概率论1.ppt

1、概率论与数理统计,第1章 随机事件与概率,考虑如下的试验（这里“试验”一词也包括通常所谓的观察在内）： E1：在标准大气压下，将水加热到100c ; 当重复进行上述试验时，其呈现出不变性质： -水必沸腾 在试验中看到的现象称为确定性现象，这是在实施试验之前就知道，只要试验的条件一实现（不论重复多少次），就会出现相应的惟一确定的结果。,1.1 概率论的研究对象,E2:某射手对一活动靶进行射击。记录在不断射击中，直到击中为止所进行的射击次数； 可能结果：1，2，3， E3：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命（小时）。 可能结果：每个灯泡燃点时数（从开始使用起，直到损坏为止的小时数）是个任意

2、非负实数。 当重复进行这些试验时，其出现的结果并非是确定不变的这些试验是随机试验,有如下的基本特点的试验称为随机试验： (1)试验可以在相同的条件下重复地进行； (2)试验的可能结果不止一个，但明确知道其所有可能会出现的结果； (3)在每次试验前，不能确知这次试验的结果，但可以肯定，试验的结果必是所有可能结果中的某一个 从随机试验观察到的现象称为随机现象，当观察随机现象时，在具体实现试验条件之前，不能确知会出现怎样的结果，而只能预言一旦实现试验条件，试验所有可能结果之一将会发生的事实。,1.2.1 样本空间 在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果的集合是明确知道的，称这个集合为该试验的样本空

3、间，常用（或S）表示，其元素称为样本点，常用w记之，是试验的一个可能结果,1.2 随机事件,例1 抛一枚硬币观察哪一面向上约定带有国徽图案的是正面，另一面是反面，并假定抛落的硬币不可能直立(这是一次试验） 样本空间 正面，反面 若规定用: w1表示正面，w2表示反面 样本空间 =w1，w2.,例2 袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从中任取出一球 (这是一次试验） 先对球予以编号: 1、2、3号球是白球，4、5号球是黑球， 样本空间 =w1, w2 , w3, w4 , w5 只含有限个元素，称为有限样本空间,1.2.2 随机事件 在一个随机试验中可能发生的事情（事件），称为这个试验的随

4、机事件。随机事件是样本空间的子集。 例2中，假设袋中1、2、3号球是白球，4、5号球是黑球，任摸一球。 样本空间 =w1, w2 , w3, w4 , w5 A事件 = “摸到一个白球” =“摸到1号球”或“摸到2号球”或“摸到3号球” =w1, w2 , w3 随机事件是样本空间的子集,前述的试验E2: 某射手对一活动靶进行射击，记录在不断射击中，到击中为止，所进行的射击次数； 样本空间2 =1, 2, 3, A事件=“10枪以内击中” =1,2,3,10 B事件=“奇数次时击中” =1,3,5,7, 随机事件是样本空间的子集,注意： （1）在一次试验中，若事件A中的一个样本点（可能结果）发

5、生了，则事件A就是发生了。当A中所有样本点都不发生，则事件A不发生。 （2）任何两个样本点（可能结果）不可能同时发生。,一般：样本空间 =w1, w2 , wi , 任何的子集C=wi1, wi2 , wik , 都是一个事件。 特别： -必然事件（总会发生） 空集-不可能事件（不会发生） 单个样本点集wi -基本事件 （有时称样本点wi是基本事件）,例：袋中有3个白球，2个黑球，任摸出一球。 假设1、2、3号球是白球，4、5号球是黑球。 可能结果：w i =“取得第i号球” i=1,2,3,4,5 =w1, w2 , w3, w4 , w5 “摸出的是白球”事件 =w1, w2 , w3 “

6、摸出的是黑球”事件 =w4, w5 “摸出的是白球或黑球”事件 “摸出的是红球”事件 =空集,例：袋中有3个白球，2个黑球，任摸出两球。 方法1： 设(i,j)=“取第1个球是i号，第2个球是j号” = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4) 共20个结果 每个可能结果有1/20机会出现，等可能性,方法2： 设(i,j)=“取出两个球是i号和j号”(不分次序)

