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文档简介
1、第一章,第五章,相似矩阵和二次型,对称矩阵的对角化5.3,方阵的特征值和特征向量5.2,向量的内积、长度和正交性5.5,二次型及其标准型5.6,用匹配法将二次型转化为标准型5.7,正定二次型2。n维向量空间是三维向量空间的直接扩展。然而,三维空间中存在矢量角和长度的概念,这在三维空间中构成了丰富的内容。5.1向量的内积、长度和正交性。在引言中,我们希望将这两个概念推广到N维向量空间。在解析几何中,我们定义了向量的内积(数量积)。建立标准直角坐标系后,内积可以用矢量坐标计算。性质,著名的柯西-施瓦茨不等式,即5,2,向量长度和性质,定义,性质,(三角不等式可以很容易地通过柯西-施瓦茨不等式证明,
2、见P114),6,单位向量,夹角,3,单位向量和N维向量之间的夹角,正交,7,4,正交向量组,定义了向量集称为正交向量集,如果这些向量都是单位向量,则称为正交向量集。如果向量集是向量空间V的基,它也分别称为向量空间V的正交基和正规正交基。8,正交向量集必须是线性独立的。9,并且基本解系统(即,要获得的)是,10,(示例1的推广,也称为正交基的扩展定理)。设它是一个正交向量组,并证明了一定有一个由向量组成的正交基。记住,必须有一个非零解。任何非零解决方案都是您正在寻找的。11,5。施密特正交化过程,找到一个正交向量组相当于,12。以三个向量为例,从几何直觉出发,求出上述公式两边之和的内积。注意它
3、。然后找出公式(1)的两边和内积。注意,公式(1)的两侧可以类似于内积来获得。因此,14,让它是线性独立的,然后两两正交,两两正交的等价。15,这可以用数学归纳法严格证明。很容易知道解与线性无关。利用施密特正交化方法,将其再次统一。标准正交基建立后(相当于标准直角坐标系),找到矢量的坐标就特别方便。两边分别是内积(这里不具体计算),18,6,正交矩阵,A是正交矩阵,19,记住,证明()。(2)如果甲和乙都是正交矩阵,乙也是正交矩阵;(3)那么,是正交矩阵;(4) P是一个正交矩阵,即正交变换保持向量长度不变。21,第5章,相似矩阵和二次型,对称矩阵的对角化5.4,相似矩阵5.2,平方矩阵的特征
4、值和特征向量5.1,向量的内积、长度和正交性5.5,二次型及其标准型,5.6用匹配法将二次型转化为标准型,5.7正定二次型,平方矩阵的特征值和特征向量22,5.2,如果有一个可逆矩阵P使(1)成立,那么平方矩阵A可以对角化(类似地),并且满足,23。将(1)改写为,24,(注:第一章已经找到),这叫做A的特征多项式和A的特征方程。根据代数的基本定理,特征方程在复数范围内正好有n个根(根据多个数计算多个根)。因此,n阶方阵在复数范围内正好有n个特征值。在本章中,特征值和特征向量的讨论总是假设在复数范围内进行。25,properties,和,26,找到矩阵的特征值。这两个特征值是,问:的特征向量是
5、实数还是复数。因此,N个特征值是,对角矩阵,下三角矩阵的特征值是什么?28、求矩阵A和b的特征值和特征向量解的特征值(对于矩阵A),29,A是,对于解方程,相同的解系统是,让,得到基本解系统,因此,对应于特征值的所有特征向量是,30,对于解方程,相同的解系统是,让,得到基本解系统,因此,对应于特征值的所有特征。对于求解方程,对应于特征值的所有特征向量是,33,而对于求解方程,对应于特征值的所有特征向量是,34。回答问题:(1)向量满足,它是A的特征向量吗?(2)实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗?(3)当且仅当所有特征值都是_ _ _ _ _时,矩阵A是可逆的。的特征值为。(4),A的特征
