相似矩阵及二次型.ppt

1、第一章，第五章，相似矩阵和二次型，对称矩阵的对角化5.3，方阵的特征值和特征向量5.2，向量的内积、长度和正交性5.5，二次型及其标准型5.6，用匹配法将二次型转化为标准型5.7，正定二次型2。n维向量空间是三维向量空间的直接扩展。然而，三维空间中存在矢量角和长度的概念，这在三维空间中构成了丰富的内容。5.1向量的内积、长度和正交性。在引言中，我们希望将这两个概念推广到N维向量空间。在解析几何中，我们定义了向量的内积(数量积)。建立标准直角坐标系后，内积可以用矢量坐标计算。性质，著名的柯西-施瓦茨不等式，即5，2，向量长度和性质，定义，性质，(三角不等式可以很容易地通过柯西-施瓦茨不等式证明，

2、见P114)，6，单位向量，夹角，3，单位向量和N维向量之间的夹角，正交，7，4，正交向量组，定义了向量集称为正交向量集，如果这些向量都是单位向量，则称为正交向量集。如果向量集是向量空间V的基，它也分别称为向量空间V的正交基和正规正交基。8，正交向量集必须是线性独立的。9，并且基本解系统(即，要获得的)是，10，(示例1的推广，也称为正交基的扩展定理)。设它是一个正交向量组，并证明了一定有一个由向量组成的正交基。记住，必须有一个非零解。任何非零解决方案都是您正在寻找的。11，5。施密特正交化过程，找到一个正交向量组相当于，12。以三个向量为例，从几何直觉出发，求出上述公式两边之和的内积。注意它

3、。然后找出公式(1)的两边和内积。注意，公式(1)的两侧可以类似于内积来获得。因此，14，让它是线性独立的，然后两两正交，两两正交的等价。15，这可以用数学归纳法严格证明。很容易知道解与线性无关。利用施密特正交化方法，将其再次统一。标准正交基建立后(相当于标准直角坐标系)，找到矢量的坐标就特别方便。两边分别是内积(这里不具体计算)，18，6，正交矩阵，A是正交矩阵，19，记住，证明()。(2)如果甲和乙都是正交矩阵，乙也是正交矩阵；(3)那么，是正交矩阵；(4) P是一个正交矩阵，即正交变换保持向量长度不变。21，第5章，相似矩阵和二次型，对称矩阵的对角化5.4，相似矩阵5.2，平方矩阵的特征

4、值和特征向量5.1，向量的内积、长度和正交性5.5，二次型及其标准型，5.6用匹配法将二次型转化为标准型，5.7正定二次型，平方矩阵的特征值和特征向量22，5.2，如果有一个可逆矩阵P使(1)成立，那么平方矩阵A可以对角化(类似地)，并且满足，23。将(1)改写为，24，(注：第一章已经找到)，这叫做A的特征多项式和A的特征方程。根据代数的基本定理，特征方程在复数范围内正好有n个根(根据多个数计算多个根)。因此，n阶方阵在复数范围内正好有n个特征值。在本章中，特征值和特征向量的讨论总是假设在复数范围内进行。25，properties，和，26，找到矩阵的特征值。这两个特征值是，问：的特征向量是

5、实数还是复数。因此，N个特征值是，对角矩阵，下三角矩阵的特征值是什么？28、求矩阵A和b的特征值和特征向量解的特征值(对于矩阵A)，29，A是，对于解方程，相同的解系统是，让，得到基本解系统，因此，对应于特征值的所有特征向量是，30，对于解方程，相同的解系统是，让，得到基本解系统，因此，对应于特征值的所有特征。对于求解方程，对应于特征值的所有特征向量是，33，而对于求解方程，对应于特征值的所有特征向量是，34。回答问题：(1)向量满足，它是A的特征向量吗？(2)实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗？(3)当且仅当所有特征值都是_ _ _ _ _时，矩阵A是可逆的。的特征值为。(4)，A的特征