7、 = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) 共10个结果 每个可能结果有1/10机会出现，等可能性,方法3： 设(颜色i,颜色j)=“取出两球的颜色”(不分次序) = (白,白), (白,黑), (黑,黑) 共3个结果 (白,白)=(1,2),(1,3),(2,3)，有3/10机会 (白,黑)=(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)， 有6/10机会 (黑,黑)=(4,5)，有1/10机会 每个可能结果没有等可能性， 对古典概型是不合适的。,1.3.1 事件的关系

8、 两个事件之间存在着逻辑关系：相等，包含，互不相容等。 一个较为复杂的事件，通过种种运算，可使之与一些较为简单的事件联系起来。 较复杂的事件 = 若干个简单事件的运算 如：,1.3 事件的关系和运算,事件的蕴含与包含 若事件A发生时B必发生，则称A蕴含B或者说成B包含A，记作: 在样本空间中，事件A蕴含事件B就是集合A是集合B的一个子集,例：袋中有110号球，任取出一球。 设w i=“取得第i号球”, i=1,2,10 =w1, w2 , w3, , w10 事件A=“取得5号球或7号球”=w5 ,w7 事件B=“取得奇数号球”=w1 ,w3 , , w9,事件的相等 若A与B互相蕴含，即AB

9、且BA，则称两事 件A与B相等，记为AB 两事件A，B相等，意即它们应是样本空间的同一个子集，是同一事件的不同说法而已 如摸球试验，A=“摸出球的号码不超过3” B=“摸出1号或2号或3号球” 则 A = B,事件的互斥（或称互不相容） 若事件A，B不能在同一次试验中都发生（但可以都不发生），则称它们是互不相容或互斥的 若一些事件中任意两个都互不相容，则称这些事件是两两互不相容的，或简称互不相容的 互不相容事件作为样本空间的子集看，其交集是空集,A,B,事件的对立（逆事件） 互不相容的一个重要特例是“对立” B=A不发生 称B为A的对立事件或逆事件，记 换言之，A不发生就是发生 是A的补集：

10、A+= ,A,1.3.2 事件的运算 事件的并（或称和） 对给定的事件A，B，定义一个称为并(或和)的事件，以AUB记之： AUBA发生或B发生 A,B至少有一个发生 作为样本空间的子集，集合AUB正是集合A,B之并 A,B互不相容时，AUB记成AB,A,B,A,B,事件的交（或称积） 对给定的事件A，B，定义一个称为交(或积)的事件，以AB记之： ABA,B同时发生 作为样本空间的子集，集合AB正是集合A,B之交集，故也记为： AB A,B互不相容时，AB= ,A,B,用交表示A1,A2,An互不相容： A i A j = ij, i,j=1,2,n 用并和交表示A的逆事件 ： AUB=，

11、AB= 则B= ,例1-2： (1) 事件“A,B都发生,但C不发生” : (2) “C发生，但A、B均不发生”： (3) 事件“A,B,C都发生” : ABC； (4) “A,B,C中恰有两个发生”: (5) “A,B,C中至少有两个发生”: AB U BC U AC； (6) “A,B,C中有不多于一个事件发生”: 或：,事件的差 两个事件A，B之差，记为A-B，其定义是 A-BA发生但B不发生 A发生且 发生 从定义看出，有 A-BA-AB=A 作为样本空间的子集，事件A与B的差正是差集集合A-B,B,1.3.3 运算法则,对偶律 :,和的逆等于逆的积 积的逆等于逆的和,1.3.4 事件

12、域 定义 称样本空间的一些子集所组成的集合F为事件域，如果满足3个条件： (1) F (2) 若AF ，则 F (3) 若AiF (i=1,2,)，则 F 则F 中的元素为事件。 F 中的元素(即事件)对各种有限（及可列）运算封闭。,例：在随机试验中有很多不同的事件，但我们只对两个事件A，B感兴趣，要研究A，B及其与它们有关的事件，将这些事件构成一个集合，就是一个与A，B有关的事件域F。 F =，A，B，B，AUB，AB， UB， F 中的每个事件都是由感兴趣的A,B经过各种运算而得到。,1.4 频率与概率,概率是什么 每个随机事件（除必然事件、不可能事件外）在一次试验中都是有可能发生也有可能

