(中文)第五章 功率谱估计.ppt

1、第五章 功率谱估计,功率谱-信号功率在频域的分布规律,内容,5.1 确定信号的谱估计 5.2 平稳随机信号的功率谱估计 5.3 参数功率谱密度估计 5.4 基于子空间特征值分析的功率谱估计（高分辨谱估计）,5.1 确定信号的谱分析,连续时间信号首先通过一个低通（抗混叠）滤波器，然后采样得到离散时间信号，选择桢长为N交叠为N0的采样数据，然后加窗，最后用加窗数据的一个合适长度的DFT作为谱估计,(1)时域采样和抗混叠滤波,FTDTFT：,(2) 频域采样和时域添零操作,频域采样: DTFT-DFT,补零操作,通过对采样信号后面补零来得到更高密度的频谱。低密度离散频谱，在使用线性内插重建连续频谱时

2、会产生误差。提高频谱密度可以减少这个误差。,(3) 能量泄漏，分辨率损失和加窗操作,可用数据=完整数据矩形窗,傅利叶变换：,矩形窗幅频特性,分辨率损失,可以看出频率分辨率决定于数据窗的持续时间（采样点数-1）,窗口函数对分辨率和泄漏的影响,频率分辨率：窗口函数频谱的主瓣宽度。 泄漏：旁瓣谱峰的水平（导致虚假谱峰出现） 因此要根据实际情况选择不同的窗口。矩形窗具有最窄的主瓣宽度。旁瓣振幅的减小只能以降低分辨率为代价。 利用矩形窗口分辨两个频率，应当使两个频率的绝对差值大于矩形窗频谱的主瓣宽度：|w1-w2|mainWin,各种不同窗口的属性比较和实域频域特性,5.2 平稳随机信号的谱估计,功率谱

3、为自相关函数的Fourier变换 Wiener-Khintchine 定理 自相关的估计值 估计值的均值与方差,(1)Wiener-Khintchine 定理1936年,(2) 自相关估计,unbiased,Biased Nonnegative definite Smaller variance,- 平稳随机信号的谱估计,估计1：,估计2：,估计量的均值和方差,Mean:,Variance:,是一个渐进无偏,5.2.2 非参数功率谱密度估计方法,周期图法 Bartlett法（平均多个周期图, 采用不同数据块） Welch 法 (平均多个周期图, 采用重叠的数据块) Blackman-Tukey

4、 法 (周期图平滑),(1) 周期图法,Periodogram Sir Arthur Schuster in 1899 Mean Variance,一个无偏但不一致的估计 An unbiased but not a consistent estimate,(2) Bartlett 法平均多个不同数据块的周期图估计结果,Mean:,An asymptotically unbiased,Variance:,1/k of the variance of the periodogram,(3) Welch 法 采用有重叠的数据块,Mean:,An asymptotically unbiased,Var

5、iance:,1/k of the variance of the periodogram,Welch-Bartlett 方法,(4) Blackman-Tukey 法 加窗的谱估计,Mean:,Variance:,Uw/k of the variance of the periodogram Uw相关窗口的能量,相关窗谱为单位面积时，为渐进无偏估计,Blackman-Tukey 法,方法理论和实践的比较 对功率谱加窗平滑等价于对估计的自相关序列进行加窗。对窗口有一定要求：三角窗(Bartlett)和Parzen窗可以，但不适用于汉明，汉宁或凯瑟窗。,5.3 参数功率谱密度估计,Autoreg

6、ressive (AR) Model（自回归） Moving-Averatge (MA) Model（移动平均） Autoregressive Moving-Average (ARMA) Model（自回归移动平均）,估计步骤： (1) 信号建模 (2) 估计模型参数 (3) 计算功率谱,本节内容,5.3.1 信号模型及其功率谱 5.3.2 AR,MA,ARMA 模型与 他们的功率谱 5.3.3 AR 模型的功率谱估计 Yule-Walker 方程 AR 模型特性 参数估计方法 5.3.4 MA模型的功率谱估计 5.3.5 ARMA模型的功率谱估计,平稳随机信号,白噪声,线性移不变系统,有理函

7、数模型:,5.3.1 信号模型及其功率谱,(1) Autoregressive-Moving Average (ARMA) 模型,输入输出关系:,系统方程:,功率谱密度:,零-极点模型,(2) Moving Average 模型,输入输出关系:,系统方程:,功率谱密度:,全零点模型,全极点模型,(3) Autoregressive 模型,输入输出关系:,系统方程:,功率谱密度:,模型:,模型:,模型:,模型参数,5.3.2 AR 模型参数估计,（1）Yule-Walker 方程,求解上面方程式，即得到AR模型参数,5.3.3 MA和ARMA模型的功率谱估计,ARMA 模型的 Yule-Walk

8、er 方程,MA 模型的 Yule-Walker 方程,（*1）,MA 模型的功率谱估计,不需要估计模型参数bk, 只需根据已知数据估计出|m|q的自相关函数，代入上式计算即可。,（*2）,首先计算AR模型参数。（*1）式 利用AR模型对x(n)滤波得到v(n) 利用v(n)计算MA模型功率谱。（*2）式,ARMA模型的功率谱估计,5.4 基于子空间特征值分析的功率谱估计,目标信号： 已知在白噪声中的M个负指数序列和的N 个采样值,和 需要估计.,where are uncorrelated random variables that uniformly distributed over th

