x f x x = + 1 (0),(),( ).ffxf x 解:, 10 (0)1 10 f = + 1()1 (), 1()1 xx fx xx + = + 1 1 11 ( ). 1 1 1 x x f xx x = + + 9.设,求

3、. 1,10 ( ) 1,02 x f x xx = + (1)f x 解: 1,1101,01 (1). (1) 1,012,13 xx f x xxxx (4)由得,又,故. 3 1cosyx= + 3 cos1xy=0,x 3 arccos1xy= 又由得,1cos1x 3 01 cos2x + 即, 故 可 得 反 函 数 的 定 义 域 为 0,2, 所 以 , 函 数的 反 函 数 为02y 3 1cos,0,yx x= + . 3 arccos1(02)yxx= 13. 判断下列函数的奇偶性: 22 (1) ( )11;(2)eesin . xx f xxxyx =+=+ 解:

4、(1)()1()1()11( )fxxxxxf x= + =+= 是偶函数.( )11f xxx=+ (2) 222222 ()eesin()eesin(eesin )( ) xxxxxx fxxxxf x =+=+= += 函数是奇函数. 22 eesin xx yx =+ 14. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性: 2 (1); (2)ln 1 x yyxx x =+ + 解: (1)函数的定义域为(-,+), 当时,有,当时,有,0 x 2 0 1 x x + 0 x 2 1 122 xx xx = + 故有.即函数有上界.(,),x + 1 2 y 2 1 x y x = + 又

5、因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而 2 1 x y x = + 高等数学上（复大版）习题一 5 函数有界. 2 1 x y x = + 又由知,当且时,而 121212 12 2222 1212 ()(1) 11(1)(1) xxxxx x yy xxxx = + 12 xx 12 1x x 当且时,. 12 xx 12 1x x 12 yy 12 ;e0 M xMx 2 lnxM 取,则有, 012 max ,xx x= 0012 lnln2xxxxMM+ 所以函数在定义域内是无界的.lnyxx=+ 又当时,有 12 0 xx 1212

6、0,lnln0 xxxx 故. 1211221212 (ln)(ln)()(lnln)0yyxxxxxxxx=+=+ 即当时,恒有,所以函数在内单调递增. 12 0 xx 12 yylnyxx=+(0,)+ 15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的? 5 1 22 4 1 2 (1)(1) ;(2)sin (12 ); 1 (3)(1 10) ;(4). 1arcsin2 x yxyx yy x =+=+ =+= + 解: (1)是由复合而成. 1 2 4 (1)yx=+ 1 2 4, 1yuux= + (2)是由复合而成. 2 sin (12 )yx=+ 2, sin ,12yuuv

7、vx= + (3)是由复合而成. 5 1 2 (1 10) x y =+ 1 5 2, 1,10 , w yuuv vwx= += (4)是由复合而成. 1 1arcsin2 y x = + 1, 1,arcsin,2yuuv vw wx = += 16. 设定义在(-,+)上,证明:( )f x (1)为偶函数; (2)为奇函数.( )()f xfx+( )()f xfx 证: (1)设,则,( )( )()F xf xfx=+(,)x + 有()()( )( )Fxfxf xF x=+= 故为偶函数.( )()f xfx+ (2)设则,( )( )(),G xf xfx=(,)x + 高等

8、数学上（复大版）习题一 6 有()()() ( )()( )Gxfxfxf xfxG x= = 故为奇函数.( )()f xfx 17. 某厂生产某种产品,年销售量为 106件,每批生产需要准备费 103元,而每件的年库存费为 0.05 元,如果销售 是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x, 则准备费为 103x; 又每批有产品件,库存数为件,库存费为元. 6 10 x 6 10 2x 6 10 0.05 2x 设总费用为,则. 6 3 100.05 10 2 yx x =+ 18. 邮局规定国内的平信,每

9、20g 付邮资 0.80 元,不足 20 g 按 20 g 计算,信件重量不得超过 2kg,试确定邮资y与 重量x的关系. 解: 当x能被 20 整除,即时,邮资; 2020 xx =0.80 2025 xx y= 当x不能被 20 整除时,即时,由题意知邮资. 2020 xx 0.801 20 x y =+ 综上所述有 ,02000; 252020 0.80,02000.1 202020 xxx x y xxx x = = + 且 且 其中,分别表示不超过,的最大整数. 20 x 1 20 x + 20 x 1 20 x + 19. 证明: 2 11 (1)arcsinhln(1); (2)

10、arctanhln, 11 21 x xxxxx x + =+= 2 e1 x yy=+ 2 ln(1)xyy=+ 所以的反函数是sinhyx= 2 arcsinhln(1)().yxxxx=+ 11y 高等数学上（复大版）习题一 7 所以函数的反函数为tanhyx= 11 arctanhln ( 11). 21 x yxx x + = = 0 (0,tan40 )S 21. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势: 1 2 3 457 9 (1) 0,; (2) 1,0, 3,0,5,0, 7,0,; (3)3,. 3 4 5 635 7 解:当时,. 1 (1), 1 n n x n =