13、不发生的，这说明随机事件的不确定的一面，但是，在重复多次进行这个试验时，也会显露出其规律性的一面.,1次“抛硬币”试验，出现“正面”（事件A）的可能性？ 重复n次试验，出现“正面”次数为v A，叫A的频数。 A在n次试验中发生的频率： n很大时，f n (A)值总在某个数的附近波动。 如：n=4040, f n (A)=0.5069 n=12000, f n (A)=0.4992 n=24000, f n (A)=0.5005 频率稳定在0.5附近波动。可以认为：1次“抛硬币”试验，出现“正面”（事件A）的可能性大小是0.5 也称为：事件A的概率是0.5,1.4.1 概率的统计定义： 对（一次

14、）试验 中的某个事件A，在相同条件下作大量重复试验，事件A出现的频率f n (A)在0，1上的一个确定常数p附近波动，并稳定于p，则称p是事件A的概率。记为：P(A) = p -概率是通过大量重复试验统计得到。 如：P( “抛币一次出现正面”)=0.5 不能认为：,1.4.2 统计概率的性质 根据频率的性质以及事件A的概率是大量重复试验中事件A发生频率的稳定值，可以看出事件的概率具有以下性质： 性质1 非负性. 对任一事件A，必有 P(A) 0 (原因：频率f n (A) 0) 性质2 规范性. 对必然事件，必有 P()1 (原因：频率f n ( )=1) 性质3 可加性. 若事件A，B互不相

15、容，则有 P(AB)=P(A)P(B) (原因：频率 ),可加性扩展. 若事件A1,An互不相容，则有 P(A1+An) = P(A1)+P(An) 写成：,1.5.1 古典概型的定义 一个随机试验，若具有下列两个特征： (1) 有限性：其样本空间是一有限样本空间,即 =w1,w2,wn; (2) 等可能性：其n个基本事件w1,w2,wn在一次试验中发生的可能性相等。 则称这种“等可能性”的数学模型为古典概型。 例：掷一枚均匀硬币 ，设w1 =“正面”，w2 =“反面”。 =w1,w2 w1,w2出现的机会是“等可能性”。 是一个古典概型。,1.5 古典概型,例：袋中有3个白球，2个红球，任摸

16、出一个球。 设1，2，3号球为白球，4，5号是红球。 令 wi=“摸出第i号球” i=1,2,3,4,5 1=w1,w2, w3, w4, w5 w1,w2, w3, w4, w5出现的机会相等，“等可能性”， 1是古典概型。 设w1=“摸出一个白球”， w2=“摸出一个红球” 2=w1,w2 w1出现的机会P(w1) =3/5， w2出现的机会P(w2)=2/5 不是等可能性， 2不是古典概型。,古典概率定义 在古典概型中，如果基本事件的总数为n，事件A所包含的样本点个数为r(rn)，则定义事件A的概率P(A)为r/n。即： 例：袋中有3个白球，2个红球，任摸出一个球。求摸出白球的概率。 解

17、 给球编号，设1, 2, 3号球为白球，4, 5号是红球。 令 wi=“摸出第i号球” i=1,2,3,4,5 =w1,w2, w3, w4, w5 事件A=“摸出白球”= w1,w2, w3,例1-5 袋中有3个白球，2个红球，任取出两个球。 求以下事件的概率： A=取得两个都是白球 (2) B=取得两个都是红球 (3) C=取得一个白球一个红球 解 将5个球看作都不同，任取两个不分先后次序，则共有 种取法，即基本事件总数是 (1) 取得两个都是白球有 种取法，,取得两个都是红球有 种取法， 取得一个白球，一个红球有 种取法，,1.5.2 古典概率的性质 性质1 对任一事件A，有 0P(A)

18、1 性质2 P()1； P()0 原因： 性质3 若事件A，B互斥，则有 P(AB)=P(A)P(B) 可推广到多个事件: 若事件A1,An互不相容，则有 P(A1+An) = P(A1)+P(An),写成： 性质4 对任意事件A，有 P()=1-P(A),古典概率计算举例 古典概率P(A)的计算步骤，一般应是：先明确样本点是什么，其构成的样本空间是怎样的,求出样本点的总数n，再求出A的样本点数r，P(A)=r/n 例 一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问各册自右至左或自左至右恰成1，2，3，4顺序排放着的概率是多少？ 解：这个试验是将四卷的一部书上架，其样本空间的样本点是四卷书卷号(

