程多元函数极限与连续

1、第十一章 Euclid空间上的极限和连续,第一节 Euclid空间上的基本定理,一、Eucid空间点集相关概念,（1）n 维空间,实数 x,数轴点.,数组 (x, y),实数全体表示直线(一维空间),平面点,(x, y) 全体表示平面(二维空间),数组 (x, y, z),空间点,(x, y, z) 全体表示空间(三维空间),推广：,n 维数组 (x1, x2, , xn),全体称为 n 维空间，记为,（3）Euclid空间,在n维空间Rn上定义加法和数乘运算：,（2）向量空间,则Rn成为向量空间。,在n维向量空间Rn上定义内积运算：,则Rn成为Euclid空间。其中内积有如下性质：,(i)正

2、定性：0,而=0当且仅当x=0; (ii)对称性:=; (iii)线性性:=a+b; (iv)Schwarz不等式:2 .,（4）Euclid空间中的距离定义：,(5)距离有下面的性质: (i)正定性:|x-y|0,|x-y|=0当且仅当x=y; (ii)对称性:|x-y|=|y-x|; (iii)三角不等式:|x-z|x-y|+|x-z|;,一、平面点集,R中邻域,（1）R2邻域,Rn中的邻域,Rn中点列收敛概念:,定义:设 xk是Rn 中的点列,若存在Rn中的点a,使得对于 任意的,存在正整数K,成立,则称xk收敛于a或者a是xk的极限.记为,Lim kx k =a.,定理: Lim kx

3、 k =a的充分必要条件是Lim kx i k =ai.,（2）区域,例如，,即为开集,内点.,内点：,开集：,开集.,边界点：,边界点.,连通：,连通的.,开区域：连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,闭区域：,对于点集 E，如果存在正数 K，使一切点 PE 与某一点 A 间的距离 |AP| 不超过 K，即,对于一切点 PE 成立，则称 E 为有界点集。 否则称为无界点集.,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（3）聚点,（1）内点一定是聚点；,说明：,（2）边界点可能是聚点,也可能不是聚点；,例如，,(0, 0) 既是边界点也是聚点,（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,

4、(0, 0) 是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,性质定理第一组:,(1)x是S的聚点的充分必要条件是: 存在S的点列 x k |x k S, x k x,使得Lim kx k =x.,(2)S为闭集的充分必要条件为Sc是开集.,(3)任意组开集的并是开集;,(4)任意组闭集的交是开集;,(5)有限个开集的交是开集;,(6)有限个闭集的并是闭集;,性质定理第二组:,De Morgan公式:设Sa是(有限或者无限)Rn中的子集合, 则,二、Euclid空间基本定理,（1）闭区间套定理11.1.6:设,是一列,矩形套，如果,则存在唯一点a每个k .,（2）Cantor闭区域套

5、定理11.1.6:设,是一列,闭区域套，如果,则存在唯一点a每个Sk .,（3）一个应用：,Bolzano-Weierstrass定理：,定理：Rn上的有界点列xn必有收敛子列。 证明：,推论： Rn上的有界无限点集至少有一个聚点。,Cauchy收敛原理：,定义： Rn中的点列xn满足：对于任意的0,存在正整数K，使得对任意的k,lK,成立|xl-xk|，称xk为基本列（或者Cauchy列）。,定理：Rn中的点列xn收敛的充分必要条件是： xn是基本列。,Heine-Borel定理：,定义：设S是Rn的一个子集，如果Rn中的一组开集Ua| aA 满足 aA Ua S，称Ua是S的一个开覆盖。

6、如果S的每个开覆盖Ua中总存在一个有限的子覆盖，称S是紧集。,定理：S是紧集的充分必要条件是：S是有界闭集。,三个等价结论：,定理：设S是Rn的子集合，那么以下三个命题等价 （1）S是有界闭集合； （2）S是紧集合； （3）S的任意无限子集在S中必有聚点。,本节涉及数学家：,Euclid:古希腊数学家，公元前330年生于雅典，代表作：几何原本，十三卷。公元前275年卒。 Cantor:德国数学家，1845年生于德国，集合论的创始人。1918年卒。 Weieratrass:19世纪下半叶德国数学家，生于1815年德国，数学分析大师，一是建立了实数理论，二是建立了极限理论。1897年卒。,Augu

7、stus De Morgan:1806-1871，生于India,移住英国，主要著作Formal Logic ，首先使用规范数学归纳法,对数学的贡献很多，见/projects/reals/history/demorgan.html。 Rene Descartes:1596-1650,法国,西方近代资产阶级哲学的奠基人之一,数学家,自然科学家.是他的公开发表的唯一的数学著作标志着解析几何的诞生.恩格斯说:“数学的转折点是迪卡尔的变数.”,Bolzano：1781-1848，捷克数学家http:/www-history.mcs.st-andrews.ac.uk

8、/Biographies/Bolzano.html,与Weierstrass有过合作研究,主要贡献在数学和哲学。 Heine：1821-1881，德国数学家，主要贡献在给出一致连续概念，研究兴趣在spherical functions, Lam functions, and Bessel functions.发表超过50篇论文。 Borel：1871-1956，法国数学家，主要研究为测度论、概率论（Borel集是其提出的典型集合），one of the founders of the theory of functions of real variables 。.lb/en/themes/Biographies/MainBiographies/H/Heine/1.html Augustin-Louis Cauchy:1789-1857,法国数学家，积分定义为和的极限，无穷级数的收敛发散判别，定义了“行列式”及运算等。 听雨尘心含藏识读书博客 ,（5）二元函数的定义,回忆,点集 D -定义域，,- 值域.,x、y -自变量，z -因变量.,类似地可定义三元及三元以上函数,函数的