第8章 状态空间分析法.ppt

1、第8章，状态空间分析，8.1状态空间方法的基本概念，8.1.1状态和状态变量，“状态”和“状态空间”不是新概念。长期以来，它们被广泛应用于粒子和刚体的经典力学中。在经典控制理论中，“相平面”的概念(本书没有涉及)是一个特殊的二维状态空间。然而，直到20世纪60年代左右，“状态”和“状态空间”的概念才在经典动力学的基础上发展起来，并适用于控制过程的描述。状态和状态变量通过下面的例子来解释。示例8-1无源网络如图8-1所示。尝试分析网络的数学模型。图8-1 RLC无源网络，解决方案：等式可以从图8-1中获得，中间变量可以消除。(8-2)用传递函数表示为(8-3)。等式(8-1)和(8-3)都是描述

2、网络的数学模型，可以表达系统的状态。解析式(8-1)的两个一阶方程(8-4)用向量矩阵方程表示为u (8-5)。在该网络中，如果i(t0)和uC (t0)的初始值以及tt0处的输入电压已知，则可以完全确定tt0处的网络状态和uC (t)。因此，可以说i(t)、uC (t)等。状态：动态系统的状态指的是一组完整而明确地描述系统时域行为的最小变量。给定这组变量在t=t0的值和在tt0的输入时间函数，系统在tt0的任何时刻的行为都是完全确定的。这样一组变量称为状态变量、8.1.2状态向量和状态空间，(1)状态向量。状态向量是由状态变量组成的向量。如果x1(t)、x2(t)、x3(t)、xn(t)是系

3、统的一组状态变量，则状态向量是以这组状态变量为分量的向量，即(2)状态空间。以x1(t)、x2(t)、x3(t)和xn(t)为坐标轴的正交n维空间称为状态空间，状态空间中的每个点代表一组唯一且特定的状态变量值。由系统状态变量组成的一阶微分方程组称为系统状态方程。在例8-1中，方程(8-4)描述了系统的状态方程。如果状态变量由通用符号表示，即公式(8-4)中x1=uC，x2=i，并以矩阵形式书写，则状态方程为、(8-6)或=AX bu，当指定系统输出时，输出和状态变量之间的函数关系称为系统输出方程。例8-1指定x1=uC为输出，输出一般用y表示，所以y=uC，也就是y=x1，系统的输出方程是(8

4、-7)或y=CT X，其中CT=1 0，8.2状态空间的描述，8.2.1状态变量的选择，原则上，下面的例子说明了如何选择状态变量。示例8-2对于图8-2所示的质量弹簧系统，当外力F(t)作用时，系统移动。质量和弹簧弹性系数如图所示。如果没有计算摩擦力，试着：(1)写出系统的微分方程，质量m2的位移y(t)作为输出，外力F(t)作为输入；图8-2质量弹簧系统(2)选择一定数量的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。解：(1)假设质量m1的位移为Z，根据牛顿定律，有与F(t) k1 (z y)=m1 (8-8)相同的原因，对于质量m2，有k1(z y) k2 y=m2 (8-9)，有，Uni

5、on (8-8)和公式(8-9) (2)假设状态变量x1=z，x2=，x3=y，x4=由公式(8-8)和公式(8-9)得到。因此，状态方程和输出方程分别为(8-11)和(8-12)。将线性系统的状态空间描述、状态方程和输出方程综合起来，形成系统的完整动态描述，称为系统的状态空间表达式，如方程(8-6)和(8-7)所示。等式(8-11)和等式(8-12)是图8-2所示系统的空间表达式。下面描述了写列状态空间描述的一般方法。让我们假设一个单输入单输出系统，它的状态变量是x1，x2，xn。状态方程的一般形式为：a11x 1 a12x 2 a1n b1u=a21x 1 a22x 2 a2 nb2u=a

