浙大四版概率论课件.ppt

1、概率论,南京航空航天大学,目 录,概率论的基本概念 等可能概型(古典概型) 条件概率 独立性 随机变量及其分布 随机变量的分布函数 随机变量的函数的分布 多维随机变量及其分布 两个r.v.的函数的分布 随机变量的数字特征 几种重要r.v.的数学期望及方差 矩、协方差矩阵 大数定律及中心极限定理,1. 确定性现象和不确定性现象.,2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出 不确定性,在大量重复试验中其结果又 具有统计规律性.,第一章 概率论的基本概念,前 言,3. 概率与数理统计的广泛应用.,1.随机试验,举例: E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察

2、正反面出现的情况. E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数. E4: 抛一颗骰子，观察出现的点数. E5: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E6: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.,随机试验: (1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能 事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪 个结果。,2. 样本空间与随机事件,(一) 样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间，记为S. 样本空间的元素称为样本点，用e表示.,E2和E3同是抛一枚硬币三次， 但试验的目的不一样， 其样本空间也不一样.,(二) 随机事件,样本

3、空间S的子集称为随机事件，简 称为事件。,样本空间,1.离散样本空间:样本点为有限多个或 可列多个.,2.无穷样本空间:样本点在区间或区域 内取值.,事件发生:在一次试验中，当且仅当这 一子集中的一个样本点出现时，称这一 事件发生。,基本事件:由一个样本点组成的单点集.,必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。,不可能事件：空集不包含任何样本点， 它在每次试验中都不发生，称为不可能 事件。,（三）事件间的关系与事件的运算,1.包含关系和相等关系:,A,B,S,若事件A发生必然导致事件B发生, 则称事件B包含事件A,记作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则

4、称A与B相等.,设A,B,C为任意三个事件, 事件间的包含 含关系有下列性质: (a) AS; (b) AA(自反性); (c) 若AB且BC,则AC(传递性); (d) 若AB且BA, 则A=B(反对称性).,B,A,S,2.和事件:,事件A B=x|x A 且 x B 称为A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.,类似地，事件 为可列个事件A1，A2， 的积事件.,B,A,S,3.积事件：,事件A-B=x|xA且xB 称为A与B的差.当且仅当A发生, B不发生时 事件A-B发生.,显然: A-A=, A- =A, A-S= ,A,B,s,4.差事件:,基本事件是两两互不相

5、容的,即样本点是 互不相容的,事件A与B-A是互不相容的.,A,B,5.事件的互不相容(互斥):,6. 对立事件(逆事件)：,S,A,B,(1)若A, B二事件互为对立事件, 则A,B必互不相容, 但反之不真.,(2)必然事件与不可能事件互为对立事件，,7.事件的运算律:,交换律:,结合律:,分配律：,对偶律:,3. 频率与概率,(一) 频率 1. 在相同的条件下,共进行了n次试验,事 件A发生的次数记为nA, 称为A的频数, nA/n 称为事件A发生的频率,记为fn(A).,频率的特性: 波动性和稳定性.,说明(1) 波动性: 若试验次数n相同, 不同时候试验 其频率不同,当n较小时, fn

6、(A)随机波动的幅度较大. (书P8),(2) 稳定性:当n增大时，频率fn(A)的波动越来 越小，呈现出一定的稳定性。,1.定义:设E是随机试验, S是样本空间. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A),称为事件 A的概率,如果集合函数P(.)满足下列条件:,(1) 对任一事件A,有P(A)0; (非负性）,(2) P(S)=1;（规范性),(3)设A1,A2,是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 )=P(A1)+P(A2)+ (可列可加性),(二)概率,由概率定义可以推出概率的一些重要性质：,一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).,4. 等可能概型(古典概型),等可能概型的

7、两个特点:,(1) 样本空间中的元素只有有限个;,(2) 每个基本事件发生的可能性相同.,计算公式:,例1. 将一枚硬币抛掷三次，A表示“恰有一次出现正面” B表示“至少有一次出现正面”, 求 P(A), P(B),抽样问题 一只口袋装有6只球，其中4只白球、2只红 球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑 两种取球方式:(a)第一次取一只球，观察其颜色后 放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式叫做 放回抽样。(b)第一次取一球不放回袋中，第二次 从剩余的球中再取一球，这种取球方式叫做不放 回抽样。试分别就上面两种情况，求(1)取到的两 只球都是白球的概率；(2)取到的两只球颜色相同 的概率

