北师大版数学《36指数函数幂函数对数函数增长的比较》教学设计

1、6 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 - -教学设计教学设计 教材分析教材分析 指数函数和对数函数是高中数学函数中的两类重要的函数模型 教材第三章 指数函数 和对数函数主要有三大块内容：指数运算和指数函数的图像与性质、 对数运算和对数函数 的图像与性质、指数函数对数函数幂函数增长速度的对比.知识结构如下图所示： 指数运算对数运算 指数函数对数函数 指数函数的性质对数函数的性质 指数函数、对数函数、幂函数增长的差异 教学目标教学目标 1.1.知识与技能知识与技能 结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义， 理解它们的 增长差异

2、性 2.2.过程与方法过程与方法 能够借助信息技术， 利用函数图像及数据表格， 对几种常见增长类型的函数的增长状况 进行比较，初步体会它们的增长差异性； 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型 （指数函 数、对数函数、幂函数、分段函数等） ，了解函数模型的广泛应用 3.3.情态与价值情态与价值 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型， 体验指数函数、 对数函数等函数与 现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用 教学重点和难点教学重点和难点 教学重点： 认识指数函数、 对数函数、 幂函数模型的增长差异， 结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 教学难点：怎样选

3、择数学模型分析解决实际问题 教学方法与手段教学方法与手段 教学方法：教师的启发式讲授与学生的动手实践、自主探索、合作交流相结合. 教学手段：多媒体辅助教学. 教学过程教学过程 一、提出问题一、提出问题 我们已经知道： 当a 1时，指数函数y a是增函数，并且当a越大时，其函数值得增长就越快 当a 1时，对数函数y log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值得增长就越快 当x 1，n 1时，幂函数y x显然也是增函数，并且当x 1越小时，n越大其函 数值得增长就越快 那么，对于这三种增加的函数，它们的函数的增长快慢有何差别？ n x 二、组织活动，进行探究二、组织活动，进行探究 活动一：活

4、动一：用几何画板（或 Microsoft Math）去探究下列问题： x2 在区间(0,)上判断函数y log 2 x、y 2 、y x的单调性； 用几何画板在同一坐标系中画出下列函数的图像； 结合函数图像找出交点坐标； x22x 请在函数图像上分别标出不等式log 2 x 2 x 和log x x 2成立的自变量x 的取值范围； 由以上问题你能得到什么结论？ 谈论结果谈论结果： 在区间(0,)上函数y log 2 x、y 2 、y x的单调递增的函数； 图像略 x2 从图像上看y log 2 x的图像与另外两个函数的图像没有交点， 且总在另外两个函数 的图像的下方，y 2的图像与y x的交点

5、有两个(2,4)和(4,16) x22x log 2 x 2 x 和log x x 2成立的自变量x的取值范围分别为(2,4)和 x2 (0,2) U (4,) x2 简单归纳三种函数增长的快慢y log 2 x、y 2 、y x函数的增长不在一个 x2 数量级上从图像可知随着x的增大y log 2 x增长速度越来越慢，而y 2 、y x的 增长速度越来越快，但是y 2的增长速度更快 活动二： 我们通过对三个具体函数y 2、y x（x 0） 、y log 2 x的函数值 （取 近似值）的比较，来体会它们增长的快慢 完成表 3-13（借助科学计算器或设计程序通过计算程序通过计算机完成） 函数值

6、自变量x x100 x y 2 2 2.0097338 1024 x y x100(x 0) 1 2.0097258 y log 2 x 0 0.0100700 3.3219 6.6439 8.2288 8.9658 9.4512 9.96 9.8138 9.9658 10.1033 10.2288 1 1.0070044 10 100 300 500 700 900 996 1000 1100 1200 10100 1.271030 2.041090 3.2710150 5.2610210 8.4510270 6.7010299 1.0710301 10200 5.1510247 7.891

