高三立体几何大题专题(用空间向量解决立体几何类问题)

1、【知识梳理】1、 空间向量的概念及相关运算1、 空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量称为基向量。2、 空间直角坐标系的建立分别以互相垂直的三个基向量的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴和z轴。则（x,y,z）称为空间直角坐标。注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。3、 空间向量运算的坐标表示(1)若，则： =(2)设则(3)，则二、应用：平面的法向量的求法：1、建立恰当的直角坐标系 2、设平面法向量n=（x，y，z） 3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b

2、3） 4、根据法向量的定义建立方程组n*a=0 n*b=0 5、解方程组，取其中一组解即可。 应用1：证明空间位置关系（1）线线平行：证明，即证明（2）线线垂直：证明，即证明（3）线面平行：证明（平面）（或在面内），即证明垂直于平面的法向量或证明与平面内的基底共面；（4）线面垂直：证明，即证明平行于平面的法向量或证明垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；（5）面面平行：证明两平面（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；（6）面面垂直：证明两平面，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。应用2：利用空间向量求线线角、线面角、二面角（1）异面直线

3、的夹角：。设是两条异面直线，是上的任意两点，是直线上的任意两点，则，即所成的角为（2）直线与平面的夹角：。设是平面的斜线，设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则，即与平面所成的角为（3）二面角：设是二面角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的大小。需具体分析是哪一个。当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的大小。当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的补角。应用三：求距离（1）两点间距离：，则（2）点到直线距离：在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为（3）点到平面距离：点是平面外一点，是平面内的一定

4、点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为（4）两异面直线距离：设直线是两条异面直线，是公垂线AB的方向向量，又C、D分别是上的任意两点，则与之间距离（5）直线平面 （）的距离：转化为点到平面的距离（6）平面与平面（）的距离（为平面的法向量）：转化为平面内的点到平面的距离。应用四：解决探究问题对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法. 立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.方法：

5、点F是线PC上的点，一般可设，求出值，P点是已知的，即可求出F点 点F在平面PAD上一般可设、计算出后，D点是已知的，即可求出F点。【经典例题】AEFBCDHGXYZ一、平行垂直的证明（包含存在性问题）例1、如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点。 (1)求证：平面；(2)求证：平面；例2、 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC=90o，PD平面ABCD，AD =1，AB=，BC =4。 （I）求证：BDPC；（2）设点E在棱PC上，若DE平面PAB，求的值【变式1-1】在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，/，（）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使平

6、面平面？证明你的结论【变式1-2】PDABCFE如图，在四棱锥中，平面平面，且， 四边形满足，点分别为侧棱上的点，且（）求证：平面；（）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （）是否存在实数，使得平面平面？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由【变式1-3】ACDBN在等腰梯形ABCD中，N是BC的中点将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）（）求证：平面； （）求证：平面；【变式1-4】在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（）求证：；（）求证：平面;【变式1-5】如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD平面ABCD，NBMD，且NB=1，MD=2；（）求

7、证：AM平面BCN;（）求AN与平面MNC所成角的正弦值；（）E为直线MN上一点，且平面ADE平面MNC，求的值.【变式1-6】如图，在直三棱柱中，是中点.（I）求证：平面；（II）若棱上存在一点，满足，求的长；【变式1-7】如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为棱的中点（）求证：/ 平面；（）求证：平面平面；【变式1-8】在四棱锥中，底面是正方形，为的中点. （）求证：平面；（）求证：；（）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由二、利用空间向量求二面角，线面角，线线角例1、在棱长为的正方体中，分别是的中点，ABCDEFGxyz（1）求直线所成角；（2）求直线与平面所

8、成的角，（3）求平面与平面所成的角 例2、如图，四棱锥的底面为菱形，侧面是边长为2的正三角形，侧面底面.()设的中点为，求证：平面；（）求斜线与平面所成角的正弦值；（）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值.【变式2-1】在四棱锥中，侧面底面， 为直角梯形，/，为的中点（1）若PC与AB所成角为，求的长；（2）在（）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值【变式2-2】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD， EF / AB，BAF=90， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上（）若P是DF的中点， () 求证：BF / 平面ACP；() 求异

9、面直线BE与CP所成角的余弦值； （）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度【变式2-3】如图，四边形为正方形，（I）证明：平面；（II）求异面直线与所成角的余弦值;（III）求直线与平面所成角的正弦值【变式2-4】已知四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如图所示.（）求证：；（）求异面直线与所成角的余弦值；（）求二面角的余弦值.3、 求距离ABCA1B1C1M例、如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，CB=1,CA=, AA1=,M为侧棱CC1上一点, （1）求证: AM平面；（2）求二面角BAMC的大小；（3）求点C到平面ABM的距离【变式3-1】

10、如图1，在Rt中，D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2ABCDE图1图2A1BCDE（）求证： 平面；（）若，求与平面所成角的正弦值；（） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值 【强化训练】&【课后作业】（注：本专题根据学生的程度及上课接受情况适当选择部分进行上课练习，部分做为课后作业。）（13，西城一模）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，/，（）求证：平面；（）求与平面所成角的正弦值；（）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论（13，延庆一模） 如图，四棱锥的底面为菱形，侧面是边长为2的正三角形，侧面底面.()设的中点为，求证：平面；（）求斜线与平面所成角

11、的正弦值；（）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值.（13，朝阳一模）PDABCFE如图，在四棱锥中，平面平面，且， 四边形满足，点分别为侧棱上的点，且（）求证：平面；（）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （）是否存在实数，使得平面平面？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由（13，东城一模）已知几何体ABCED的三视图如图所示，侧视图俯视图正视图1444其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（）求此几何体的体积V的大小;（）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.（13，房山一模）在四棱锥中，侧面底面， 为直角梯形，/，为的中点（）求证：PA/平面BEF；（）若PC与AB所成角为，求的长；（）在（）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值（13，门头沟一模）ACDBN在等腰梯形ABCD中，N是BC的中点将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）（）求证：平面； （）求证：平面；（）求二面角的余弦值（13，海淀一模）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（）求证：；（）求证：平面;（）求二面角的余弦值（13，丰台一模）16如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD平面ABCD，NBMD，且NB=1，MD=2；（）求证