地下水动力学课件.ppt

1、第八章 研究地下水运动的数值模拟方法,求解地下水运动问题的方法有解析法、物理模拟法和数值法。,8-1 概述,解析解物理概念清楚、计算步骤简便，便于分析各种影响因素之间相互联系又相互制约的内在规律及对地下水运动状态的影响，因此在生产实践中得到广范应用。,解析方法是用数学上的积分方法或积分变换等方法求得数学模型的解析表达式，通常称为解析解或精确解。解析解能够给出所定义的渗流区域内任意点任意时刻的水头值。,1.解析法：,解析法只适用含水层几何形状规则、基本方程简单、定解条件单一的情况。,2.数值法,数值法是把刻划地下水运动的数学模型离散化，把定界问题化成代数方程，解出渗流区域内有限个结点上的数值解（

2、近似解）。,数值法适用性广（复杂的含水层、定解条件等），通用性强（计算机模拟）、并可程序化，修改模型方便。目前，在求解大型地下水流问题时被广泛应用。,数值法模拟计算过程没有物理模拟法逼真、直观，而且计算工作量大，需要借助于计算机进行模拟计算。,数值法中，最常用的是有限差分法（FDM）和有限单元法（FEM)。有限差分法是建立在用差商代替导数的基础上；而有限单元法是建立在直接求函数的近似解的基础上。,有限差分法和有限单元法优缺点比较,8-2 有限差分法,有限差分法的基本思想,把渗流区域按一定的方式剖分成许多小区域 （均衡域），用该区域中心点（结点）的集 集合代替连续的渗流区域，在这些点上用差 商近

3、似地代替导数，将描述地下水流问题的 数学模型化为一组以有限个未知函数值为未 知量的差分方程（代数方程）组，通过求 解差分方程组，得到所求解在结点上的近似 值。,用差商近似代替导数,差分的概念,一、承压水一维非稳定流数学模型的概化,设在两条平行的河流之间有一均质、各向同性、等厚、无越流补给的承压含水层；,两河流间距离为L，两河水位的变化规律为0(t)和l(t) ；,初始时刻含水层内的水头分布为：H0(x)(0 xL)。,在上述条件下，地下水有由高水位一边向低水位一边流动，构成承压水一维非稳定流问题。取如上图所示的坐标系，则该问题的数学模型为：,由于导数有不同的差分格式，所以差分方程也有不同的形式

4、。,1. 显式差分方程的建立,空间离散：首先将研究区域0，L用直线等分为l份，空间步长x=L/l;,时间离散：将时间段0，Tsum用直线等分为m份，时间步长t= Tsum /m；,二、一维显式有限差分格式,（1） 离散化,下面以典型结点（i，k) 为例，说明有显式限差分方程建立的思路、过程及求解方法。,如离散网格图所示，任一结点的坐标为： xi=ix (i=0,1,2,l)； tk=kt (k=0,1,2,m)。,简记为（i，k)，并以Hik表示H(xi， tk）=H( ix，kt）,用hik 表示原方程的近似解，即差分方程的解。,在t=tk时刻，（8-1）式左端用二阶导数的近似表达式，右端用

5、时间导数的向前差分近似代替导数，有：,(2) 微分方程的差分化,略去0(t )和 0 (x)2 ，可得（8-5）式的对应的差分方程：,（8-5）,（8-6）,（8-7）式表明：只要知道了k时段初始时刻tk各结点的hik值，便可计算出k时段末了时刻tk+1的hik+1值（li l-1, 1k m-1)，各方程可独立求解，因此，这种方程称为显式有限差分方程。,（8-7）,若定义 ，则（8-6）式可变为：,上式也可变为：,(3) 定解条件离散化,在t=0的初始时刻，各结点水头值由初始条件给出：,（8-8）,边界结点上各时刻的水头值由边界条件给出：,（8-9）,差分方程（8-7）与离散后的定界条件（8

6、-8）、(8-9）构成了数学模型的显式差分方程问题。其求解步骤如下：,2. 显式差分方程的求解,由以上计算的h11， h21 hl-11值及由边界条件（8-9）式计算的h01和hl1,再次利用（8-7）式（取k=1， i=1，i=2,i=l-1，便可计算得t2时刻各结点的水头值。如此重复，便可计算出t3 ，t3 ，各时刻的水头分布值。,由（8-8）式所示的初始条件给出t0时刻各结点的水头值h00， h10，hl0；再根据（8-7）式，在k=0时，分别取i=1，i=2,i=l-1,便可求得t1时刻各内结点的水头值h11，hl-10。,3. 显式差分方程的收敛性和稳定性,差分方程的解hik+1是否

7、逼近原微分方程的解Hik+1?必须从差分方程的收敛性和稳定性两个方面回答此问题。,只有收敛和稳定的差分格式，才具有实用价值。因此，合理选取x, t是很重要的。,收敛性：如果在x, t取得充分小时，差分方程的解和微分方程的解析解很接近，便说这种差分格式是收敛的。,稳定性：差分计算时，每一步都有舍入误差，随着计算时间或计算次数的增加，累积误差逐渐减小，以至于不影响计算结果，那么这种差分格式便是稳定的。,三、一维隐式有限差分格式,1. 隐式差分方程的建立,在t=tk+1时刻，（8-1）式左端用二阶导数的近似表达式，右端用时间导数的向后差分近似代替导数，略去0(t )和 0(x)2 ，则有：,（8-9

