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文档简介
1、,多元函数微分学,习题课(6),课件制作:易学军 胡合兴,1、隐函数的导数:,一、内容总结, 一个方程的情形,定理1 设函数 在点 的邻域 内有 连续偏导数,且 ,则方程 在点 的某邻域内唯一确定一个有 连续导数的(单值)函数 ,它满足 ,且:,定理2 设三元函数 在 的邻域 内有连续偏导数, ,则方 程 在 的某邻域内唯一确定一个有连续 偏导的(单值)函数 ,满足 , 且:, 方程组的情形,定理3 设 ,若 (1) , (2) , (3)雅克比行列式在 的值不为0,即 则方程组(3)在 的某邻域内唯一确定两个二元函 数 ,满足 且, 设多元函数 ,则在 内,任一 阶混合偏导数的值与求导的次序
2、无关.,2、高阶偏导数:, 若 的两个混合偏导数 和 在 的某邻域 内存在且在 连续,则,3、多元函数的泰勒公式:, 设 , , , 则 其中 称为拉 格朗日型余项.,4、方向导数与梯度:, 若 在点 处可微,则 在 沿任一方向 的方向导数存在,且: 其中 为单位向量,最后两式为数量积., 记grad 称为 在点 处的梯度.,二、作业讲析 略,三、典型例题讲解,例 1 设方程 y + x exy = 0 确定了函数 y = y(x),,解 方程两边求微分,得,d(y + x exy) = d0,,即,dy + dx - dexy = 0,,dy + dx exy(xdy + ydx ) = 0
3、.,当 1 - xexy 0 时,解得,即,解 用全微分形式不变性,得,故,求得:,解,所以,例 3 求函数 的所有二阶偏导数.,因为,例 4 设 ,试求 .,解,解 因为,所以,例 5 设 , 求 .,例 6 将函数 展成麦克劳林公式.,解 函数 在 存在任意阶连续偏导数, 且,和 是任意非负整数,则有:,故所求方向导数为:,例 7 求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数.,解 由梯度计算公式得:,例 8 求函数 在点 处 的梯度,并问在哪些点处梯度为零?,4、 .,四、练习题,1、设 ,求,2、,设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程,3、设 ,求,5、设 ,( 具有二阶连续偏导数),求:,6、求函数 在点 沿与 轴方向夹 角为 的方向射线 的方向导数,并问在怎样的方向上此 方向导数有: (1)最大值 (2)最小值 (3)等于零?,7、求 在点 处沿点的向径 的 方向导数,问 具有什么关系时此方向导数
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