第二章 质点动力学.ppt

1、1,牛顿,第二章 质点动力学 前言 2-1 牛顿运动定律 2-2* 力学相对性原理非惯性系中的力学 2-3 动量 动量守恒定律 2-4 功 动能 势能机械能守恒定律 2-5* 理想流体的伯努利方程,2,前言,运动和物体相互作用的关系是人类几千年来不断探索的课题。在力学中，物体与物体间的相互作用称之为力。,力的作用既有瞬时效应，又有积累效应：前者由牛顿定律描述，后者则由三大守恒律所描述；,原来物体作何种运动，既与物体间的相互作用有关，又与物体自身的性质有关。当物体内部出现某种非线性因素时，在一定条件下即可能导致混沌。,从17世纪开始，以牛顿定律为基础建立起来的经典力学体系，一直被认为是“确定论”

2、的。但廿世纪80年代，人们发现了在“确定论”系统中，却可能发出现“随机行为”。为什么？,3,21 牛顿运动定律,一、惯性定律 惯性参照系,实验表明，动力学规律并非是在任何参考系中都成立。这就引出了惯性参考系的问题。,1、惯性定律,“孤立质点”的模型：,不受其它物体作用或离其他物体都足够远的质点。,例如，太空中一远离所有星体的飞船。,牛顿第一定律（惯性定律）：,一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运动状态。,4,惯性和惯性运动,惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动,惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是物质固有的属性。,惯性和第一定律的发现，使人们最终把运动和力分离开来。,2.

3、惯性系与非惯性系,问题的提出：惯性定律是否在任何参照系中都成立？,5,牛顿定律只适用于某些参照系。,S/:牛顿定律不成立 a/ 0,S:牛顿定律成立 a = 0,6,什么是惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速 直线运动时，该参照系为惯性系。,如何确定惯性系只有通过力学实验,*1地球是一个近似程度很好的惯性系,但,相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。,一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。,*2太阳是一个精度很高的惯性系,太阳对银河系中心的加速度为,马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均加速度为零的参照系。惯性系只能无限逼近，而无最终的惯性系。,7

4、,牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比。与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力F的方向相同。,比例系数k与单位制有关。在国际单位制（SI制）中k=1。,二、牛顿第二定律惯性质量引力质量,其数学形式为,0物体之间的四种基本相互作用；,1、关于力的概念,0力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形变，可使物体获得加速度。,力的概念只是物质的相互作用在经典物理中的一种表述。,8,30力的叠加原理,若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。,力的叠加原理的成立，不能自动地导致运动的叠加。,2、关于质量

5、的概念,3、牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬时的定量关系,0质量是物体惯性大小的量度；,0引力质量与惯性质量的问题；,调节引力常数， 使m引，m惯的比值为一,惯性质量与引力质量等价。,9,三、牛顿第三定律,1作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的力，不是一对平衡力。,2作用力与反作用力是同一性质的力。,3若A给B一个作用，则A受到的反作用只能是B给予的。,牛顿第三定律：当物理A以力 作用在物体B上时，物理B也必定同时以力 作用在物体A上， 和 大小相等，方向相反，且力的作用线在同一直线上，即,* 牛顿第三定律只在实物物体之间，且运动速度远小于光速时 才成立。,10,四、牛顿定律的应

6、用,1、牛顿定律只适用于惯性系,在直角坐标系,在自然坐标系,2、牛顿定律只适用于质点模型,3、具体应用时，要写成坐标分量式,11,若F=常量 ， 则,若F=F(v) ， 则,若F=F(r) ， 则,、要根据力函数的形式选用不同的方程形式,运用举例：,12,1)物体M对地的加速度 2)物体m对M的加速度 3)物体m与M间的弹力N 4)尖劈与桌面间的弹力R,解：分别以m,为对象，选地为参考系,a/ 是m对M的加速度， aM是M对地的加速度,所以m对地的加速度为,例2-1 质量为M的光滑尖劈，倾角为，置于光滑的水平桌面上， 质量为m的物体放在尖劈的斜面上，求：,牛顿定律只适用于惯性系,建立如图坐标，