9、e interval,例1: 白噪声中单个复指数序列,Signal autocorrelation matrix,Noise autocorrelation matrix,信号矢量：,信号的自相关矩阵：,因为矩阵 的秩为1，所以仅有一个非零特征值,的非零特征值:,-对应的特征向量,- 的非零特征值,是厄米共轭矩阵，所以其他的特征向量 与e1 正交。,噪声自相关矩阵,是个满秩矩阵,设 为信号自相关矩阵 的特征值，则,的特征值 :,- 的特征值,- 的最大特征值,- 的其他特征值,的特征向量与 的相同，为,从 的特征值和特征向量中提取信号 参数的计算步骤: 对自相关矩阵 进行特征值分解。其最大特征

10、值等于 ，其他特征值等于 使用这些特征值计算功率 和噪声方差,计算步骤,3. 从最大特征值所对应特征矢量 确定信号频率 例如，,令 为自相关矩阵 的噪声特征矢量，即具有特征值 的一个特征矢量；并且令 为特征矢量 的第 i个成份。 频率估计方程 :,正交条件:,频率估计方程,求取不同频率点处的上述方程值。,例2: 白噪声中两个复指数序列,为更精确描述上面分解，可以使用矩阵形式：,P1,P2分别为第一个和第二个复正弦波的功率。,令 和 为矩阵 的特征向量和特征值，并且把特征值按照降序排列：,因 , 所以,为特征值 of,由于信号自相关矩阵 秩为2，所以只有两个非零特征值，并且他们都大于零（因 为非

11、负定）。这样 矩阵 的特征向量和特征值可以分为两个部分：,第一部分包含大于 的两个特征值和对应的特征向量（称为信号特征向量）。两个向量张成一个子空间信号子空间。,第二部分包含那些等于 的两个特征值和对应的特征向量（称为噪声特征向量）。噪声特征向量张成一个N-2维子空间噪声子空间。,上面的定义有一点误导：因为噪声成份同时影响信号子空间和噪声子空间,因 厄米共轭，特征向量 相互正交。因此，信号空间和噪声空间是正交子空间。也就是说，对信号子空间中的任一向量 和噪声子空间中的任一向量 有下面成立：,不像单个复指数序列的例子，这里信号特征向量通常不再等于 和 .,然而， 和 同样位于由 和 张成的信号子

12、空间内。由于信号子空间和噪声子空间正交，那么 和 同样与噪声特征矢量 正交。（i2）,我们仍然可以使用上面的频率方程得到对两个频率值的估计。,通用情况: 一个广义平稳过程，在白噪声中包含M个不同的复指数序列,M个线性独立的向量,信号向量组成的NM矩阵,关于各个信号能量的对角阵,这里 为矩阵 的特征值。 由于矩阵 的秩为 M ，所以 前M个特征值将大于 ，后 个特征值将等于 。,因矩阵 的特征值为,矩阵 的特征值和特征向量可以分为两个部分：,2. 噪声特征向量,1. 信号特征向量,假设特征向量已经被模归一化, 我们可以以下面形式对矩阵 进行分解：,所有信号向量 都位于信号子空间内。由信号子空间和

13、噪声子空间的正交性可以推出，信号向量 正交于任何一个噪声特征向量：,信号的频率值可以使用频率估计方程进行估计：,有两种不同类型的频率估计方法基于以上的频率估计方程: Pisarenko 谐波分解 MUltiple SIgnal Classification（MUSIC）,(2) 基于频率估计方程的方法,思想：信号频率值可以从自相关矩阵的对应于最小特征值的特征向量处估计得到。,Pisarenko Harmonic Decomposition ( PHD 方法 ),PHD 方法缺点在于对于噪声敏感（由于仅使用了一个特征向量），这限制了它的广泛使用.,假设: 信号中复指数序列的数目M为已知 个自相关

14、序列的采样已知或者可以被估计出来,当不知道复指数序列的确切数目时，使用这个方法需要格外小心。,对于一个M+1M+1 维的自相关矩阵 ，噪声子空间的维数显然为1，噪声子空间是被对应于最小特征值的特征向量 所张成。 将与每一个信号向量正交：,这样对这个特征向量系数的傅利叶变换 在每一个复指数序列的频率点 处取值为0.,相应的，噪声矢量的z变换具有M个零点在单位圆上,与求取 的零点相似，也可使用 这是频率估计方程的一个特殊形式， with and .,峰值点所对应的频率被作为复指数序列的频率估计.,尽管写为功率谱的形式， 被叫做伪谱（或特征谱）。因为它不包含任何关于复指数序列或者噪声功率的信息。,如何估计噪声和复指数序列的功率呢？,假设: 信号子空间的特征向量 已经被规范化即,功率估计,对下式两边都左乘一个矢量,得到,Equation *,注意，除P1,P2, ,PM之