6、值为_ _ _ _ _。可逆，a的特征值一定不等于_ _ _ _ _。一个特征值对应多少个特征向量？一个特征向量对应多少个特征值？(稍后证明)，(7)如果A的每一行中的元素之和等于2，那么A的特征值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(5)A的特征值与其特征值之间的关系是什么？特征向量的个数=_ _ _ _。是的特征值，对应于最大的无关值36。证明了一个特征向量只能对应一个特征值。如果A的特征值和相应的特征向量都被证明，那么，设37是方阵A的特征值和相应的特征向量。证明了(1)是kA的特征值，对应的特征向量仍然是x，(2)是

7、的特征值，对应的特征向量仍然是x，(3)当A是可逆的，它是的特征值，对应的，特征向量仍然是x。的特征值。是的，是的，39，让三阶矩阵的三个特征值，解的特征值都是非零的，所以是可逆的。计算了的三个特征值，因此，40证明了A的特征值只能取1或2。如果它是A的特征值，那么的特征值是，因为它是一个零矩阵，它的特征值都是零，所以，证明，41，第5章，相似矩阵和二次型，5.4对称矩阵的对角化，5.3相似矩阵和5.2平方矩阵的特征值。5.5二次型及其标准型，5.6二次型通过匹配法转化为标准型，5.7正定二次型，42，5.3相似矩阵，设A和B为n阶矩阵，如果有可逆矩阵P，那么B是A的相似矩阵，或者矩阵A和B是

8、相似的。对A的运算称为A上的相似变换，可逆矩阵p称为相似变换矩阵，它将A转化为b，特别是定义，如果A与对角矩阵相似，那么A是可对角化的。43，性质，(1)相似关系是等价关系；(2)如果A与B相似，那么r(A)=r(B)；(3)甲与乙相似，那么；因此，a和b具有相同的特征值；(4)甲与乙相似，那么；(5)甲与乙相似，那么；(6)如果甲与乙相似，则与乙相似；(7)甲类似于乙，甲是可逆的，那么它类似于。44、求x、y和a的特征值，求a和B.解(1)，A的特征值等于B的特征值：45，(2)，46。下面讨论对角化，它表明如果A可以对角化，它必须有N个线性独立的特征向量，即P的N列；相反，如果A有N个线性

9、独立的特征向量，把它拼成一个矩阵P(可逆的)，然后反过来知道A可以对角化。当且仅当A有N个线性独立的特征向量时，它可以对角化。对应于不同特征值的线性独立特征向量在合并后仍然是线性独立的。也就是说，如果它们是矩阵A的不同特征值，并且对应的不相关特征向量是，对应的不相关特征向量是，那么它们仍然是线性独立的。，48，上述公式的两边乘以A，然后线性独立，类似地获得，并假设为、49、50(继续第2节，示例3，首先看矩阵A)。第一步是求特征值，第二步是求线性独立的特征向量，即求基本解系统、51，第三步、52，(这是一个双根，但只有一个线性独立的特征向量)，矩阵B没有三个线性独立的特征向量。因为B的任何特征

10、向量都属于它，所以此时它与它有关；要么它属于，而此时它与。因此，b是不可对角化的。(见矩阵B)，53，让所有不同的特征值，然后，注意：它是多个根的数目，称为(代数)重数，和相应的最大不相关特征向量的数目，称为几何重数。该定理表明，对应于任意特征值的不相关特征向量的个数至少为1，并且至多不超过其重数。如果它是单个特征值，它就只有一个不相关的特征向量。54作为参考，让相应的最大独立特征向量为，并将上述特征向量扩展到n个线性独立向量。是可逆的。当且仅当A的每个特征值的代数重数等于其几何重数时，N阶矩阵A可以对角化。也就是说，让他们彼此不同。此时，A可对角化的充要条件是A的重数恰好等于其对应的最大不相