7、则am在X、Y轴上的分量分别为,13,由牛顿定律的坐标 分量式方程可得,对于m有,对于有,m,的受力图如下所示,14,联立得,15,例 图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体m1m2 m3(m1m2+m3)绳轻且不可伸长，滑轮质量不计，求每个物体对地加速度及绳中张力 。,解：设m2,m3对滑轮的相对加速度为a/，向下为轴正方向, a1为m1对地加速度，则可得,对m1,对m3,对m2,对动滑轮,为什么 T2T2/,16,17,例23一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为M的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量为mM/2，若人相对于绳以加速度a0向上爬，则人相对于地面的加速度是多少？,解：分别以

8、人、物为对象，受力图如下。,则人对地的加速度为,设物体向下的加速度为a,由牛顿第二定律，有,联立，得,于是人对地的加速度为,18,已知运动情况求力,例24 长 l 的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m 的小球。使小球从悬挂着的铅直位置以水平初速度v0开始运动。用牛顿定律求小球沿逆 时针方向转过角时的角速度和绳中的张力,解 ：取小球为研究对象；小球受重力mg，及绳子的张力T,取自然坐标系，将重力mg、张力T 沿、n方向分解.,列方程,19,将式两边同乘d，并约去等式两边m可得,对上式两边求积分有,解得,将 v = l 代入式,20,解：设向下为轴正向，且,由牛顿第二定律得,例2-5 在地球表面附

9、近自由下落的物体，所受空气阻力与速率平方成正比，求其速度表示式,已知力求运动,若令,则有,21,故,即,讨论：,22,1、 单位制：基本量、导出量,单位制的任务是：规定那些物理量是基本量及所使用的基本量的数量级。,七个基本量为 长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和发光强度,从基本量导出的量称为导出量，相应的单位称为导出单位。,五、国际单位制和量纲（自学提纲）,2、量纲：,通过物理定律、定理、定义等将某个物理量表示成某种单位制中基本物理量的方次。,23,因为导出量是基本量导出的，所以导出量可用基本量的某种组合(乘、除、幂等)表示。这种由基本量的组合来表示物理量的式子称为该物理量的量纲式，,例

10、如：在SI制中,24,力的瞬时效应加速度：牛顿定律,力的积累效应,一、质点的动量定理,、动量的引入,在牛顿力学中，物质的质量可视为常数,故,即,2-3 冲量、动量、动量定理,25,）式中 叫做动量，是物体运动量的量度。,）动量 是矢量，方向与 相同。,动量是相对量，与参照系的选择有关。,、冲量的概念,） 恒力的冲量,） 变力的冲量,此时冲量的方向 不能由某瞬时力的方向 来决定,指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量,力在某一段时间间隔内的冲量,冲量的方向与力的方向相同,作用力F恒量，作用时间t1t2，力对质点的冲量，,26,26,在直角坐标系中的分量式,动量与惯性系的选

11、取有关，而动量的增量与惯性系的选取无关。,动量定理的应用范围比牛顿第二定律更广泛。,注意事项：,冲量 是元冲量 的矢量和，一般情况下，冲量的方向与外力方向不相同，也与动量的方向不同，而与动量的增量方向相同。,即,其表示：物体所受外力的冲量等于物体的动量的增量,3、质点的动量定理,27,平均冲力概念,）峰值冲力的估算,） 当相互作用时间极短时，相互间冲力极大，此时某些有限主动外力（如重力等）可忽略不计。,、动量定理的应用,）当动量的变化是常量时，有,28,例7 作用在质量为1kg 的物体上的力 F=6t+3,如果物体在这一力的作用下，沿直线运动，则在02.0s时间内，这个力作用在物体上的冲量I=

12、 2秒末物体的速度v=_,29,例28质量为m的小球在向心力作用下，在水平面内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，如图所示。小球自A点逆时针运动到B点的半圆内，动量的增量应为： （A） （B） （C） （D）,答（B）,动量的增量为,30,例2-9 一火箭在均匀引力场中，以恒定速率u喷射气体，由静止上升。假定排出气体质量的增率为dm/dt=m,其中m是火箭的瞬时质量，是常数，再假定使火箭减速的空气阻力是bv（b为常数），求火箭的终极速度。,解：以t时刻火箭内的质量m和即将喷出的质量dm为一系统，以竖直向上为正方向，则,t时刻,（t+dt）时刻,运用动量定理,在整理中略去高阶无穷小量 dmdv

