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文档简介
1、第8讲函数与方程,考试要求函数的零点与方程根的关系,一元二次方程根的存在性及根的个数的判断,B级要求,知 识 梳 理 1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数yf(x)(xD),把使 的实数x叫作函数yf(x)(xD)的零点 (2)几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 ,f(x)0,x轴,零点,(3)零点存在性定理 如果函数yf(x)满足:在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线; ;则函数yf(x)在(a,b)上存在零点,即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也就是方程f(x)0的根,f(a)f(b)0,2二次函数yax2bxc(a0)的
2、图像与零点的关系,(x1,0),(x2,0),(x1,0),诊 断 自 测 1判断正误(在括号内打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点() (2)函数yf(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0.() (3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时,函数y2x与yx2的图象有两个交点(),解析(1)函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标,故(1)错;(2)函数f(x)x2在区间(1,1)内有零点,且函数图象连续,但f(1)f(1)0. 答案(1)(2)(3)(4),3(2015安徽卷改编)在函数ycos x;ysin x;yln x;
3、yx21中,既是偶函数又存在零点的是_(填序号) 解析由于ysin x是奇函数;yln x是非奇非偶函数;yx21是偶函数但没有零点;只有ycos x是偶函数又有零点 答案,答案3,答案(1)1(2)4,规律方法函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点,令f(x)0,有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理,要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数 (3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数,规律方法已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定
4、参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解,考点三二次函数的零点问题 【例3】 已知函数f(x)x2ax2,aR. (1)若不等式f(x)0的解集为1,2,求不等式f(x)1x2的解集; (2)若函数g(x)f(x)x21在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围,规律方法解决与二次函数有关的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组,【训练3】 已知f(x)x2(a21)x(a2
5、)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a的取值范围 解法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1,x2(x1x2), 则(x11)(x21)0, x1x2(x1x2)10, 由根与系数的关系, 得(a2)(a21)10, 即a2a20, 2a1.,法二函数图象大致如图,则有f(1)0,即1(a21)a20,得a2a20, 2a1. 故实数a的取值范围是(2,1).,思想方法 1判定函数零点的常用方法有: (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)0. 2研究方程f(x)g(x)的解,实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点 3转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题,易错防范 1函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)0的根
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