7、0269 3.2310284 2.6610295 6.7010299 10300 1.3610331 1.7210361 1.3810304 8.2810307 利用表 3-13 中的数据完成表 3-14 x的变化区 间 函数值 y 2x y x100(x 0) y log 2 x (1,10) (10,100) (100,300) (300,500) (500,700) 10221.010100 1.010200 5.15410247 3.32 3.32 1.585 0.737 0.485 0.3625 0.152 0.137 1.267103 2.6371090 3.2710150 5.2

8、610210 8.4510270 1.0710301 1.3610331 1.7210361 7.8910269 3.2510284 2.65610295 1.0010300 1.3810304 8.2810307 (700,900) (900,1000) (1000,1100) (1100,1200) 0.1255 谈谈你对这三个函数值增长快慢的体会 三、归纳提升三、归纳提升 x 一般地，对于指数函数y a (a 1)和幂函数y x (n 0)，通过探索可以发现，在 n 区间(0,)上， 无论n比a大多少， 尽管在的一定变化范围内，a会小于x， 但由于a nxn 的增长快于x的增长，因此总存

9、在一个x0，当x x0时，就会有a x xnx 同样地，对于对数函数y logax(a 1)和幂函数y xn(n 0)，在区间(0,)上， 随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样尽管在x的一 nn 定变化范围内，log a x可能会大于x ，但由于log a x的增长慢于x 的增长，因此总存在 n 一个x0，当x x0时，就会有log a x x x 综上所述， 在区间(0,)上，尽管y a (a 1)，y log a x(a 1)和y xn(n 0)都 x 是增函数， 但它们的增长速度不同， 而且不在同一个 “档次” 上， 随着x的增大，y a (a 1)

10、 的增长速度越来越快， 会超过并远远大于y xn(n 0)的增长速度 而y log a x(a 1)的 nx 增长速度则越来越慢因此，总会存在一个x0，当x x0时，就有log a x x a 四、实际应用四、实际应用 例 1：函数y 2与y x的图像的交点个数为（） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 例 2：某公司为了实现1000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案： 在销售利润达到 10 万元时， 按销售利润进行奖励， 且奖金y（单位： 万元） 随销售利润x（单 x2 位：万元）的增加而增加但奖金不超过5 万元，同时奖金不超过利润的25%现有三个奖励 模型：y 0.2

11、5x、y log 7 x 1、y 1.002x问：其中哪个模型能符合公司的要求？ 解：借助计算器或计算中心机作出函数y 5、y 0.25x、y log 7 x 1、y 1.002x的 图像（如下） ： 对于模型y 0.25x它在区间10,1000上递增，当x(20,1000)时，y 5，因此该模 型不符合要求；对于模型y 1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内 有一个点x0满足1.002x05，由于它在10,1000上递增，因此当x x0时，y 5，因此 该模型也不符合要求；对于模型y log 7 x 1，它在区间10,1000上递增，而且当x 1000 时，y

12、 log 7 10001 4.55 5，所以它符合奖金总数不超过5 万元的要求 再计算按模型y log 7 x 1奖励时， 奖金是否不超过利润的250 0 ， 即当x10,1000时， 是否有 ylog7x1 0.25成立 xx 令f (x) log 7 x 10.25x,x10,1000，利用计算器或计算机作出函数f (x)的图像 （如图） 由图可知它是减函数，因此f (x) f (10) 0.3167 0即log 7 x 1 0.25x所以， 当x10,1000时， log7x1 0.25x说明按模型y log7x 1奖励，奖金不会超过利润的 x 250 0 综上所述，模型y log7x 1确实符合公司要求 五、课堂小结五、课堂小结 （1）指数函数，对数函数，幂函数的图像以及它们各自的增减性. （2）知道指数爆炸在生活中的一些直观的感受，并且能用计算器或设计程序来解决问 题. （3）由解析式可以推知函数的变化，同时也能够熟练地由图像还原至所学的解析式， 达到能够灵活的运用数形结合来解决题目的目的. 六、作业布置六、作业布置 课本 103 页：习题 3-6 1、2 七、板书设计七、板书设计 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1.指数函数、对数函数、 幂函数的增长