13、得,31,将 代入 ，并整理，得,显然，当 时有终极速度，即,32,二、质点系的动量定理,1、内力与外力,i质点所受的内力,i质点所受合力,2、i质点动量定理,33,3、质点系的动量定理（对i求和）,因为内力成对出现,这说明内力对系统的总动量无贡献， 但对每个质点动量的增减是有影响的。,34,质点系合外力的冲量 = 质点系动量的增量。,于是有,或,35,三、动量守恒定律,若系统所受的合外力,系统总动量守恒,一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。,注意：动量守恒式是矢量式,(1)守恒条件是,而不是,36,

14、若 ，但若某一方向的合外力零， 则该方向上动量守恒；,(3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中；,(4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，而运用动量守恒。,(2)若,表示系统与外界无动量交换，,表示系统与外界的动量交换为零。,则系统无论沿那个方向的动量都守恒；,37,例10 质量为的木块在光滑的固定斜面上，由点从静止开始下滑，当经过路程运动到点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，立即陷入木块内，设子弹的质量为m，速度为v，求子弹射中木块后，子弹与木块的共同速度,解：木块由至过程，机械能守恒，木块在B点的末速度,以子弹，木块为一系统，沿斜面方向为轴，则该方向上动量守恒。,（图中f

15、，f/为内力，支持力在方向中没有分力，重力在方向中的分力可略去）,38,为什么在水平方向动量不恒？因为此时约束反力在水平方向的分力不为零,子弹击中瞬间，方向有,39,例11 三只小船的质量（包托载重）均为M，以相同速率v0在一条直线上航行。如中船的人以水平相对速率u将质量为m的两个小包同时分别投向前后两只船，不计水对船的阻力，求投后各船的速率,解：解此题的关键是将质点系内各量统一到同一惯性系中。,以小船前进方向为正方向，设B船投出小包时的速度为v2,则分别投向A、C两船的小包的对地速度为,40,分别以A、C、B船及小包为对象，由水平方向动量守恒，可得,解得,41,例212 一质量m1=50kg

16、的人，站在质量m=200kg长为L4m的船的船头上，开始时船静止。试求当人走到船尾时，船移动的距离。 水的阻力不计。,方向与人前进的方向相反。,水平方向动量守恒,解：设人对船的速度为 ，船对静止水的速度为 。,42,一、功的概念 功率,1、恒力的功,即某力的功等于力与质点在该力作用下的位移的标积,(中学）力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘 积,由矢量标积定义式，有,2- 功 动能 势能 机械能守恒定律,43,功值的图示法,2、变力的功,）元功,设质点沿X轴运动，则力在区间x1, x2内做的功，即为图中有阴影部分的面积,物体在变力的作用下从a运动到b,b,44,2 ) dA 在F-S图上的

17、几何意义,3）变力在一段有限位移上的功,功的直角坐标系表示式,因为功是标量，所以总功等于各方向上的分量之代数和。,dA=F（s）ds ，其在Fs图上即为有阴影的小方块的面积。,说明：,(1)功是标量，有正、负之分。 (2)功是过程量，与初末位置及运动路径有关。,45,一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关,46,、功率 单位时间内所作的功称为功率,功率的单位：在SI制中为瓦特（w）,47,物体m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.,重力的功只由质点始、末位置来决定，而与所通过的路径无关.,4、保守力的功, 重力的功,48,48,万有引力的功,由图知,元位移,力函数,49, 弹簧弹性力

18、的功,50,1)、保守力,如重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力、分子作用力等均为保守力，,即保守力沿任一闭合路径的功为零。,如果某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该力谓之保守力。,51,L,S+,保守力的共同特征：,a、 力函数或为常数，或者仅为位置的函数；,b、 保守力的功总是“原函数”增量的负值。,2)、非保守力,若力的功值与具体路径有关,则为非保守力.,如摩擦力、爆炸力等。,52,例214 一物体按 x=ct3 规律在媒质中作直线运动，式中c为常量，t为时间，设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k，试求物体由x=0运动到x=l时，阻力所作的功。,解： 速度,阻力为,阻

