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1、1,第3章 直梁的弯曲,3-1 平面弯曲的概念 3-2 直梁弯曲时的内力分析 3-3 纯弯曲时梁截面上的正应力 3-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 3-5 梁的弯曲强度计算 3-7 提高梁弯曲强度的主要途径 3-8 梁的弯曲变形与刚度校核,2,一、弯曲的概念,1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或力偶作用时,轴线变成曲线,2. 梁：以弯曲变形为主的构件,3-1 平面弯曲的概念,3.1 平面弯曲的概念,3,5. 平面弯曲：梁上所有外力和外力偶均作用在纵向对称面内，梁变形时，它 的轴线将在纵向 对称平面内弯曲 成一条曲线,3. 梁的截面形状,4. 纵向对称面：由对称轴和梁的轴线组成的平面,3.1 平面

2、弯曲的概念,4,二、梁的计算简图,1. 构件简化 取梁的轴线代替梁,2. 载荷简化：集中力、集中力偶和分布载荷,3.1 平面弯曲的概念,5,可动铰支座 1个约束，2个自由度,固定端 3个约束，0个自由度,3. 支座简化,固定铰支座 2个约束，1个自由度,3.1 平面弯曲的概念,6,4. 梁的三种基本形式,简支梁 一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座,悬臂梁 一端固定，另一端自由,外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座以外,静定梁：由静力学方程可求出支反力,3.1 平面弯曲的概念,7,一、弯曲内力,例1已知：P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。,l,A,A,B,B,解：求外力,3-2 直梁弯

3、曲时的内力分析,3.2 直梁弯曲时的内力分析,8,求内力截面法,A,Q,M,M,Q, 弯曲构件内力,1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩,C,C,3.2 直梁弯曲时的内力分析,9,2. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力,3.内力的正负规定:,剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。,弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。,Q(+),Q(),Q(),Q(+),M(+),M(+),M(),M(),3.2 直梁弯曲时的内力分析,10,二、剪力图和弯矩图,剪力方程和弯矩方程 Q = f1(x) ；M = f2(x) 表示Q和M

4、沿梁轴线变化规律的函数式 剪力图和弯矩图 描绘Q和M沿梁轴线变化规律的图形 剪力图和弯矩图的作法 求出梁的支座反力 分段列出剪力方程和弯矩方程 选择适当的比例尺，以横截面位置x为横坐标，以Q或M为纵坐标，按方程分段画出Q图或M图 正的剪力或弯矩画在x轴上方，负的剪力或弯矩画在x轴下方,3.2 直梁弯曲时的内力分析,11,例2：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。,解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。,图(a),Q1,A,M1,图(b),3.2 直梁弯曲时的内力分析,12,2-2截面处截取的分离体如图(c),图（a）,q,Q2,B,M2,图（c）,3.2 直梁弯曲

5、时的内力分析,13,例3 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图,解：求支反力,写出内力方程,P,YO,L,根据方程画内力图,Q(x),x,P,3.2 直梁弯曲时的内力分析,14,解：写出内力方程,根据方程画内力图,q,Q(x),x, qL,L,3.2 直梁弯曲时的内力分析,15,解：求支反力,内力方程,q0,RA,根据方程画内力图,RB,3.2 直梁弯曲时的内力分析,16,三、分布荷载、剪力和弯矩间的关系,对dx 段进行平衡分析，有：,q(x),q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,3.2

6、 直梁弯曲时的内力分析,17,q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小,弯矩与荷载集度的关系是,3.2 直梁弯曲时的内力分析,18,四、剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,3.2 直梁弯曲时的内力分析,19,简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法,例4 用简易作图法画下列各图示梁的内力图,解: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图,特

7、殊点: 端点、分区点（外力变化点）和驻点等,3.2 直梁弯曲时的内力分析,20,左端点：,分区点A,M 的驻点,右端点,Q,x,3.2 直梁弯曲时的内力分析,21,例5 用简易作图法画下列各图示梁的内力图,解：求支反力,左端点A,B点左,B点右,C点左,M 的驻点,C点右,右端点D,q,qa2,qa,RA,RD,Q,x,qa/2,qa/2,qa/2,A,B,C,D,3.2 直梁弯曲时的内力分析,22,多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和,适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系，即在弹性限度内满足虎克定律。,五、叠加原理,步骤：