11、关特征和向量的个数。的几个特征值有几个特征向量。56，它们被证明是(足够的)，并且它们仍然是线性独立的，所以它们可以角质化。在合并每个对应的最大不相关特征向量后，通常(必然)让A可对角化，57，58，当你问X是什么值时，A可以对角化。是只有一个特征向量的单个根(不用讨论)。是双根，A可以对角化，59，建议：A可以对角化，60，第5章，相似矩阵和二次型，5.4对称矩阵的对角化，5.3相似矩阵，5.2平方矩阵的特征值和特征向量，5.1内积，向量的长度和正交性，5.5二次型及其标准型，5.6二次型通过匹配法转化为标准型，第一步：找到特征值。(所有特征值必须是实数)，64，第二步：是找到线性独立的特征

12、向量。是的，解方程并得到基本解系统(即不相关的特征向量，几个向量？)，65，是的，解方程组，并得到基本解系(即不相关的特征向量，几个向量？)，前一步骤66和第三步骤：检查对应于多个特征值的特征向量是否正交。如果它们不正交，则通过施密特过程使它们正交化，然后正交特征向量被组合。67和第四步骤：将获得的归一化正交特征向量拼接成正交矩阵。单位化：那么，让，68，提示：让相应的独立特征向量是两个独立的解(基本解系统)，所以上述方程的任何两个独立解都是相应的特征向量。通过求解(1)，我们可以得到正交矩阵Q，69，第5章，相似矩阵和二次型，5.4对称矩阵的对角化，5.3相似矩阵，5.2平方矩阵的特征值和特

13、征向量，5.1内积，向量的长度和正交性，5.5二次型及其标准型，5.6二次型通过匹配法转化为标准型，以及5.7正定义，进行旋转变换，将其代入(1)的左侧，并将其转化为：如下定义，具有n个变量的二次齐次函数，三维二次型是，并重写：二次型的讨论将永远在实数范围内达成一致！73，74。通常，对于n维的二次型，上述公式称为二次型的矩阵表示。它还经常被记为75，如果你给一个对称矩阵，你可以唯一地确定一个二次型，因为让xTAx=xTBx (A，B是对称矩阵)，也就是说，(以三维为例)，让它相似，让它相似，76，而对称矩阵A被称为二次型矩阵F；f被称为对称矩阵A的二次型；对称矩阵A的秩称为二次型F的秩，标为

14、r(f)。二次型和对称矩阵是一一对应的，这表明：在二次型中，如果A的对称性不受限制，A是唯一的吗？78，定义，只有平方项的二次型称为二次型的标准型(或法语)。平方项系数只采用标准形式，79。对于给定的二次型，求可逆线性变换(坐标变换):将其代入公式(1)，并使其成为标准型。上述过程称为将二次型转化为标准型。80，(其中D是对角矩阵)，注意到D和D都是对称矩阵，而二次型和对称矩阵是一一对应的，所以“将二次型转化为标准型”等价于为给定的对称矩阵A找到可逆矩阵C，那么，Q:这能做到吗？你以前研究过吗？81，82，通过正交变换将二次形式变换成标准形式的步骤，83，解，以及变换成标准形式。求A的特征值，

15、求二次型矩阵，84，求A的归一化正交特征向量，组合，85，得到正交基本解系，组合，求正交变换矩阵，86，写出二次型的标准形式，用正交变换，将二次型f变换成标准形式，87、解，二次型矩阵是，它们分别是、并且获得它们相应的特征向量(正交性)，然后通过将它们统一并排列成矩阵89来获得正交变换矩阵。定义，让A和B是N阶矩阵。如果有一个可逆矩阵C，那么A和B就叫做合同。属性，(1)契约关系是一种等价关系；(2)如果甲和乙合同，那么r(甲)=r(乙)；(3)甲和乙收缩，如果甲是对称的，那么乙是对称的。二次标准型等价于将对称矩阵转化为对角矩阵。在一组n阶对称矩阵中，矩阵的合同等价等价等价于二次型的相互转换。90，定理，二次型必须转化为正