8、;(3)取到的两只球中至少有一只是白球的 概率。,生日问题,假定每个人的生日在一年365天的任一天 都等可能,随机选取n(小于365)人,他们至少 有两个人生日相同的概率为:,29,超几何分布问题 设有N件产品，其中D件为次品，从中任取n件，求其中恰有k(k=D)件次品的概率。 例：袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球, (1)作放回抽样；(2)作不放回抽样，求第i(i=1,2,k)人取到白球(记为事件B)的概率(ka+b).,小概率事件问题 某接待站在某一周曾接待过12次来访,且都是 在周二和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有 规定的?,实际推断原理:“小概率事件在一次试验

9、中实 际上是不可能发生的”.,5. 条件概率,(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概率问题.,例1. 将一枚硬币掷两次, 观察其出现正反面的情况. 设 A“至少有一次正面”, B“两次掷出同一面” 求： A发生的条件下B发生的概率.,在古典概型中，若P(A)0,1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)0, 称,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.,2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件,即,此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：,特别地，当A=S时,P（B|S）=P(B)，条件概率化为

10、无 条件概率，因此无条件概率可看成条件概率。,计算条件概率有两种方法:,我们一般采用(2)计算.,例1.,3只一等品,1只二等品,任取一只,不放回,再任取一只,A第一次取到的是 一等品,B第二次取到的是一等品, 求P(B|A).,(二) 乘法定理:,推广: P(AB)0, 则有 P(ABC)=P(C|AB) P(B|A) P(A).,一般, 设A1, A2, ,An是n个事件(n2), P(A1A2 .An-1)0, 则有乘法公式:,P(A1A2An) = P(An|A1A2An-1)P(An-1|A1A2An-2) P(A1)P(A2|A1),r只红球,t只白球,例2.,每次任取一只球观察颜

11、色 后放回,再加入a只同色球,在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.,例3. 透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次 落下未打破, 第二次落下打破的概率为0.7, 若前 两次落下未打破,第三次落下打破的概率为0.9, 试求:透镜落下三次而未打破的概率.,(三) 全概率公式和贝叶斯公式:,1. 样本空间的划分,S,B1,B2,B3,.,Bn,(1) 若B1,B2,Bn是样本空间S的一个划分, 则每次试验中, 事件B1, B2, , Bn 中必有一 个且仅有一个发生.,2. 全概率公式:,A,B1,B2,B3,Bn,S,.,贝叶斯公式:,例4. 某电子设备厂所

12、用的晶体管是由三家元件制 造厂提供的,数据如下: 元件制造厂 次品率 提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 (1) 任取一只晶体管,求它是次品的概率. (2) 任取一只,若它是次品,则由三家工厂 生产的概 率分别是多少?,例5 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好 时, 产品的合格率为98%,而当机器发生某一故障时, 其合格率为55%, 每天早晨机器开动时机器调整良 好的概率为95%, 试求已知某日早上第一件产品是 合格品时, 机器调整得良好的概率是多少?,1. 定义: 设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件

13、A与事件B是相互独立的事件。,由定义可知:,不可能事件、必然事件与任何事件都是相互独立的。,1.6 独立性,45,2. 定义: 设A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称事件A,B,C相互独立。,3. 定理: 设A,B是两事件,且P(A)0,则A,B相互独立的充要条件是: P(B|A)=P(B).,相关结论:,例1. 一个元件能正常工作的概率称为元件的可靠性。如下图，设有4个独立工作的元件1，2，3，4按先串联再并联的方式连接。设第i个元件的可靠性为 ，试求

14、系统的可靠性。,1,2,3,4,例2. 100件乐器,验收方案是从中任 取3件测试 (相互独立的), 3件测试后都认为音色纯则接收 这批乐器,测试情况如下: 经测试认为音色纯 认为音色不纯 乐器音色纯 0.99 0.01 乐器音色不纯 0.05 0.95,若100件乐器中恰有4件音色不纯,试问: 这批乐器被接收的概率是多少?,第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量,例2. 测试灯泡寿命试验, S=e=t|t0,样本点本身 是数量。,1. 定义: 设随机试验E的样本空间是S=e，若对于 每一个eS, 有一个实数X(e)与之对应, 即X(e)是定 义在S上的单值实函数，称为随机变量。 （ran