19、1,2,3,4)的任一种可能的全排列样本点的总数为 n43 2 l4！ A的样本点有2个，即排列顺序是1，2，3，4及4，3，2，1是A中仅有的2个样本点。有,例 有10个外观相同的电阻，其电阻值分别是1欧,2欧,3欧,9欧,10欧现从中任意取出3个，希望一个电阻值小于5欧，一个电阻值等于5欧，一个电阻值大于5欧问一次抽取就能达到要求的概率？ 解：从10个不同（电阻值）的元素（电阻）任取一组三个元素均为样本空间的样本点，样本点总数n= 设A=“3个电阻值分别为小于5欧, 等于5欧, 大于5欧” A的样本点数= P(A)=,解法2：从10个不同（电阻值）的元素（电阻）先后任取三个元素均为样本空间

20、的样本点（有先后次序），样本点总数n= 设A=“3个电阻值分别为小于5欧, 等于5欧, 大于5欧” A的样本点数= P(A)=,例1-6 一个箱子中有36只灯泡，其中32只是一等品，4只二等品，从中任取3只，求取出的3只灯泡中至少有1只灯泡是二等品的概率？ 解：设A=“取出的3只灯泡中至少有1只灯泡是二等品” 设Bi=“取出的3只灯泡中有i只灯泡是二等品” i=1,2,3 B1,B2,B3是互不相容事件，且 A=B1+B2+B3,例1-6的解法2 解：设A=“取出的3只灯泡中至少有1只灯泡是二等品” 则=“取出的3只灯泡中没有灯泡是二等品”,例 将r个球置于n个箱（每个球均以1/n的概率被置入

21、某一特定箱中），若n r，试求任一箱内的球数均不超过1的概率？ 解: 第一个球置于1号箱或2号箱或n号箱，共有n种不同的放置法，第二个球直至第r个球均是这样，都各有n种不同的放置法，按乘法原理，r个球的不同放置法总数为nn nnr 设A=“任一箱内的球数均不超过1 ” A的样本点数=n(n-1)(n-2)(n-r+1),著名的生日问题：要求出参加某次集会的n个人(n365)中没有两人的生日相同的概率. 解：将365天看作是365个箱子，n个人看作是n个球，则所求的概率为 如 n=40，算出的p=0.109,即对40个人一个班级，没有两个同学同一天生日的概率是很小的，为0.109. n=80，算

22、出的p=0.000086。,例 袋中有大小相同的a个黄球和b个白球，现将球从袋中一一随机地摸出来，求第k次摸出的是黄球的概率？(l k a十b） 解：第一法 将a个黄球及b个白球都看作是各不相同的（可设想已对它们进行编号，第1号到第a号是黄球，第a+1号到a+b号是白球）若将a+b个球一一取出放到一直线的a+b个位置上，第1位置放的球共有（ab)种方式，第2位置放的球就只有(a+b-1)种方式，到第ab个位置，就只能放上袋中剩的那惟一的球于是，出现的不同排列共有 (ab)(ab-1) 1 = (ab)！种 这可看作是样本空间的样本点总数若将第k次取出的为黄球（即第k位置上放的是黄球）事件记作A

23、则A的样本点总数为a（ab-1)！，这是因为第k位置放黄球，有a种不同方式，而其余位置共(ab一1)个，不同的放法是(ab一1)！故所求概率为,解：第二法 把a个黄球及b个白球分别看作没有区别（亦即不对球作编号处理），仍将这ab个球从袋中一一取出并顺次放到在一直线的ab个位置去由于未曾编号，所以每个结果是两类元素（黄球、白球）的排列这样，可算出样本点总数是两类元素的排列数为 而A的样本点总数应为： 这是因为第k位置放黄球只有1种方式，而其余a十b-1个位置由a-1个黄球与b个白球这两类元素的排列而成 结果与k无关例如在体育比赛中进行抽签时，抽出结果与抽签的先后顺序无关，都是公平的。,第k个位置

24、,例 已知在一批100件产品中有5件是次品，今从中任意抽出3件，求恰有2件是次品被抽出的概率？ 解: 第一法 用排列公式，从100件不同（分别被编号）产品中抽出3件进行排列，不同的样本点总数为 1009998 设A=“抽出3件产品中恰有2件是次品”事件 由于第1件是次品有5种取法，第2件是次品有4种取法，而第3件是正品有95种取法而2件次品的位置有 种，故A的样本点数为5495 =54953。,解: 第二法 用组合公式，从100件不同（分别被编号）产品中抽出3件进行组合，不同的样本点总数为 设A=“抽出3件产品中恰有2件是次品”事件 由于2件次品有 种取法，而1件是正品有 种取法故A的样本点数

