湖北省大冶市第一中学2020学年高二数学10月月考试题（含解析）（通用）

1、湖北省大冶市第一中学2020学年高二数学10月月考试题（含解析）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1.已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则（ ）A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】C【解析】【分析】先确定为等差数列，由等差的性质得进而求得的通项公式和的通项公式，则可求【详解】由题意知为等差数列，因为，所以，因为，所以公差，则，即，故，于是.故选：C【点睛】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题2.如图，正方体中，异面直线和所成角的大小为（ ）A. B. C. D.

2、 或【答案】A【解析】【分析】连接，根据平行关系可知所求角为，易知为等边三角形，从而可知，得到所求结果.【详解】连接， 即为异面直线与所成角又 即异面直线与所成角为：本题正确选项：【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是通过平移直线找到所成角，再放入三角形中进行求解.3.设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列命题：若，则； 若，则；若，则； 若，则.则以上命题正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定和性质依次判断各个选项即可.【详解】，此时与平行或相交，错误；，根据面面平行性质可知，正确；，则，又，正确；，则

3、或；又，正确.本题正确选项：【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关命题的判断，考查对于平行与垂直的判定定理、性质定理的掌握情况.4.已知过点和点的直线为，若，则的值为（ ）A. B. C. 0D. 8【答案】A【解析】【分析】利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出【详解】l1l2，kAB2，解得m8又l2l3，(2)1，解得n2，mn10故选:A【点睛】本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是（ ）A. B. 或C. 或D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而

4、画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1），分别求出b，则b的范围可得【详解】由可以得到，所以曲线为轴右侧的半圆，因为直线与半圆有且仅有一个公共点，如图所示：所以或，所以或，故选B【点睛】本题考查直线与半圆的位置关系，注意把曲线的方程变形化简时要关注等价变形6.圆与圆的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程【详解】将两圆方程相减可得即当时，当时，交点与，故选B【点睛】

5、本题考查圆与圆的位置关系两圆方程分别为，则两方程相减得，为：两圆相交时是相交弦所在直线方程，两圆相切时，是过切点的公共切线的方程7.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的周长为，则的值是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由椭圆的定义知的周长为，可求出的值，再结合、的关系求出的值，即的值。【详解】设椭圆的长轴长为，焦距为，则，由椭圆定义可知，的周长为，解得，故选：D。【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查利用椭圆定义求椭圆的焦点三角形问题，在处理椭圆的焦点与椭圆上一点线段（焦半径）问题，一般要充分利用椭圆定义来求解，属于基础题。8.如图，多面体为正方体，则下面结论正确的是A.

6、B. 平面平面C. 平面平面D. 异面直线与所成的角为【答案】C【解析】【分析】在A中，由，得，矛盾；在B中，由平面，得平面平面，得到平面平面也是错误的；在C中，由，得平面平面；在D中，推导出AD与所成角为【详解】在A中，若，由，得，矛盾，故A错误；在B中，平面，平面平面，则平面平面也是错误的，故B错误；在C中，平面平面，故C正确；在D中，多面体为正方体， ，又，与所成角为，故D错误故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题9.已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中

7、点的弦所在直线的斜率为()A. B. C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】由于是弦的中点，根据点差法求出弦所在直线的斜率.【详解】设以为中点的弦的两个端点分别为，所以由中点坐标公式可得，把两点坐标代入椭圆方程得两式相减可得所以，即所求的直线的斜率为.故选A项.【点睛】本题考查通过点差法求弦中点所在直线的斜率，属于中档题.10.已知PA，PB是圆C:的两条切线(A，B是切点)，其中P是直线上的动点，那么四边形PACB的面积的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】配方得圆心坐标，圆的半径为1，由切线性质知，而的最小值为C点到的距离，由此可得结论【详解】由题意圆的标准

8、方程为，圆心为，半径为又，到直线的距离为，故选C【点睛】本题考查圆切线的性质，考查面积的最小值，解题关键是把四边形面积用表示出来，而的最小值为圆心到直线的距离，从而易得解11.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离结合上述观点，可得的最小值为()A. B. C. 4D. 8【答案】B【解析】f(x)，f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(2,4)与B(1,3)的距离之和，设点A(2,4)关于x轴的对称点为A，则A为(2，4)要求f(x)的最小值，可转化为|MA|

9、MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|MB|AB|5，即f(x)的最小值为5.选B.12.已知椭圆的左、右焦点分别是，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”.下列有三个命题：黄金椭圆中，成等比数列；在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，则；在黄金椭圆中，以为顶点的菱形的内切圆经过焦点.正确命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】本道题结合椭圆的基本性质，结合三角形三边关系，建立等式，证明，即可。【详解】对于1选项，得到，结合，故，所以a,b,c成等比数列，故正确；对于2选项，则而,故，正确；对于3选项，结合题意可知,该圆的圆心为坐标原点,设圆心的半径为r，结合该