15、dom variable, 简记为r.v.),e,S,X(e),Rx,有了随机变量X, 以前的各种随机事件均可用X的 变化范围来表示:如例1中:,A=“正面朝上”,=X=1,C=“正面朝上或背面朝上”,=X=1或X=0=S,反过来, X的一个变化范围表示一个随机事件.,0X2,=“正面朝上”.,X0,=,-5X5,=S.,2. 分类：,(2) 可用随机变量X描述事件。,随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前不能确切知道它取什么值, 但是随机变量的取值有一定的统计规律性概率分布。,(1) 离散型随机变量;,(2) 连续型随机变量。,注: (1) 任何随机试验都可以找到相应的随机变量，,2

16、.2 离散型随机变量的概率分布,1. 定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个 或可列无限多个, 则称为离散型随机变量.,X x1 x2 xn pk p1 p2 pn .,例1. 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信 号灯,每盏信号灯以概率p禁止汽车通过, 以X表示汽 车首次停下时已通过信号灯的盏数, 求X的分布律. (设各信号灯的工作是相互独立的).,3.几种重要的离散型r.v.的分布律：,X 0 1 pk 1-p p 其中0p1, PX=k=pk(1-p)1-k, k=0,1.,若某随机试验E只有两个(或相互对立的两 类)可能的结果, 只要将其中的一个(或一类) 结果对应于数字1,另

17、一个(或另一类)对应于 数字0,于是就可用0-1分布的随机变量来描 述有关的随机事件.,(一) 0-1分布,(二) 贝努利试验 (二项分布),设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是,称X服从参数为n,p的二项分布, 记为Xb(n,p).,当n=1时, PX=k=pk(1-p)1-k, k=0,1, 即为0-1分布.,例2.某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级 品, 已知一大批该产品的一级品率为0.2, 从中随机抽 查20只, 求这20只元件中一级品只数X的分布律.,58,例3. 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两

18、次的概率。,例4. 设有同类型设备80台, 各台工作是相互独立 的, 发生故障的概率都是0.01, 设一台设备的故障 由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法： 其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人 共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故 障但不能及时维修的概率大小。,(三) 泊松分布(Poisson),泊松分布有很多应用.通常用来刻画一段间 隔中某类事件发生的次数,例如,一定时间间隔内电话交换台收到的呼 唤次数，某一地区一个时间间隔内发生的 交通事故数等都服从泊松分布.,(四) 几何分布,进行重复独立试验, 设每次试验成功的概率为p, 失败的概率为1-p=q(0p1), 将试

19、验进行到出现一 次成功为止, 以X表示所需的试验次数, 则X的分布 律为:,PX=k=qk-1p, k=1, 2, ,称为X服从参数为p的几何分布.,例 设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率为 p,某人每次购买1张奖券, 如果没有中奖下次继续再 买1张, 直到中奖为止, 求购买次数X的分布律.,若该人共准备购买10次,共10元钱, 即如果中奖就停止, 否则下次再购买 1张, 直到10元共花完为止,求购买次 数Y的分布律.,3 随机变量的分布函数,1. 定义：设r.v. X, xR1, 则 F(x)=P Xx 称为 X的分布函数.,(1) P x1Xx2,=PX x2-PX x1,=F(x

20、2)-F(x1) .,无论是离散型r.v.还是非离散型r.v. , 分布函数都可以描述其统计规律性，但 我们看到分布函数是一个普通函数。,2. 性质:,(1) F(x)是单调不减函数.,x2x1, F(x2) F(x1),(2) 0F(x)1, F(-)=0, F(+ )=1.,(3) F(x) 是右连续的, 即 F(x+0)=F(x).,例1. 离散型r.v., 已知其分布律可求出分布函数. X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求: X的分布函数, 并求 P X1/2, P3/2X5/2.,4. 连续型随机变量及其概率密度,则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称

21、概率密度.,连续型r.v.的分布函数是连续函数.,例1. 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一 同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并 设射击都能击中靶, 以X表示弹着点与圆心的距离. 试求X的分布函数.,例2. 书P52,3. 关于连续型r.v.的一个重要结论:,定理: 设X为连续型r.v. 它取任一指定的实数 值a的概率均为0. 即PX=a=0.,4.几个常用的连续型r.v.分布,(一)均匀分布:,则称随机变量X在(a,b)上服从均匀分布,记作 XU(a,b).,分布函数为:,(二) 指数分布:,1. 定义:,如果连续型随机变量X的概率密度为:,指数分布的无记忆性:,(三)