8、分别作出各项荷载单独作用下梁的Q、M图 将其相应的纵坐标叠加即可,3.2 直梁弯曲时的内力分析,23,例6按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁中点）,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,=,+,3.2 直梁弯曲时的内力分析,24,练习： 改内力图之错,a,2a,a,q,qa2,A,B,Q,x,qa/4,qa/4,3qa/4,7qa/4,49qa2/32,5qa2/4,3.2 直梁弯曲时的内力分析,25,练习：已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）,Q(kN),x,1m,1m,2m,2,3,1,5kN,1kN,q=2kN/m,3.2 直梁弯曲时的内力分析,26,横向线变为直线，

9、有转动 纵向线变为曲线，上缩下伸 横向线与纵向线变形后仍正交,一、纯弯曲变形规律,3-3 纯弯曲时梁横截面上的正应力,3.3 纯弯曲时梁横截面上的正应力,27,1.基本概念, 纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩而无剪力作用 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力 中性轴：中性层与横截面的交线,3.3 纯弯曲时梁横截面上的正应力,28,2.纯弯曲的变形假设, 平面截面假设：梁变形前横截面是平面，变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一个角度 纤维互不挤压假设：纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，它们之间没有相互挤压 纵向纤维的变形与它到中性层的距

10、离有关，与横截面宽度无关,3.3 纯弯曲时梁横截面上的正应力,29,1. 几何方程：,二、弯曲变形与应力的关系,2. 物理关系：,纵向纤维互不挤压假设,3.3 纯弯曲时梁横截面上的正应力,30,3. 静力学关系：,Z轴（中性轴）过形心, (3),EIz 抗弯刚度,Iz 对中性轴的惯性矩,3.3 纯弯曲时梁横截面上的正应力,31,4. 最大正应力, (5),工程：跨距与高度比l/h5，近似纯弯曲,3.3 纯弯曲时梁横截面上的正应力,32,例7 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）11截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200

11、GPa，求11截面的曲率半径。,解：画M图求截面弯矩,3.3 纯弯曲时梁横截面上的正应力,33,求应力,3.3 纯弯曲时梁横截面上的正应力,34,求曲率半径,3.3 纯弯曲时梁横截面上的正应力,35,3-4 截面惯性矩和抗弯截面模量,1. 矩形截面,截面惯性矩,抗弯截面模量,3.4 截面惯性矩和抗弯截面模量,36,2. 圆形截面,3. 圆环形截面,3.4 截面惯性矩和抗弯截面模量,37,4.平行移轴定理,截面对任一轴的惯性矩，等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩，再加上该截面面积与两轴间距离平方的乘积,3.4 截面惯性矩和抗弯截面模量,38,例8 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求通过形心的z轴惯

12、性矩。(b=1.5d ),解：,求形心位置,圆,矩形,Y-Z2坐标系,3.4 截面惯性矩和抗弯截面模量,39,1. 危险截面与危险点,对于等截面直梁，弯矩最大的截面就是危险截面 在危险截面上，离中性轴最远的上、下边缘处各点的应力就是等截面梁的最大弯曲正应力，这些点称为危险点,3-5 梁的弯曲强度计算,2. 正应力强度条件,3.5 梁的弯曲强度计算,40,4. 注意事项, 梁弯曲时材料的许用应力一般略高于同一材料在轴向拉（压）时的许用应力 如果梁的横截面不对称于中性轴，则将产生两个抗弯截面模量，应取两者中的较小值代入计算 对于抗拉和抗压强度不同的材料，要分别求出最大拉、压应力，并同时满足抗拉和抗

13、压强度条件,、校核强度：,3. 强度条件应用,3.5 梁的弯曲强度计算,41,解：求最大弯矩,例9 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa。试校核梁的强度。,A,B,L=3m,求最大应力并校核强度,3.5 梁的弯曲强度计算,结论：强度合格,42,解：画弯矩图并求危面内力,例10 T 字形截面的铸铁梁受力如图， L=30MPa，y=60 MPa，截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 。校核此梁的强度。说明T字梁怎样放置更合理？,画危面应力分布，找危险点,3.5 梁的弯曲强度计算,43,校核强度,T字头在上面合理,3.5 梁的弯曲强度计算,结论