10、圆与四边形ABDE相切，结合可知，代入离心率得到，所以该圆经过焦点，故正确的有3个，故选D。【点睛】本道题考查了椭圆的基本性质，关键结合离心率计算公式和三角形三边关系，建立等式，难度偏难。二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分。把答案直接填在横线上)13.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为_【答案】9【解析】【分析】平分圆的直线过圆心，由此求得的等量关系式，进而利用基本不等式求得最小值.【详解】由于直线始终平分圆的周长，故直线过圆的圆心，即，所以.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.14.三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长是的正三角形，则三

11、棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】取AC中点G，连接DG，BG，得到两个三角形中心E，F，进而得到球心O，在三角形OEB中，求得半径，得解【详解】如图，取AC中点G，连接DG，BG，E，F分别为中心，外接球球心为O，易知OEGF为正方形，求得，故答案为：【点睛】此题考查了三棱锥外接球，难度适中15.已知过椭圆左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】由条件确定P点坐标，利用向量关系求出Q的坐标，代入椭圆方程求离心率.【详解】因为是等腰三角形且，所以.设，因为，所以，得，,又Q在椭圆上，所以，又，所以，,故答案为.【点睛】本题考

12、查椭圆离心率的求解，考查计算能力，属于中档题.16.正项数列满足,又是以为公比的等比数列,则使得不等式成立的最小整数为_.【答案】6【解析】【分析】求得首项，根据题目所给公比求得的表达式，由此求得的表达式，利用的表达式证得是等比数列，由此求得的通项公式，进而求得的通项公式，利用等比数列前项和公式求得不等式左边表达式的值，解不等式求得的最小正整数值.【详解】依题意是首项为，公比为的等比数列，故，两边平方得，所以，两式相除得，故是以为首项，公比为的等比数列，故，所以.是以为首项，公比为的等比数列，故，所以.所以，由，经检验可知，符合题意.即的最小值为.【点睛】本小题主要考查递推数列求通项，考查数列

13、求和的方法，考查不等式的解法，属于中档题.三、解答题(共6小题，共70分。)17.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）若点P在椭圆上，F2PF160，求PF1F2的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意求得a，设出椭圆方程，代入已知的坐标求得b，则椭圆方程可求；（2）由（1）求得c及2a，在F2PF1中，由余弦定理可得，然后代入三角形面积公式可得F2PF1的面积【详解】（1） 因为的焦点在轴上且长轴为，故可设椭圆的方程为（），因为点在椭圆上，所以， 解得， 所以，椭圆的方程为（2）由（1）知，在F2PF1中，由余弦定理可得：即，则【

14、点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形中椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题18.已知等差数列的前项和为，且，公差，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，公差，成等比数列，形成方程组，解得答案.（2）根据，计算，得到，用裂项求和法得到答案.【详解】（1），成等比数列，即，又，故.（2）由（1）得，.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活应用.19.如图，在三棱柱中，且，底面，为中点,点为上一点（1）求证： 平面； （2）求二面角 的余弦值；【答案】（1）详见解析；（2）

15、.【解析】【分析】（1）连接交于O，连接EO，证明，推出 平面（2）以CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值【详解】（1）连接交于，连接，因四边形为矩形，为对角线，所以为中点，又为中点，所以，平面，平面，所以 /平面（2）因为底面，所以底面，又，所以以，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 则，设平面的法向量为,则有，即 令，则由题意底面，所以为平面的法向量，所以，又由图可知二面角为钝二面角，所以二面角 的余弦值为。【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的综合应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力2

16、0.已知点与圆.（1）设为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；（2）过点作圆的切线，求的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设出点，借助点得出的轨迹方程；（2）利用点到切线的距离等于半径，求出切线方程.【详解】解：（1）设因为线段的中点为，故，因为为圆上的动点，所以，即，即的轨迹方程；（2）当切线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当切线的斜率存在时，则设切线方程为，即，故，解得：，此时切线方程.所以切线方程为或.【点睛】本题考查了点的轨迹问题、直线与圆相切的问题，解决动点轨迹常见的方法有直译法、定义法、相关点法、参数法等等，解题时应注意灵活应用.21.如图，四棱锥中，底面是

17、边长为2的正方形，侧面底面，.（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质证得，利用线面垂直的性质证得，进而可得面，平面平面；（2）首先由不等式证得当时，三棱锥体积最大，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量来求二面角的平面角，不难求解【详解】（1）证明：侧面底面，侧面底面，四边形为正方形，面，面，又面，平面，面，平面，面，面，平面平面（2），求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值令，由（1）知，而，当且仅当，即时，的最大值为如图所示，分别取线段，中点，连接，以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系由已知，所以，令为面的一个法向量，则有，易知为面的一个法向量，二面角的平面角为，为锐角则【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了三棱锥的体积公式、基本不等式的应用，以及利用空间向量的数量积求二面角余弦值的问题，难度适中。22.已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为圆的圆心(1)求椭圆的方程；(2)若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为，当时，MON的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由【答案】（1）（2）为定值，详见解析【解析】【分析】(