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文档简介
1、122组合一、复习引入:1分类加法计数原理:2.分步乘法计数原理:3排列的概念:4排列数的定义:5排列数公式:6 阶乘:7排列数的另一个计算公式:8. 提出问题: 示例1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?示例2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2名同学,是与顺序无关的引出课题:组合二、讲解新课:1组合的概念:一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一
2、个组合说明:不同元素;“只取不排”无序性;相同组合:元素相同例1判断下列问题是组合还是排列(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法?(4)10个人互相通信一次,共写了多少封信?(5)10个人互通电话一次,共多少个电话?问题:(1)1、2、3和3、1、2是相同的组合吗?(2)什么样的两个组合就叫相同的组合2组合数的概念:从个不同元素中取出个元素的所有组合
3、的个数,叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示例2用计算器计算解:例3计算:(1); (2); 3组合数公式的推导:(1)从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢?启发:由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得,故我们可以考察一下和的关系,如下: 组 合 排列 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数,可以分如下两步: 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有个; 对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有种方法由分步计数原理得:,所以,(2)推广:一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可
4、以分如下两步: 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数; 求每一个组合中m个元素全排列数,根据分步计数原理得:(3)组合数的公式:或 规定: .三、讲解范例:例4求证:证明:例5设 求的值 解:例6 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人问: (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?例7(1)平面内有10 个点,以其中每2 个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为
5、端点的有向线段共有多少条?解:例8在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?解:变式:按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?(1)甲、乙、丙三人必须当选; (2)甲、乙、丙三人不能当选;(3)甲必须当选,乙、丙不能当选; (4)甲、乙、丙三人只有一人当选;(5)甲、乙、丙三人至多2人当选; (6)甲、乙、丙三人至少1人当选;例9(1)6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种
6、不同的分法?解: (2)从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议,要求至少有2名男生和1名女生参加,有多少种选法?解:错解:种选法引导学生用直接法检验,可知重复的很多例104名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种?122组合(2)组合数的性质1:一般地,从n个不同元素中取出个元素后,剩下个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数,即:在这里,主要体现:“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明:又 ,说
7、明:规定:;等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标;此性质作用:当时,计算可变为计算,能够使运算简化.例如=2002;或2组合数的性质2:+一般地,从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是,这些组合可以分为两类:一类含有元素,一类不含有含有的组合是从这n个元素中取出m -1个元素与组成的,共有个;不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的,共有个根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想证明: + 说明:公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数;此性质的作用:恒等变形,简化运算 例11一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球,(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?解:例12(1)计算:;(2)求证:+解:例13解方程:(1);(2)解方程:解: 例14证明:。证明:例15证明:(其中)。证明:例16证明:。证明:例17证明:。证明:例18第17届世界杯足球赛于2002年夏季
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