D8-3多变量函数的微分和偏导数

1、,第八章第三节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 多变量函数的偏导数,三 、高阶偏导数,多变量函数的微分和偏导数,第八章,一、 多变量函数的微分,一、 多变量函数的微分,是,的线性主部。,定理8.3.1 如果f (x, y)在M0(x0, y0)处可微，则f (x, y)在M0(x0, y0)处连续。,定义8.3.1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,二、 多变量函数的偏导数,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数

2、称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或 y 偏导数存在 ,例1 . 求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,证:,例3. 求,的偏导数 .,解:,求证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数记号是一个,例4. 已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数) ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,整体记号,若 在 (x, y) 处可微，则,偏导数也叫偏微商，这种叫法源于其本质上是一个一元函数微商，但对于二元函数而言不具有商的性质，只是

3、一种记号。,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对 y 轴的,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,上节例 目录 上页 下页 返回 结束,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,二元函数可微则偏导数存在。但偏导数存在，函数不一定可微。,定理8.3.2 如果 z=f (x, y) 的两个偏导数在M0(x0, y0)处都是连续的，则 f (x, y) 在M0(x0, y0)处可微。,例如, 三元函数 u = f (x , y , z)

4、 在点 (x , y , z) 处对 x 的,可微与偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数定义为,(请自己写出),可微的定义为,三、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,机动

5、目录 上页 下页 返回 结束,偏导数为,例6. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的二阶偏导数及,例如,二者不等,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,证明 目录 上页 下页 返回 结束,证:令,则,令,定理.8.3.3.,同样,在点,连续,得,例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等

6、函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,而初等,把区域 D 中有 n 阶连续偏导数的函数全体记作,把区间 I 中有 n 阶连续导数的一元函数全体记作,作业,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,P6668 1（3）,2（9）,9（1）； 11； 13；17。,第四节,一元复合函数,求导法则,微分法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复合函数的微分法,第八章,本节内容:,一、复合函数求导的链式法则,二*、Jacobi矩阵,三、方向导数和梯度,四、全微分的不变性,五、例题,一、复合函数求导的链式法则,写成矩阵形式：,一般地，设 可微，而,例1.

7、 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 证明函数 u=1/r 满足方程,其中 。,Laplace方程，调和函数,若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有增量u ,v ,( 全导数公式 ),(t0 时,根式前加“”号),机动 目录 上页 下页 返回 结束,若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定理结论不一定成立.,中间变量多于两个的情形. 例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,当它们都具有可微条件时, 有,注意:,这里,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导,口诀 :,分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导,与,不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,机