19、力对物体所作的功为：,53,二、动能定理,1、动能,是一个独立的物理量，,与力在空间上的积累效应对应。,这说明,又，m为常数,54,是质点作机械运动时所具有的运动量的量度，称之为动能,是状态量，相对量，与参照系的选择有关,2、动能定理,或,即，合外力的功等于物体动能的增量,合力对质点作用一段距离所产生的积累作用，从而导致动能的有限变化。,55,动能与动量的区别,引入,两种度量作用,56,例6 一质量为m的质点，在力 的作用下，由静止开始沿一轨迹方程为 x29y 的曲线从原点（，）运动到（，）点。试求质点运动到点时的速度。,解：根据功的定义,将x29y 代入上式得,根据动能定理：,57,例2-1

20、7 一个质量15g的子弹，以200米/秒的速度射入一固定的木板内，如阻力与射入木板的深度成正比，即 且 求子弹射入木板的深度。,解：以m为研究对象， 建立坐标系ox，,设射入深度为,在射入深度为x时，,由动能定理：,58,三、势能,描述机械运动的状态参量是,对应于：,弹簧弹性力的功,万有引力的功,重力的功,1、势函数,为此我们回顾一下保守力的功,59,由上所列保守力的功的特点可知，其功值仅取决于物体初、终态的相对位置，故可引入一个由相对位置决定的函数,由定积分转换成不定积分，则是,式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量,又由于功是体系能量改变量的量度。因此，这个函数必定具有能量

21、的性质；而这个具有能量性质的函数又是由物体相对位置所决定，故把这种能量称之为势能（或曰位能），用表示。,则有：,60,2、已知保守力求势能函数,弹性势能：,保守力的力函数,若取坐标原点，即弹簧原长处，为势能零点，则 c=0,于是,重力势能,保守力的力函数,若取坐标原点为势能零点，则c=0,61,引力势能,保守力的力函数,若取无穷远处为引力势能零点，则,势能函数的一般特点,1) 对应于每一种保守力就可引进一种相关的势能,2) 势能大小是相对量与所选取的势能零点有关,3) 一对保守力的功等于相关势能增量的负值,4) 势能是彼此以保守力作用的系统所共有,62,、已知势能函数求保守力分布,若保持y，z

22、 不变， 则dydz0,同理,则,63,64,势能曲线,将势能随相对位置变化的函数关系用一条曲线描绘出来，就是势能曲线。,65,1、势能曲线能说明质点在轨道上任一位置时，质点系所具有的势能值。,2、势能曲线上任一位置处的斜率（dEP/d ）的负值，表示质点在该点处所受的保守力。,设有一保守系统，其中一质点沿x方向作一维运动，则有,由教材中之图可知，凡势能曲线有极值时，即曲线斜率为零处，其受力为零。这些位置点即为平衡位置。,势能曲线有极大值的位置点是不稳定平衡位置，势能曲线有极小值的位置点是稳定平衡位置点,由势能曲线所获得的信息,66,四、 质点系的动能定理与功能原理,1、质点系的动能定理, 质

23、点系的内力和外力, 对于单个质点,67, 对 i 求和质点系的动能定理,质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功、内部非保守力的功三者之和。,68,若引入 (机械能） 则可得,系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力功之和。,2、功能原理,由于内力总是成对出现的，而对每一对内部保守力均有,69,）功能原理只适用于惯性系（从牛顿定律导出）,3 )具体应用时，一是要指明系统，二是要交待相关的势能零点,注意的问题：,） 功能原理是属于质点系的规律（因涉及P），与质点系的动能定理不同,质点系动能定理,质点系功能原理,4）当质点系内各质点有相对运动时，注意将各量统一到同一惯性系中,70,五、机械能守恒律,由功能原理式可知,机械能守恒的条件：,系统与外界无机械能的交换,系统内部无机械能与其他能量形式的转换,当系统机械能守恒时，应有,即系统内，动能的增量势能增量的负值,若 和 ,则系统的机械能保持不变。,71,六、能量转换与守恒,在一个孤立的系统内，各种形态的能量可以相互转换，但无能怎样转换，这个系统的总能量将始终保持不变。,72,例 2-18 如图所示质量为M的物块A在离平板h的高度处自由下落，落在质量也是M的平板B上。已知轻质弹簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