表示非线性函数.ppt

1、凹函数 Concave,图4 表示非线性函数 Y = -X2 + 15X 函数为凹函数（凹向原点，concave），可以反映边际报酬递减，边际效用递减 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 (1-) x2) f (x1) (1-) f ( x2) 严格凹函数：(Strictly Concave) f ( x1 (1-) x2) f (x1) (1-) f ( x2),凹函数 Concave,凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有f ( x1 (1-) x2) f (x1) (1-) f ( x2),A,B,C,凸函数 Convex,凸函数：集合S

2、为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有f ( x1 (1-) x2) f (x1) (1-) f ( x2) 严格凸函数：Strictly Convex f ( x1 (1-) x2) f (x1) (1-) f ( x2),凸函数 Convex,凸函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 (1-) x2) f (x1) (1-) f ( x2),A,B,C,凸函数和凹函数应用,凹函数：效用函数、生产函数 凸函数：无差异曲线和等产量线,凸函数和凹函数判断定理,如果函数 f (x) 在(a,b)内可导，则曲线y= f (x)在(a,b)内是凸函数的充要条件是f (x)

3、 在(a,b)内递增。 如果函数 f (x) 在(a,b)内可导，则曲线y= f (x)在(a,b)内是凹函数的充要条件是f (x) 在(a,b)内递减,凸函数和凹函数判断定理,如果函数 f (x) 在(a,b)内二阶可导，则曲线y= f (x)在(a,b)内是凸函数的充要条件是f (x) 0 如果函数 f (x) 在(a,b)内二阶可导，则曲线y= f (x)在(a,b)内是凹函数的充要条件是f (x) 0,定理,定理1：线性函数既是凹函数，又是凸函数。 定理2： f (x)是凹函数，则 f (x)是凸函数；如果 f (x)是严格凹函数，则 f (x)是严格凸函数； 定理3： f (x)和g

4、 (x)是凹函数，则 f (x)+ g (x)是凹函数；如果 f (x)和g (x)是凹函数，且至少之一是严格凹函数，则 f (x)+ g (x)是严格凹函数；,函数的有关概念,导数：函数 f : R R, 假设存在a,使得 就称函数在点 x 的导数为a，记为a=f (x) 微分： d f (x) = f (x) d x 被称为函数在点x的微分， 可微函数：如果函数在定义域内的任意一点都有微分，称该函数是可微函数。,导数在经济学中的应用,边际效用 MU (Marginal Utility) 边际产出 MP (Marginal Product) 边际替代率 MRS(Marginal Rate o

5、f Substitution) 边际技术替代率 TRS 边际效用递减法则和边际报酬递减法则 最大值和最小值,导数在经济学中的应用,仿射变换：函数f (x)在点 x*附近可微，则 f (x+x*) f (x*) f (x*) x f (x+x*) f (x*)+ f (x*) x 上述变换仿射变换(一个常数与一个线性映射之和) 仿射变换可以把可微函数近似转换成线性函数，也可以用于近似计算,极值（相对）判别法,必要条件：若函数f (x)在点 x0可导，且取得极大值，则 f (x0) 0，点 x0称为函数的稳定点。 第一充分条件：设若函数f (x)在点 x0连续，在点 x0的某一空心邻域 U0(x0

6、,)内可导， 若当x (x0-, x0)时， f (x) 0，当x (x0, x0 +)时， f (x) 0, 则f (x)在x0取得极大值 若当x (x0-, x0)时， f (x) 0，当x (x0, x0 +)时， f (x) 0, 则f (x)在x0取得极小值,极值判别法,第二充分条件：若函数f (x)在点 x0连续，在点 x0的某一空心邻域 U0(x0,)内可导，且f (x0) 0， f (x0) 0 若f (x0) 0，则f (x)在x0取得极小值 若f (x0) 0 , 则f (x)在x0取得极大值,拐点,拐点：曲线凹向原点和凸向原点的分界点称为该曲线的拐点。 定理：若函数f (

7、x)在(a,b)二阶可导，点 x0 为拐点的必要条件是f (x0) 0,极值练习,求函数的相对极值。 y=f (x) x3-12x2+36x+8,极值练习,求函数的相对极值。 y=f (x) x3-12x2+36x+8 f (x) 3x2-24x+36 得到 x1=2, x2=6 当x0, x2, f (x) 6, f (x) 0, 所以x1=6是极大值点； 如何根据二阶条件判断极值点？有拐点？画图说明,极值练习,1、求函数的极值，并判断两个极值之间的大小。 y=f (x) x+1/x, x 0 2、 令T= f (x) 为总函数，如生产函数、成本函数 (1)写出边际函数M和平均函数A的表达式； (2)证明当A到达极值时，M=A (3)上述结论对在同一图形中绘制边际曲线和平均曲线有什么一般原则？ (4) 函数在极值点的弹性是多少？,极值练习:利润最大化,3、假设总收益函数和总成本函数分别为 R=R(Q), C=C(Q) 分析利润最大化的条件。 4、 R=R(Q)1200Q-2Q2 C=C(Q) = Q3-61.25Q2+1528.5Q+2000 求利润最大化时的产量。,极值练习:利润最大化,3、假设总收益函数和总成本函数分别为