25、： 。,若将随机试验解释成向一区域随机投点，则点M落入的某一部分A的概率，可用公式 将有限样本空间的等可能模型，推广到无限样本空间 “等可能”性的场合。,长度，面积，体积,A,A,1.6 几何概型,例1-8 会面问题 两人相约8点至9点在某地会面，先到者等候20分钟（1/3小时）还见不到对方即离去，试求两人能会面的概率P。 解 设x，y分别为两人到达的时刻 (0 x, y 1）,(x,y)是样本点，正方形0 x, y 1是样本空间。 设 A=“两人能会面”事件 A发生相当于：,例 在长为l的线段AD中任取两点B，C，将AD分成三折线，试求此三折线能构成三角形的概率？ 解 把线段AD置于数轴上,

26、成0,l. 设B点落在x处(0 xl），C点落在y处(0yl）,考察这两点的落位(x,y)是样本点，样本空间是正方形 (0 x,yl）. 当yx，三折线长分别为 x, y-x, l-y 当xy，三折线长分别为 y, x-y, l-x A=“三折线能构成三角形”事件 A的样本点： 在yx时, x+(y-x)l-y, (y-x)+(l-y)x, (l-y)+xy-x 整理得到：yl /2, xy时，有：xl /2, yl /2, x-yl /2,A,B,C,D,x,y,l,0,(例15续）,例1-9(蒲丰问题) 平面上画有等距离为a (a0)的一些平行线，向平面任意地投一长为l（la）的针，试求针

27、能与任一平行线相交的概率p 解 以M表示针的中点，x表示M到平行线的最短距离(0 x a/2, 表示落针与平行线的交角(0 ) (x, )是一个样本点，矩形G：0 x a/2， 0 是样本空间。 A=“投针能与任一平行线相交”事件。 A发生的充分必要条件是：,(例1-9续) 这个不等式确定的区域g.,蒙特卡洛（Monte Carlo）法（一类计算方法 ），也称：随机试验法。 要计算某个值（如：），可设计适当的随机试验，并通过试验（一般用计算机模拟）的结果来确定它。 如用上例求 ： 如：N=5000，n=2532，l=0.8a, 计算得 3.1596,1.7.1 定义 概率的数学理论是由研究有关

28、随机现象而产生的，典型的例子是赌博、打牌中的问题。 大家公认17世纪的帕斯卡（1623-1662）、费马（1601-1665）是首先研究赌博的数学家，成为概率论这一数学分支的创始人但是直到20世纪初，概率论都只是一门不成熟的数学学科，其中的基本概念还没有清楚地给出定义，以至于将其应用到实际问题时，常显缺乏坚实的基础。 前苏联的数学家科尔莫戈罗夫（1903-1987）在1933年发表的著作概率论基本概念中实现了概率论的公理化在他的这一著作中，用了为数很少且极为简单的公理，而在此基础上筑起了概率论的宏伟大厦,1.7 概率的公理化定义,概率的公理化定义 设是样本空间，F是上的事件域。A是F中任意元素

29、（即事件），定义一个实值函数：P(A)=p，要求函数满足3条公理，则称函数P(A)为事件A的概率。 公理1 对任意事件A, 必有 0P(A)1 公理2 对必然事件，必有 P()1 公理3 若事件A1, , An, 互不相容，则有 P(A1+An+) = P(A1)+P(An)+ 函数P的定义域是F，自变量是F中的每个事件A，函数值是实数。 在此公理化定义的基础上筑起了概率论的宏伟大厦,1.7.2 性质 利用3条公理，推出概率的各种性质。 性质1 不可能事件的概率为零，即P()=0 证明 因为 =+ 由公理3有 P()=P()+P()+P()+ P()+P()+=0 得 P()=0,性质2 (有限可加性)对于两两互斥的有限个随机事件 A1，A2，An，有 证明 因为A1+A2+An= A1+A2+An+ 由公理3有 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)+P()+ 而 P()=0 得 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) 证毕,性质3 设 是A的对立事件，则 P(A)=1-P() 证明 因为 A+=， A= 由性质2，得 P(A)+P()=P() 由公理2知， P()=1，则 P(A)+P()=1 所以， P(A)=1-P() 证