6、值为_ _ _ _ _。可逆,a的特征值一定不等于_ _ _ _ _。一个特征值对应多少个特征向量?一个特征向量对应多少个特征值?(稍后证明),(7)如果A的每一行中的元素之和等于2,那么A的特征值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(5)A的特征值与其特征值之间的关系是什么?特征向量的个数=_ _ _ _。是的特征值,对应于最大的无关值36。证明了一个特征向量只能对应一个特征值。如果A的特征值和相应的特征向量都被证明,那么,设37是方阵A的特征值和相应的特征向量。证明了(1)是kA的特征值,对应的特征向量仍然是x,(2)是
7、的特征值,对应的特征向量仍然是x,(3)当A是可逆的,它是的特征值,对应的,特征向量仍然是x。的特征值。是的,是的,39,让三阶矩阵的三个特征值,解的特征值都是非零的,所以是可逆的。计算了的三个特征值,因此,40证明了A的特征值只能取1或2。如果它是A的特征值,那么的特征值是,因为它是一个零矩阵,它的特征值都是零,所以,证明,41,第5章,相似矩阵和二次型,5.4对称矩阵的对角化,5.3相似矩阵和5.2平方矩阵的特征值。5.5二次型及其标准型,5.6二次型通过匹配法转化为标准型,5.7正定二次型,42,5.3相似矩阵,设A和B为n阶矩阵,如果有可逆矩阵P,那么B是A的相似矩阵,或者矩阵A和B是
8、相似的。对A的运算称为A上的相似变换,可逆矩阵p称为相似变换矩阵,它将A转化为b,特别是定义,如果A与对角矩阵相似,那么A是可对角化的。43,性质,(1)相似关系是等价关系;(2)如果A与B相似,那么r(A)=r(B);(3)甲与乙相似,那么;因此,a和b具有相同的特征值;(4)甲与乙相似,那么;(5)甲与乙相似,那么;(6)如果甲与乙相似,则与乙相似;(7)甲类似于乙,甲是可逆的,那么它类似于。44、求x、y和a的特征值,求a和B.解(1),A的特征值等于B的特征值:45,(2),46。下面讨论对角化,它表明如果A可以对角化,它必须有N个线性独立的特征向量,即P的N列;相反,如果A有N个线性
9、独立的特征向量,把它拼成一个矩阵P(可逆的),然后反过来知道A可以对角化。当且仅当A有N个线性独立的特征向量时,它可以对角化。对应于不同特征值的线性独立特征向量在合并后仍然是线性独立的。也就是说,如果它们是矩阵A的不同特征值,并且对应的不相关特征向量是,对应的不相关特征向量是,那么它们仍然是线性独立的。,48,上述公式的两边乘以A,然后线性独立,类似地获得,并假设为、49、50(继续第2节,示例3,首先看矩阵A)。第一步是求特征值,第二步是求线性独立的特征向量,即求基本解系统、51,第三步、52,(这是一个双根,但只有一个线性独立的特征向量),矩阵B没有三个线性独立的特征向量。因为B的任何特征
10、向量都属于它,所以此时它与它有关;要么它属于,而此时它与。因此,b是不可对角化的。(见矩阵B),53,让所有不同的特征值,然后,注意:它是多个根的数目,称为(代数)重数,和相应的最大不相关特征向量的数目,称为几何重数。该定理表明,对应于任意特征值的不相关特征向量的个数至少为1,并且至多不超过其重数。如果它是单个特征值,它就只有一个不相关的特征向量。54作为参考,让相应的最大独立特征向量为,并将上述特征向量扩展到n个线性独立向量。是可逆的。当且仅当A的每个特征值的代数重数等于其几何重数时,N阶矩阵A可以对角化。也就是说,让他们彼此不同。此时,A可对角化的充要条件是A的重数恰好等于其对应的最大不相