8、）,（8-10）式左端包含了三个未知数，不能直接解出hik+1，所以称为隐式差分格式。,2. 隐式差分方程的求解,代入第一个和最后一个方程，形成由（l-1)个方程组成的线性方程组，联立求解，便可得到（l-1)个内结点tk+1时刻的水头值。由于线性方程组的系数矩阵只在三条对角线上有值，其余均为零，所以称为三对角线方阵，可用追赶法求解。,由于隐式差分格式不能直接解出hik+1值，所以应该对所有内结点（i=1,i=2,i=l-1)都按（8-10）式列出相应的方程。并把边界条件：,隐式差分格式是无条件收敛和稳定的。,四、一维中心有限差分格式,1. 中心差分方程的建立,这种差分格式是在tk与tk+1时刻

9、之间，取中间过渡时刻tk+t/2时刻，以结点（i,k+1/2)处的微分方程为基础建立差分方程。,在t=tk+1/2时刻，（8-1）式右端用时间导数的中心差分近似代替导数，则有：,（8-11）,（8-1）式左端 的 ，用tk 和tk+1 时刻二阶差商的平均值代替，则有：,（8-12）,将（8-11)和（8-12）式代入（8-1）式，得：,（8-13）,（8-12）式包含了六个结点的水头值，故称之为六点格式。其中有三个结点的水头是未知的，不能直接解出hik+1，因此，必须建立联立方程组求解。中心差分格式是无条件稳定和收敛的。,2. 中心差分方程的求解,用解三对角方程组的追赶法求解。,五、三种有限差

10、分格式的统一表达式,（8-14）,8-3 地下水运动数值模拟的一般步骤,概化水文地质概念模型,计算域空间、时间上的离散,模拟计算（运转模型）,建立数学模型,数学模型检验,校正（识别）数学模型,一、概化水文地质概念模型,在充分了解研究区地质和水文地质条件的基础上，结合地下水开采、补给布局情况，对实际的水文地质条件进行概化，抽象出能用文字、数据或图形等简洁方式表达并反映地下水运动规律的水文地质概念模型。,研究区范围和边界条件概化 含水层内部条件概化（含水层的类型、空间分布 及导水性、贮水性的空间变化等。） 含水层水力特征概化（地下水的流态和空间变化 类型）,二、建立数学模型,地下水流数学模型就是把

11、水文地质概念模型数学化，用一组数学关系式来刻划地下水流的数量关系和空间形式。它具有复制和再现实际地下水流运动状态的能力。,3.给出相应描述研究区内地下水流初始状态的初始条件和研究区内水流与周围环境相互关系的表达式，即边界条件。,确定性数学模型必须具备下列条件：,1.有一个或一组描述地下水运动规律的偏微分方程；,2.确定相应的渗流区（研究区）的范围、形状和有关的各种参数值；,三、计算域空间和时间的离散,1. 空间离散,将计算域按三角形或方形进行剖分，离散为许多但有限的小单元（均衡域)，作出剖分网格图。在剖分时约定，第一类边界从小均衡域的中心通过，第二类边界与小均衡域的边界重合。小均衡域的中心称为

12、结点，其长度称为空间步长。,2. 时间离散,将连续的计算时间划分成若干时段，每个时段长度称为时间步长。,空间步长、时间步长各自可以相等，也可以不相等，主要根据地下水位的变化趋势确定。,注意,四、校正（识别）数学模型,将计算的水位值与实际观测值进行对比，如果两者相差很大，就需要修改参数或边界条件，再进行模拟计算，如此反复调试，直到满足判断准则（允许误差）为止。这时所用的一组参数和边界条件及数学模型就可以认为是符合客观实际的。,根据所建立的数学模型，选用通用程序或专门编制的程序，用勘探试验所确定的水文地质参数和边界条件作为初值，选定某一时刻作为初始时刻，然后按正演计算模拟抽水试验或开采，输出各观测

13、孔各时段的水位变化值和抽水结束时的流场分布。,五、数学模型检验,由于在模型识别中存在不确定性，通过识别模型得到的一组参数有可能并不能够准确代表实际的水文地质条件。因此，需要对模型进行检验，以提高模型的置信度。,模型检验通常是把识别得到的一组参数和模型用来模拟另一段时间的外部影响，如抽、注水量和抽、注水时间、方式以及边值，入渗补给量等也按该时段的实际情况给出，然后进行正演计算，比较模拟值和实测值，若两者间的误差在预先设定的允许误差范围内，说明模型（连同参数）可靠，具有实用性，可用于模拟计算。,六、模拟计算（运转模型）,经过识别、检验合格后的数学模型,才能够模拟研究区域地质体中发生的真实地下水流的运动情况，可以用该模型来预测未来的地下水流状态。因而，可以根据研究工作的需要，运转这个模型来进行相应的模拟计算。,8-4常用地下水数值模拟软件介绍,地下水模拟系统(Groundwater Modeling System)，简称GMS，是美国Brigham Young Universi