比例线段和平行线分线段成比例定理

1、第十讲 比例线段和平行线分线段成比例定理,一、比例线段的主要知识点,1 两条线段的比： (1) 定义： 同一单位度量的两条线段a、b，长度分别为m、n，那么就写成 (2)前项、后项： a叫比的前项，b叫比的后项. 前后项交换，比值要交换. (3)比例尺： 若实际距离是250m，图上距离是5cm，求比例尺. 比例尺为1：5000.,如 则,一、比例线段的主要知识点,2 四条线段成比例： (1) 定义： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段. 如 a=9cm, b=6cm, c=6cm, d=4cm. 则a, b, c, d叫作成比例线段. (2)名

2、称： 在比例线段a : b=c : d中，a、d叫作比例的外项，b、c叫比例的内项, d叫第四比例项. 若比例内项相同，即a : b=b : d，则b叫a、d的比例中项.,一、比例线段的主要知识点,3 比例的性质： (1) 比例的基本性质： a : b=c : d ad=bc. a : b=b : c b2=ac. (2)合比性质： (3)等比性质： (4)黄金分割：,如 则 类似地还有,如 则,例1. 在1 : 500000的地图上，若A、B两市的距离是64cm，则两个城市间的实际距离是多少千米？ 解：设A、B两市距离为xcm，则 x=64500000=32000000(cm)=320(km

3、). 答：两城市实际距离为320千米.,二、比例线段的例题和练习：,二、比例线段的例题和练习：,例2. 已知线段a=12cm，b=1dm，c=8cm，d=15cm. (1) 线段a、b、c、d是否是成比例的线段？ 解： a、b、c、d不是成比例的线段. (2) 经过重新排列后，以上四条线段能否是成比例的线段？ 解：1210=120, 158=120, ab=cd. a、c、d、b或a、d、c、b是成比例的线段.,二、比例线段的例题和练习：,例3. (1) 已知：a : b : c=3 : 4 : 5, 求 (2) 已知： (3) 已知：a=2, b=54, x是a、y的比例中项，y是x、b的

4、比例中项. 求：x、y的值. 解: (1) 设a=3k, b=4k, c=5k. 则 (2) 若a+b+c0, 若a+b+c=0, 则a+b=c.,二、比例线段的例题和练习：,例3. (1) 已知：a : b : c=3 : 4 : 5, 求 (2) 已知： (3) 已知：a=2, b=54, x是a、y的比例中项，y是x、b的 比例中项. 求：x、y的值. 解: (3) 由题意知 x=6, y=18为所求.,三、平行线分线段成比例定理的主要知识点：,1 平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. l1l2l3.,三、平行线分线段成比例定理的主要知识点：,1 平行线

5、分线段成比例定理： 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 2 三角形一边的平行线的判定定理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 3 预备定理： 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.,若 则,四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：,例1.如图，若EFAB, DEAC, 以下比例正确的有（ ）个. A. 1个. B. 2个. C. 3个. D. 4个.,C,四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：,例2.已知：如图，若DEBC,

6、D在AB上，E在AC上， AD : DB=2 : 3, BC=20. 求：DE的长. 解：,四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：,例3. 已知：如图梯形ABCD中，ADBC, AC、BD相交于O. 过O作AD的平行线 交AB于M，交CD于N. 求证：MO=ON. 证明：ADBC, MNAD. MNBC. 在ABC中， MOBC. 在DBC中， ONBC. 即MO=ON.,四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：,例4. 已知：如图ABC中，D、E分别是AB、AC上两点，DE、BC的延长线相交于F. AD=CF. 求证： 方法一. 证明：作DMAC交BC于M. 在ABC中， DMAC. 在D

7、MF中， AD=CF，,四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：,例4. 已知：如图ABC中，D、E分别是AB、AC上两点，DE、BC的延长线相交于F. AD=CF. 求证： 方法二. 证明：作DNBC交AC于N. 则 AD=CF. 在ABC中， DNBC.,五、练习题：,下面四组线段中，不能成比例的是（ ）. 已知： 求(1) (2)若2x+3y-z=40, 求3x-z+2y=? 解(1) ：设 x=2k, y=7k, z=5k. 2x+3y-z=40, 4k+21k-5k=40. k=2. 3x-z+2y=6k-5k+14k=15k=30.,D,五、练习题：,3. 若线段AB=10，点C是线段AB的黄金分割点，ACBC, 那么AC=_, BC=_. 提示： BC2=ACAB.,五、练习题：,4. 梯形ABCD中，ABCD, E、F分别在AD、BC上， 求：EF. 提示：作DMBC交AB于M，交EF于N. EFAB. AB=20, CD=MB=NF=10. AM=10. EN=4, EF=4+10=14.,