22、正态分布:,性质:,如何计算?,通过标准正态分布计算其它一切正态分布的概率:,(2)标准正态分布:,引理:,76,例: 若XN(,),则X落入区间:-, +, -2, +2, -3, +3的概率为多少?,标准正态分布的上分位点:,z,(x),O,2. 特例:,(1,) 是参数为的指数分布. （=1）,3. 伽玛函数的性质:,(i) (+1)= ();,(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;,(四) 伽玛分布:,1. 定义:,如果连续型随机变量X的概率密度为:,5. 随机变量的函数的分布,一、 X为离散型r.v.,例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2

23、 pk 0.2 0.3 0.1 0.4,1. 离散r.v.分布函数的概率分布的求法: 设X的概率分布如下表: X x1 x2 xk PX=xi p1 p2 pk .,(1) 记yi=g(xi)(i=1,2,)yi的值也是互不相同的, 则Y 的概率分布如下表: Y y1 y2 yk PY=yi) p1 p2 pk .,(2) 若g(x1),g(x2),中不是互不相等的, 则应将那些 相等的值只写一次,但把各自所对应的概率相加, 就 得到了Y的概率分布律.,二、X为连续型r.v.,1. “分布函数法”:,(1) 先求出Y的分布函数: FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXG, 转化为 关于X的事件

24、, 再利用X的分布函数表示.,(2)对y求导得到Y的概率密度:fY(y)=FY(y).,Y密度函数的分段考虑： （1）虽然X密度的分段，但不必一开始就对Y的 密度函数分段（如例2） （2）若是因为g(x)的原因，则一开始就要对Y的 密度函数分段（如例3）,若f(x)在有限区间a, b以外等于零, 则只需假 设在a, b上g(x)严格单调, 选取 =min(g(a), g(b), =max(g(a), g(b).,2.定理:设X是连续型r.v., 具有概率密度f(x),设y=g(x) 是x的严格单调函数, 且反函数x=h(y)具有连续的导 函数. 当g(x)严格增加时, 记 =g(-), =g(

25、+); 当g(x)严格减少时, 记 =g(+), =g(-), 则Y的概率密度为:,例5. r.v.XN(, 2), 证明X的线性函数Y=aX+b (a0)也服从正态分布.,87,例6. (书P66 例5),第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,1. 二维r.v.定义: 设E是一个随机试验, 样本空间是 S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v., 由 它们构成的一个向量(X, Y), 叫做二维r.v.,注: 二维r.v. (X, Y)的性质不仅与X和Y有关, 而且还 依赖于这两个r.v.的相互关系.,如何描述二维r.v.(X, Y)的统计规律?,2. 二维r.v.(

26、联合)分布函数:,3. 下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.,(一) 二维离散型r.v.,例1. 设r.v. X在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取值, r.v. Y则在1X中等可能地取一整数, 试求(X, Y)的 分布律.,(二) 二维连续型r.v.,2. 边缘分布,一、边缘分布函数：,二、边缘分布律：,若已知联合分布律,例1(续),Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 pi,X,三、边缘概率密度:,注: 由二维随机变量(X,Y)的概率分布(X,Y)的联合分 布可

27、唯一地确定X和Y的边缘分布, 反之, 若已知X,Y 的边缘分布, 并不一定能确定它们的联合分布.,3. 条件分布,一、二维离散型r.v.的情况:,例1. 设(X, Y)的分布律为: X 5 7 13 18 20 1 0.08 0.01 0 0.02 0.14 2 0.11 0.10 0.09 0.01 0.04 3 0.03 0.07 0.15 0.06 0.09 求在X=2时Y的条件分布律.,Y,例2 一射击手进行射击, 击中目标的概率为p(0p1), 射击到击中目标两次为止, 设以X表示首次击中目标 进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求 X和Y的联合分布律和条件分布律.,二、二

28、维连续型r.v.,首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.,例3. 设数X在区间(0,1)上随机地取值, 当观察到X=x (0x1)时, 数Y在区间(x, 1)上随机地取值, 求 Y的概率密度.,4. 相互独立的随机变量,1.定义:,2.等价定义:,任何常数与随机变量都相互独立。,3.命题：设(X, Y)服从二维正态分布, 则X, Y相互独 立的充要条件是 =0。,5. 两个r.v.的函数的分布,(一) 和(Z=X+Y)的分布:,已知(X,Y)的联合密度是f(x, y), 求Z=X+Y的分布 密度.,例1. 设X和Y相互独立, 且都服从N(0, 1), 求:Z=X+Y的分布密度.,结论:,