11、 + n1 n x , 1 (2)cos 2 n n xn = 当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于 0,趋向于.+ ,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于 1,-1. 21 (3)( 1) 21 n n n x n + = 22. 对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有:lim n n ax =( )N ( )nN n xa 11 0sin 2 n n x nn = 1 N = nN .0 n x 221 0 2 22 n x nn nnnn = 2 1 n 取,则当时,有. 2 1 N = nN0 n xN时,恒有.故(1)0 2 2 11 0 nn = 1 N =

12、 2 1 0 n N时,恒有0 555313 , 2(21)4212 n nnnn = 5 N = .故. 313 212 n n N时,0 22 22 2 22 1 () aa na n nnann + = 2 a n = 恒有,从而. 22 1 na n + 22 lim1 n na n + = (4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使1 0.9999 1 n 1 1 , 0.999 1 10 n n = ln , ln10 N = nN, 0.999 1 n nN n xa 而 nn xxa a nN n x a 由极限的定义知lim. n n x a = 但这个结论的逆不成立

13、.如但不存在.( 1) ,lim1, n nn n xx = =lim n n x 25. 利用夹逼定理求下列数列的极限: (1)lim(1),01; kk n nnk + 其中为给定的正常数; 12 (2)lim, nnn n m n aaa + 11 , m a aa 1 (3)lim(123 ) ; 1 (4)lim 1. nn n n n n + + 解: 1 111 (1)0(1)(1)1(1) 1 kkkk k k nnnn nnn +=+ 而,当时,lim00 n =1k 1 1 lim0 k n n = .lim(1)0 kk n nn += (2)记 12 max , m a

14、a aa= 则有 12 nnnnnnn n m aaaam a+ 即 1 12 nnn n m aaaama+ 而 1 lim, lim, n nn aamaa = 故 12 lim nnn n m n aaaa += 即. 1212 limmax , nnn n mm n aaaa aa += (3) 111 (3 )(123 )(3 3 ) nnnn nnn + 即 11 3(1 23 )3 n nn nn + + 而 1 lim33,lim33 n n nn + = 故. 1 lim(123 )3 nn n n += (4) 11 111 nn + + 高等数学上（复大版）习题一 10

15、而 1 lim10,lim(1)1 nn n =+= 故. 1 lim 11 n n += 26. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值: 1111 (1)2,2,1,2,; (2)1,1,1,2,. 1 n nnn n x xxxnxxn x + = += + 证: (1),不妨设,则 1 22x=2 k x . 1 2222 kk xx + = 故对所有正整数n有,即数列有上界.2 n x2 n x2 n x 1nn xx + 即数列是单调递增的. n x 由极限的单调有界准则知,数列有极限. n x 设,则,于是,(不合题意,舍去),.lim n n xa =2aa= 2 2

16、aa=2,0aa=lim2 n n x = (2) 因为,且, 1 10 x= 1 1 1 n n n x x x + = + + 所以, 即数列有界02 n x+ 1nn xx + 1nn xx 从而可推得与同号， 1nn xx + 21 xx 而 1221 13 1,1,0 22 xxxx= += 故,即 1 0 nn xx + 1nn xx + 所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在. n x n x 设,则，lim n n xa =1 1 a a a = + + 高等数学上（复大版）习题一 11 解得(不合题意，舍去). 1515 , 22 aa + = 所以 15 lim.

17、2 n n x + = 27. 用函数极限定义证明： 22 2 2 2 1 0 2 sin314 (1) lim0; (2)lim3; (3) lim4; 42 141 (4) lim2; (5)lim sin0. 21 xxx x x xxx xxx x x xx + = + = + 证：(1),要使0 , 1sinsin 0 xx xxx = 1 X xX , sin 0 x x , 2 2 2 2 1313 31 3 |4 4 x xx x = 13 X =X x , 2 2 31 3 4 x x , 2 4 ( 4)2 2 x x x = + + 只要取，则= 当时，必有,0 2x +

18、 2 4 ( 4) 2 x x , 2 114 2 221 221 x xx x =+ + + 只须，取，则 1 22 x + 2 = 当时，必有 1 0 2 x+ 2 14 2 21 x x , 11 sin0sinxxx xx = 只要取，则= 当时，必有,0 0 x 1 sin0 x x 故. 0 1 lim sin0 x x x = 28. 求下列极限： 22 242 31 23 242 2 3 3 (1)lim;(2)lim; 131 1 (3)lim;(4)lim; 2131 1(1)(2)(3) (5)lim;(6)lim; 215 xx xx xn xxx xxx xxx xx