14、：强度合格,44,3-7 提高梁弯曲强度的主要途径,一、提高WZ,1. 选择合理截面(WZ/A),0.270.31H,3.7 提高梁弯曲强度的主要途径,45,2. 选择截面的合理工作位置,3.7 提高梁弯曲强度的主要途径,46,a=0.2L,Mmax =0.025qL2,二、减小Mmax,1. 合理安排支座位置,3.7 提高梁弯曲强度的主要途径,47,3.7 提高梁弯曲强度的主要途径,2. 合理布置载荷,48,三、根据材料特性选择截面,塑性材料：用对称于中性轴的截面，使截面上下边缘的最大拉、压应力相等，同时达到材料的许用应力值 脆性材料：抗拉强度小于抗压强度，设计时，使中性轴偏向于拉应力的一侧

15、，最大拉应力将比最大压应力小，使两者同时达到材料的抗拉和抗压许用应力值,MAXl,MAXy,3.7 提高梁弯曲强度的主要途径,49,思考题,1.图示矩形截面梁, h=2b,若将截面由位置1变为位置2, 则梁的强度_。,(1) 提高为原来的2倍 (2) 提高为原来的4倍 (3) 降低为原来的1/2 (4) 减低为原来的1/4,（3）,3.7 提高梁弯曲强度的主要途径,50,3-8 梁的弯曲变形和刚度校核,挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线,y,q,一、表征梁变形的量,C1,C,1. y, 挠度,横截面形心沿垂直于轴线方向的位移,2. , 转角,横截面绕中性轴转动的角度,y = y (x ), 挠度

16、方程, = (x ),转角方程,3. y 与 的关系,q,小变形,tg ,x 忽略不计,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,51,二、微分方程,y,q,C1,C,f,x,P,x,q,O,高数中曲线曲率公式,纯弯曲曲率公式,小变形条件：,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,52,挠曲线近似微分方程,正负号规定： 挠度：向上为正，向下为负 转角：逆时针为正，顺时针为负,适用条件： P 小挠度,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,53,三、积分法求梁的位移,由挠曲线近似微分方程,积分一次,再积分一次,当EI为常数时，,(1),(2),由式(1)得:,由式(2)得:,积分常数C和D由边界条件及连续条件确定,3.8

17、 梁的弯曲变形和刚度校核,54,1. 边界条件,悬臂梁,x =0 时，,（x）= 0,y（x）= 0,x =0 时，,y（x）= 0,y（x）= 0,x =l 时，,简支梁,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,55,例11：求如图等截面直梁的挠度方程、转角方程，并求最大位移及最大转角。,解：,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,应用位移边界条件求积分常数,x=0,代入,x=0,代入,A,B,PL,P,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,56,x,y,最大挠度及最大转角,写出转角方程，挠度方程，并画出曲线,ymax,max,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,57,练习：求如图等截面直梁的挠

18、度方程、转角方程，并求最大位移及最大转角。,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,位移边界条件,x=0,代入,x=L,代入,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,58,x,x,y,最大挠度及最大转角,写出转角方程，挠度方程，并画出曲线,max,max,ymax,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,59,2. 连续条件,x =AC 时,1（x）= 2（x）,y1（x）= y2（x）,连续条件,光滑条件,yC左= yC右,C左= C右,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,60,例12：求如图等截面直梁的挠度方程、转角方程，并求最大位移及最大转角。,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积

19、分并积分,AC段,(0 x1 a),CB段,(a x2 L),边界条件,光滑连续条件,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,61,位移边界条件,AC段,(0 x1 a),CB段,(a x2 L), , ,1,1,1,2,2,2, , ,x =0,y1（x）= 0,y2（x）= 0,x =L,x =a,1= 2,y1= y2,x =a,解得：,D2=0,D1=0,光滑条件,连续条件,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,62,写出转角方程，挠度方程，并画出曲线,AC段,CB段,最大挠度及最大转角,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,63,当ab时，,当ab时，,求yMAX,讨论：a=b=L/2,3.8 梁的弯曲

20、变形和刚度校核,64,练习：写出弯矩方程及确定积分常数的边界条件，画出挠曲线形状。,支撑条件,边界条件和连续条件,解：,x =0 时，,（x）= 0,y（x）= 0,x =a,1= 2,y1= y2,x =a,x =0 时，,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,65,四、叠加法求梁的变形,前提：材料服从虎克定律，且梁变形很小，则梁的挠度和转角与载荷成线性关系。 叠加法原理：梁上同时承受几个载荷作用时所产生的变形，等于各个载荷单独作用下所产生变形的代数和,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,66,例13：按叠加原理求端截面的转角和中点挠度,=,+,解：载荷分解如图,简单载荷引起的变形,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,67, 叠加,=,+,MB,（）,3.8 梁的弯曲变形和刚度校核,68,练习