6、n 1x 1 a2 annu，输出方程的形式如下：y=c11x 2 x2 cnxn。当用向量矩阵表示时，状态空间表达式为=a. X bu y=CTx (8-13)，n维、状态变量与系统内部状态之间的关系称为系统矩阵，它是一个矩阵；输入对状态的影响称为输入矩阵或控制矩阵，这里是n1的矩阵。可控性和可观性是现代控制理论的两个基本概念，是卡尔曼在20世纪60年代提出的。可控性检查每个状态分量是否能被u(t)控制，是指控制动作对系统的影响能力；可观测性是指状态X是否可以用观测量Y来判断，它反映了系统输出决定系统状态的可能性。因此，可控性和可观性从两个方面反映了系统的内在特征：状态控制能力和状态识别能力

7、。事实上，现代控制理论中研究的许多问题，如最优控制和最优估计，都以能控性和能观性作为其解存在的条件。实现可控性和可观性的问题之一是控制能否在有限的时间内将系统从初始状态引导到所需状态；另一个问题是，是否可以通过在有限的时间内观察输出来识别系统的初始状态，从而识别系统的状态。可控性和可观性是现代控制理论的基本问题，因为它们关注的是状态的控制。而经典控制理论关注的是输出控制，被控过程可以表示为一个复杂的高阶微分方程，即y(n)a1y(n1)an1 any=b0u(n)b1u(n1)bn1 bnu。因为在受控变量y和控制动作u之间存在明显的相关性，所以在理论和实践中不存在是否可以控制或观察的问题。然

8、而，就系统的状态而言，这一问题仍然客观存在，只是由于侧重于输出控制，被控量与控制函数之间的依赖关系被掩盖了。在现代控制理论中，状态空间方程被用来描述系统。通过分析系统的状态方程和输出方程，可以判断系统的可控性和可观性。也就是说，能控性和能观性的条件由系统状态方程和输出方程的系数矩阵决定。8.3.1线性系统的可控性定义：线性系统=A(t)X B(t)U，在t0处具有任意初始值X(t0)=X0，对于tat0和taJ(J是系统的时域)，可以找到其元素在t0和ta上是平方可积的容许控制U，这样x (ta)=从这个定义中，我们可以加深对可控性的理解。(1)系统的初始状态X0是状态空间中的任意非零有限点，

9、目标状态X(ta)是状态空间的原点。(2)将系统从初始状态引导到目标间状态的控制函数必须满足状态方程解存在且唯一的条件。(3)从初始状态到目标状态的时间被定义为有限间隔t0，ta。8.3.2判断线性系统可控性的基础这里只讨论线性单输入单输出系统的可控性。线性时不变系统，即AX=BU Y=CX的充要条件是它的能控性矩阵Q=B AB An1B是满秩的，即rankB AB An1B=n。对于单输入系统，能控性矩阵是平方矩阵，所以它的具体判断依据是Q的行列式不为零，即|Q| 0，这种判断依据比较简单，但当系统状态不完全可控时，它不能表示哪些状态不能控制。解决方案：根据状态方程，系统的状态是完全可控的，

10、因为rankQ=3。8.3.3线性系统的可观测性系统的状态可控性在前面已经介绍过，系统的状态可观测性在下面介绍。可观测性在tat0、t0J(J是系统的时域)、中定义，并且根据t0和ta上的观测值Y(t)、tt0和ta，可以唯一地确定系统在t0的任何初始状态X0，则系统在t0和ta上是状态可观测的。可观测性是研究状态和输出之间的关系，即系统的状态是否可以通过在有限时间内测量输出来识别，本质上可以归结为初始状态的识别问题。8.3.4判断线性系统可观测性的基础，线性时不变系统即AX=Y=CX完全可观测的充要条件是可观测性矩阵Qg=CT ATCT (AT )n1CT是满秩的，即满秩系统的动力学方程是、尝试判断系统的可观测性。解决方法：从系统的状态方程和输出方程，我们可以得到C=4 5 1的可观测矩阵是，所以秩Qg=23，所以系统不是完全可观测的。8