11、关特征和向量的个数。的几个特征值有几个特征向量。56,它们被证明是(足够的),并且它们仍然是线性独立的,所以它们可以角质化。在合并每个对应的最大不相关特征向量后,通常(必然)让A可对角化,57,58,当你问X是什么值时,A可以对角化。是只有一个特征向量的单个根(不用讨论)。是双根,A可以对角化,59,建议:A可以对角化,60,第5章,相似矩阵和二次型,5.4对称矩阵的对角化,5.3相似矩阵,5.2平方矩阵的特征值和特征向量,5.1内积,向量的长度和正交性,5.5二次型及其标准型,5.6二次型通过匹配法转化为标准型,第一步:找到特征值。(所有特征值必须是实数),64,第二步:是找到线性独立的特征
12、向量。是的,解方程并得到基本解系统(即不相关的特征向量,几个向量?),65,是的,解方程组,并得到基本解系(即不相关的特征向量,几个向量?),前一步骤66和第三步骤:检查对应于多个特征值的特征向量是否正交。如果它们不正交,则通过施密特过程使它们正交化,然后正交特征向量被组合。67和第四步骤:将获得的归一化正交特征向量拼接成正交矩阵。单位化:那么,让,68,提示:让相应的独立特征向量是两个独立的解(基本解系统),所以上述方程的任何两个独立解都是相应的特征向量。通过求解(1),我们可以得到正交矩阵Q,69,第5章,相似矩阵和二次型,5.4对称矩阵的对角化,5.3相似矩阵,5.2平方矩阵的特征值和特
13、征向量,5.1内积,向量的长度和正交性,5.5二次型及其标准型,5.6二次型通过匹配法转化为标准型,以及5.7正定义,进行旋转变换,将其代入(1)的左侧,并将其转化为:如下定义,具有n个变量的二次齐次函数,三维二次型是,并重写:二次型的讨论将永远在实数范围内达成一致!73,74。通常,对于n维的二次型,上述公式称为二次型的矩阵表示。它还经常被记为75,如果你给一个对称矩阵,你可以唯一地确定一个二次型,因为让xTAx=xTBx (A,B是对称矩阵),也就是说,(以三维为例),让它相似,让它相似,76,而对称矩阵A被称为二次型矩阵F;f被称为对称矩阵A的二次型;对称矩阵A的秩称为二次型F的秩,标为
14、r(f)。二次型和对称矩阵是一一对应的,这表明:在二次型中,如果A的对称性不受限制,A是唯一的吗?78,定义,只有平方项的二次型称为二次型的标准型(或法语)。平方项系数只采用标准形式,79。对于给定的二次型,求可逆线性变换(坐标变换):将其代入公式(1),并使其成为标准型。上述过程称为将二次型转化为标准型。80,(其中D是对角矩阵),注意到D和D都是对称矩阵,而二次型和对称矩阵是一一对应的,所以“将二次型转化为标准型”等价于为给定的对称矩阵A找到可逆矩阵C,那么,Q:这能做到吗?你以前研究过吗?81,82,通过正交变换将二次形式变换成标准形式的步骤,83,解,以及变换成标准形式。求A的特征值,
15、求二次型矩阵,84,求A的归一化正交特征向量,组合,85,得到正交基本解系,组合,求正交变换矩阵,86,写出二次型的标准形式,用正交变换,将二次型f变换成标准形式,87、解,二次型矩阵是,它们分别是、并且获得它们相应的特征向量(正交性),然后通过将它们统一并排列成矩阵89来获得正交变换矩阵。定义,让A和B是N阶矩阵。如果有一个可逆矩阵C,那么A和B就叫做合同。属性,(1)契约关系是一种等价关系;(2)如果甲和乙合同,那么r(甲)=r(乙);(3)甲和乙收缩,如果甲是对称的,那么乙是对称的。二次标准型等价于将对称矩阵转化为对角矩阵。在一组n阶对称矩阵中,矩阵的合同等价等价等价于二次型的相互转换。90,定理,二次型必须转化为正
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