19、xx xnnn xn + + + + + (7)若，求a和b. 2 1 1 lim 2 21 x x axb x + = + 解：. () () 2 2 3 2 2 3 3 lim 3 3933 (1)lim 1lim915 1 x x x x x x x = + + 高等数学上（复大版）习题一 13 2 22 1 424242 1 1 2 2 2 2 3 3 3 42 24 24 lim() 11 (2)lim2. 31lim(31)13 11 1 1 11 (3)limlim. 11 212 2 1111 lim (4)limlim0. 3131 31 1lim 1 (5 x x x xx

20、 x xx x xx xx xxxx x x xx xx xx xxxx xx xxxx + + = + + = = + + 2 2 2 2 2 2121 lim 21 )limlim0 11 1 1lim 1 x xx x x xxxx x xx + + = + + 由无穷大与无穷小的关系知，. 2 1 lim 21 x x x + = + 3 (1)(2)(3)1123 (6)limlim 111 55 11123 limlimlim.111 55 nn nnn nnn nnnn nnn + =+ =+ (7)因为 22 1(1)()(1) 11 xa xab xb axb xx + =

21、+ 由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是 2 1 1 lim 2 1 x x axb x + = + 1 2 且10a= ()1 12 ab+ = 解得. 3 1, 2 ab= 29. 通过恒等变形求下列极限： 2 22 22 14 123(1)11 (1)lim; (2)lim;1 22 2168 (3)lim; (4)lim; 154 n nn xx n n xxxx xxx + + + + + 高等数学上（复大版）习题一 14 解： () 3 2 2 33 2 0 3 33 3 5 4 22 (5) lim; (6)lim; 22 11 51cot (7)lim

22、; (8)lim; 2cotcot5 (9)lim(1)(1)(1)(1);(10) n xx x x x x x xx x xx xxx xxx x + + + + 3 1 1 2 2 3 11 00 (1)(1)(1) lim; (1) 113 (11)lim; (12)lim; (1)11 log (1)1 (13)lim; (14)lim n n x xx x a xx xxx x xx xxx xa xx + + 3 sin 00 ; sin (15)lim(12 ); (16)limln. x xx x x x + 22 123(1)(1)111 (1)limlimlim.1 22

23、2 nnn nn n nnn + + = 1 22 111 2 2 444 1 1 11 2 (2)limlim2.1 1 22 1 2 21(1) (3)limlimlim(1)0. 11 68(2)(4)22 (4)limlimlim. 54(1)(4)13 n n nn xxx xxx xxx x xx xxxxx xxxxx + =+ + = + = + () 33 2 33 33 33 222 2 2 2000 44 (5) limlimlim2. 22 2222 11 (11) (6)limlimlim(11)2. 11 xxx xxx x x xx xx xx xxx x x x

24、 + = + + + + = += + ()()() ()()() () () 3333 3233 5532 33 532 33 36 32 533 555525 (7)limlim 5 55525 (5) 5 lim (5) 525 52 52 lim. 3 253 5 525 xx x x xxxxx x xxxx x x x xx x xx + = + + = + + = + 高等数学上（复大版）习题一 15 33 33 44 2 2 4 2 2 4 1cot1cot (8)limlim 2cotcot(1cot )(1cot) (1cot )(1cotcot) lim (1cot )(

25、1 1cotcot) 1cotcot3 lim. 2cotcot4 xx x x xx xxxx xxx xxx xx xx = + + = + + + = + 1 22 22 2 (9)lim(1)(1)(1)(1) (1)(1)(1)(1) lim 1 11 lim. 11 n n n x x x xxx x xxxx x x xx + + 2x= 解： 000 (1) lim( )limlim1, xxx x x f x xx + = 000 lim( )limlim1 xxx x x f x xx = 因为 00 lim( )lim( ) xx f xf x + 所以不存在. 0 li

26、m( ) x f x (2) 2222 1 lim( )lim,lim( )lim(2)4 2 xxxx f xf xx x + = +=+= 因为不存在，所以不存在. 2 lim( ) x f x + 2 lim( ) x f x 36. 研究下列函数的连续性，并画出图形： 2 ,1,01, (1) ( )(2) ( ) 1,1;2,12; xxx x f xf x xxx = 2 2 1 (3) ( )lim;(4) ( )lim. 1 xxn xxn nn nnx f xf xx nnx = + 解：(1)由初等函数的连续性知，在（0，1）， （1，2）内连续，( )f x 高等数学上（