29、109,110,(二) M=max(X,Y)及m=min(X, Y)的分布:,设X,Y相互独立, 分布函数分别为FX(x)和FY(y). 求M=max(X,Y)的分布,推广: 设X1,X2,Xn相互独立,分布函数分别为 F1(x),F2(x),Fn(x), 则M=max(X1,X2,Xn)的分布函数为 FM(z)=F1(z) F2(z)Fn(z) N=min(X1,X2,Xn)的分布函数为 FN(z)=1-(1-F1(z)(1-F2(z)(1-Fn(z),特别地, 当X1,X2,Xn 独立同分布时, 设分布函数 为F(x), 则 FM(z)=(F(z)n, FN(z)=1-(1-F(z)n.,

30、例3.(课本P100例4),(三) 离散型r.v. 的函数的分布:,例 设X,Y是相互独立, 分别服从参数为1,2的泊松分布, 试证明Z=X+Y服从参数为1 +2泊松分布.,第四章 随机变量的数字特征,1. 随机变量的数学期望,117,例1. 甲,乙两人进行打靶, 所得分数分别记为 X1, X2, 它们的分布律分别为: X1 0 1 2 X2 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1 试评定他们的成绩好坏.,例2（书P111）.,3. 随机变量函数的数学期望公式:,说明: 1. 我们求E(Y)时不必知道Y的分布, 只需知道X的 分布就可以了.,2. 上述定理可以推广到

31、多维r.v.函数.,4.均值的性质:,(1) E(c)=c; (c为常数),说明:i. 性质(3)和(4)可以推广到有限个r.v. (X1, X2, , Xn)的情况.,(2) E(cX)=cE(X);( c为常数),(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4) 设X,Y相互独立, 则E(XY)=E(X)E(Y);,(5) |E(XY)|2E(X2)E(Y2).(柯西-许瓦兹不等式),ii. 对于“和”,不要求X1,X2,Xn相互独立; 对 于“积”要求X1,X2,Xn相互独立.,2.方 差,方差描述了r.v.对其数学期望的离散程度。,思考：分别就X为离散型r.v.和连续型r.v.推导其

32、方差D(X)的计算公式,定义：,常用的计算公式：,二、方差的性质及切比雪夫不等式：,1. 性质:,10 设C是常数, 则D(C)=0;,20 设X是r.v., C是常数, 则有 D(CX)=C2D(X);,30 设X, Y是两个随机变量, 则有 D(X Y)=D(X)+D(Y) 2E(X-EX)(Y-EY);,40 D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C, 即 PX=C=1.,2. 切比雪夫不等式:,3. 几种重要r.v.的数学期望及方差,1. 一些常用的离散型r.v.的均值及方差:,10 0-1分布: (参见例1).,2. 一些常用的连续型r.v.的均值及方差:,4. 协方差和相关系数,

33、(i) Cov(X,X)=D(X).,(ii) Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,(iii) 对于任意两个r.v.X和Y, 有 D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y).,(二) 协方差的性质:,10 Cov(X, Y)=Cov(Y, X);,20 Cov(a1X+b1, a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y), 其 中a1, a2, b1,b2是常数;,30 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y);,40 若X, Y相互独立, 则Cov(X, Y)=0,即不相关.,定理说明了相关系数XY刻划了X, Y之间的 线性相关关系, 当XY=

34、0时, 我们称X,Y不相 关. (这里是指它们之间没有线性相关关系.),例1.设(X, Y)服从二维正态分布,求X和Y的相关系 数（书P132）.,5. 矩、协方差矩阵,一. 定义: 设X和Y是随机变量,(1) 若E(Xk), k=1, 2, 存在, 则称它为X的k阶原点矩.,(2) 若EX-E(X)k, k=1, 2, 存在,则称它为X的k阶中心矩.,(3) 若EXkYl, k, l=1, 2, 存在, 则称它为X和Y的k+l阶混合(原点)矩.,(4) 若EX-E(X)kY-E(Y)l, k, l=1, 2,存在, 则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.,三. 协方差阵的性质:,10 C是对称的; (由协方差的性质Cov(X,Y) =Cov(Y,X), ij= ji可得),20 i