1.1.1正弦定理

1、1.1.1正弦定理,台师高级中学 苏志强,思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系,Rt 中,思考：对于一般三角形，上述结论是否成立,所以CD=asinB=bsinA, 即,同理可得,过点C作CDAB于D,此时有,若三角形是锐角三角形, 如图1,探究一,且,仿上可得,若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?,此时也有,交BC延长线于D,过点A作ADBC，,探究二,正弦定理:,在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.,即,思考,是否可以用其他方法证明正弦定理?,探究,作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,剖析定理、加深理解,正弦定理可以解决三角形中哪类问题：,1，,已知两角和一边，

2、求其他角和边.,2，,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.,一般地，把三角形的三角A,B,C和他们所对的边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。,.,例题讲解,已知两角和任意边，求其他两边和一角,定理的应用,练1,在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。,解三角形.,解：,且,=,已知两角和任意边， 求其他两边和一角,=,例题讲解,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角,三角形中大边对大角,已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角,解：由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,当120

3、时,(1),(2),三角形中大边对大角,变式1: a=30, b=26, A=30解三角形.,变式2: a=20, b=40, A=45解三角形.,变式3: a=22, b=25, A=133解三角形.,变式1: a=30, b=26, A=30,解三角形.,由于1540 +3001800,故B只有一解（如图）,C=1240,变式: a=30, b=26, A=30,解三角形.,所以,25.70,C=124.30,a b A B ,三角形中大边对大角,变式2: a=20, b=40, A=45解三角形.,解：由正弦定理,得,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解

4、,无解?,?思考,，求B；,判断 解的个数：,，求B；,，求B；,，求B；,一解,一解,无解,两解,课堂小结,（1）三角形常用公式：,（2）正弦定理应用范围：,已知两角和任意边，求其他两边和一角,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况),正弦定理：,三角形中大边对大角,1正弦定理适用的范围是(,),D,A直角三角形 C钝角三角形,B锐角三角形 D任意三角形,2在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, a,5，b3，则 sinAsinB 的值是(,),A,A.,5 3,B.,3 5,C.,3 7,D.,5 7,练习,3已知ABC 中，sinAsinBsinC123，则 ab,c_.,123,_.,30,，则角 B 的大小,5在ABC 中，已知 A30，sinB 为_.,45或 135,知 A ，a2,B,11.已知ABC 中,A30，B60,b ,则 a 等于( ),A3,B1,C2