




下载本文档
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、二 、函数的极限,一、数列的极限,第二节,极限的概念,第二章,一 、数列的极限,1. 数列极限的定义,(1) 数列:,简记作,称为通项(一般项) .,数列也称为整标函数.,自变量取正整数的函数,例如,例如,有界,无界,有界性,单调增加,单调减少,单调数列,单调性,设有数列,如果当n无限增大时, xn,无限趋近于某个确定的常数a ,的极限,这时,也称数列 xn ,收敛于a.,否则, 称数列 xn ,发散.,则称a为数列 xn ,记作,(2) 数列极限的定义定义2.2,例如,趋势不定,收 敛,发 散,“无限增大”,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言定量地刻划它?,a接近b的程度用绝对值:,表示
2、.,问题:,定义2.3,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散.,或,则称该数列 xn ,的极限为 a ,3,N 由,所确定,故记,但不唯一.,4,不能与n 有关.,5,数列极限的定义未给出求极限的方法.,注,一般来说, 越小, N 越大;,(3) 几何解释,时,,恒有,注,例1 已知,证明数列,的极限为1.,证,要使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,N是正整数,所以要取整,证,所以,结论: 常数列的极限等于同一常数.,例2,证,(1),(2),要使,即,只要,例3,例4,证,分析,N不唯一,证明时可以适当放大,故得证
3、.,也可由,取,注 将,适当放大的目的,是为了,易于求 N. 放大时,应该注意适当 !,小结:,用定义证明数列极限存在时, 关键是任意给定 0, 寻找 N, 但不必求最小的N.,证明:,证,要使,只要,即,则当 n N 时,,有,从而,例5,思考:,对于例5, 下列推导是否正确:,要使,只要,故取,N 不能与 n 有关!,子数列,例如,,(4) 数列极限的性质,定理1 以下三个命题等价,有一子列发散的数列必发散 或两个子列都收敛但收敛于不同值的数列也发散,例,定理2 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意 有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,收敛 有界,自变量的变化过程有六
4、种形式:,二、函数的极限,1. x 时函数 f (x)的极限,(1) 定义2.3 设函数,当,(M为某一正数),时有定义 ,如果存在常数 A ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,记作,(2) 几何解释,注,当,时, 有,当,时, 有,1,时函数 f(x) 的极限:,定理,2,或,则称直线 y = A为曲线 y = f (x) 的水平渐近线.,如果,例如,,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如,,再如,,都有水平渐近线,例6 证明,证,取,因此,注,就有,故,欲使,即,2. x x0时函数 f (x)的极限,(1),时函数极限的定义,定义2.4 设函数,在点,的某去心邻域,则称常
5、数 A 为函数,当,时的极限,或,当,时, 总有,内有定义. 如果有常数 A,记作,几何解释:,注,x,O,1,例7 证明,证,故取,当,时 , 必有,因此,证,只要,例8,左极限 :,有,极限存在的充要条件:,(2) 单侧极限,右,例9 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解,因为,所以,不存在.,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 函数极限的,或,定义及应用,思考与练习,1. 若极限,存在,2. 设函数,且,存在, 则,是否一定有,3. 左、右极限定义及左、右极限相等的等价条件,故,时,例4-1已知,证明,证,要使,只要,即,取,则当,N不唯一,证明时可以适当放大,有,例5-1,证,注意到,为了使,于是,a =,因此,则当n N 时,有,只要使,证,例5-2,证,例6-1,例6-2,证,例8,证,分析,例9-1 证明,证,要使,取,则当,时 , 必有,因此,只要,例10-1,证,由不等式,可得,已知,即,于是证明了,左右极限存在,但不相等,证,例11-1,例11
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2025秋季幼儿园疫情防控安全计划
- 2025至2030中国自行车传动系统行业市场深度研究及发展前景投资可行性分析报告
- 2025至2030中国自己动手(DIY)家装零售行业产业运行态势及投资规划深度研究报告
- 2025至2030中国自动车载无线充电器行业发展趋势分析与未来投资战略咨询研究报告
- 2025至2030中国自动托盘装载系统行业市场深度研究及发展前景投资可行性分析报告
- 2025至2030中国自动乘客计数系统行业产业运行态势及投资规划深度研究报告
- 2025至2030中国腺嘌呤行业市场占有率及投资前景评估规划报告
- 大型体育馆钢结构质量通病防治措施
- 2025至2030中国背压调节器行业产业运行态势及投资规划深度研究报告
- 2025至2030中国肉兔养殖行业产业运行态势及投资规划深度研究报告
- 高中英语常用动词短语(完整版)
- 摄影入门基础知识 课件
- 工程设计费收费标准
- 钢管现场安装施工方案
- 人教A版高中数学《数列的概念》优秀1课件
- 勘察外业见证合同
- 光伏组件开路电压测试记录
- 铁程检用表(共47页)
- 物理化学:9-表面现象-液体表面1
- 霍尼韦尔DC中文说明书
- 2022小升初语文训练真题试卷
评论
0/150
提交评论