27、复大版）习题一 23 又 2 1111 lim( )lim(2)1,lim( )lim1 xxxx f xxf xx + = 而，在处连续， 1 lim( )1, x f x =(1)1f=( )f x1x= 又，由，知在处右连续， 2 00 lim( )lim0(0) xx f xxf + =( )f x0 x= 综上所述，函数在0，2)内连续. 函数图形如下：( )f x 图 1-2 (2) 由初等函数的连续性知在内连续，又由( )f x(, 1),( 1,1),(1,) + 1111 lim( )lim 11,lim( )lim1, xxxx f xf xx + = 知不存在，于是在处不

28、连续. 1 lim( ) x f x ( )f x1x= 又由 1111 lim( )lim1,lim( )lim11, xxxx f xxf x + = 及知，从而在x=1 处连续，(1)1f= 1 lim( )(1) x f xf =( )f x 综上所述，函数在及内连续，在处间断.函数图形如下：( )f x(, 1) ( 1,) +1x= 图 1-3 (3)当x0 时， 2 2 2 2 1 1 1 ( )limlimlim1 1 1 1 xxx x xxx nnn x nnn n f x nnn n = + + 高等数学上（复大版）习题一 24 1,0, ( )lim0,0, 1,0.

29、xx xx n x nn f xx nn x 由初等函数的连续性知在内连续，( )f x(,0),(0,)+ 又由 0000 lim( )lim11,lim( )lim( 1)1 xxxx f xf x + = 知不存在，从而在处间断.综上所述，函数在内连续，在 0 lim( ) x f x ( )f x0 x=( )f x(,0),(0,)+0 x= 处间断.图形如下： 图 1-4 (4)当|x|=1 时， 2 2 1 ( )lim0, 1 n n n x f xx x = + 当|x|1 时， 2 2 2 2 1 1 1 ( )limlim 1 1 1 n n nn nn x x f xx

30、xx x x = + + 即 ,1, ( )0,1, ,1. x x f x x x x 由初等函数的连续性知在(,1),(1,1),(1,+)内均连续，又由( )f x 1111 lim( )lim ()1,lim( )lim1 xxxx f xxf xx + = 知不存在，从而在处不连续. 1 lim( ) x f x ( )f x1x= 又由 1111 lim( )lim()1,lim( )lim1 xxxx f xxf xx + = = 知不存在，从而在处不连续. 1 lim( ) x f x ( )f x1x= 综上所述，在(,1),(1,1),(1,+)内连续，在处间断.( )f

31、x1x= 图形如下： 高等数学上（复大版）习题一 25 图 1-5 37. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义， 使它连续： 2 2 2 1 (1),1,2; 32 (2),0, 1, 2,; tan2 1 (3)cos,0; x yxx xx x yxkxkk x yx x = + =+= = 1,1, (4)1. 3,1, xx yx xx = 解： 2 2 11 1(1)(1) (1)limlim2 32(1)(2) xx xxx xxxx + = + 2 2 2 1 lim 32 x x xx = + 是函数的可去间断点.因为函数

32、在x=1 处无定义，若补充定义，则函数在x=1处连续；1x=(1)2f= x=2 是无穷间断点. 0 2 (2)lim1,lim0 tantan x xk xx xx + = 当时，.0k lim tan xk x x = 为可去间断点，分别补充定义f(0)=1,，可使函数在x=0, 0,0, 1, 2, 2 xxkk=+= ( )0 2 f k+= 及处连续.(); 2 xk=+0, 1, 2,k= 为无穷间断点,0,1, 2,xkkk= (3)当时，呈振荡无极限，0 x 2 1 cos x x=0 是函数的振荡间断点.(第二类间断点). (4) 11 limlim(3)2. xx yx +

33、 = 高等数学上（复大版）习题一 26 11 limlim(1)0 xx yx = x=1 是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.) 38. 当x=0 时，下列函数无定义，试定义的值，使其在x=0 处连续:(0)f 3 1 11tan2 (1) ( );(2) ( ); 11 1 (3) ( )sinsin;(4) ( )(1) . x xx f xf x xx f xxf xx x + = + =+ 解： 2 3 3 3 000 (1)11113 (1)lim( )limlim 21111 xxx xxx f x xx + = + 补充定义可使函数在x=0 处连续. 3 (0), 2 f= 0

34、00 tan22 (2)lim( )limlim2. xxx xx f x xx = 补充定义可使函数在x=0 处连续.(0)2,f= 0 1 (3)limsin sin0 x x x = 补充定义可使函数在x=0 处连续.(0)0,f= 1 00 (4)lim( )lim(1)e x xx f xx =+= 补充定义可使函数在x=0 处连续.(0)e,f= 39. 怎样选取a,b的值，使f(x)在(,+)上连续？ 1, e ,0, 2 (1) ( )(2) ( ) ,0; sin,. 2 x axx x f xf x axx xbx + = + + 解：(1)在上显然连续，而( )f x(,0),(0,)+ 00 lim( )lim(), xx f xaxa + =+= 且, 00 lim( )lim e1, x xx f x =(0