2021届南京市十三中学高三暑假数学综合练习（一）答案

1、南京市十三中高三暑假数学综合练习1含答案班级_学号_姓名_（20200731）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则 A. B. C. D.2.已知复数在复平面内对应的点在直线上，则实数 A. B. C. D.3.若且，则 A. B. C. D.4.我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一

2、丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同 C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好. 然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签6.已知向量，将绕原点逆时针旋转到

3、的位置，则A. B. C. D.7.已知函数对任意，都有，且，则A. B. C. D.8.已知正四棱柱，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温. 某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业报考人数性别甲专业录取率乙专业录取率男100400男25%45%女300100女30%50%A.甲专

4、业比乙专业的录取率高 B.乙专业比甲专业的录取率高 C.男生比女生的录取率高 D.女生比男生的录取率高 10.已知函数，将的图像上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图像. 若为偶函数，且最小正周期为，则A.图像关于点对称 B.在单调递增 C.在有且仅有个解 D.在有且仅有个极大值点 11.已知抛物线上三点为抛物线的焦点，则A.抛物线的准线方程为 B.若，则，成等差数列C.若，三点共线，则 D.若，则的中点到轴距离的最小值为2 12.已知函数的定义域为，导函数为，若，且，则A. B.在处取得极大值C. D.在单调递增三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20

5、分13.的展开式中的系数为_.14.已知是平面，外的直线，给出下列三个论断，；. 以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：_.（用序号表示）15.已知双曲线，过左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，以，为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为，则双曲线的离心率为_.8米27米16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为米峡谷拐入宽为米的峡谷. 如图所示，位于峡

6、谷悬崖壁上两点，的连线恰好经过拐角内侧顶点（点，在同一水平面内），设与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为，则的长为_(用表示). 要使输气管顺利通过拐角，其长度不能超过_米.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）在中，角的对边分别为，.（）求角；（）若，求边上的高.18.（本小题满分12分）从条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答已知数列的前项和为，_.若成等比数列，求的值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）19.（本小题满分12分）携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享

7、受其提供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动. 某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有人.（）完成下面列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数对业务水平不满意人数合计（）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；（）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项

8、都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该运营系统中任选名客户，则在业务服务协议终止时至少有名客户流失的概率为多少？附：20.（本小题满分12分）已知直三棱柱，分别为的中点，且.（）求证：平面；（）求；（）求二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）已知函数. （）求证：当时，的图像位于直线上方；（）设函数，若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（为坐标原点）.求证：.22.（本小题满分12分）已知是椭圆上一点，以点及椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形面积为.（）求椭圆的标准方程；（）过作斜率存在且互相垂直的直线，是与两交点的中点，是

9、与两交点的中点，求面积的最大值.一、单项选择题：（每小题5分，共40分） 题号12345678答案ACBDCDBD二、多项选择题：（每小题5分，共20分） 题号9101112答案BCACABDACD三、填空题：（每小题5分，共20分）13.； 14.或（填写一个即可）；15. ； 16.， .三、解答题：17.（本小题满分10分）解：（）由及正弦定理可得， 将带入上式，整理得 ，解得，所以. ()由，得， 由余弦定理得解得. 所以边上的高为. 18.（本小题满分12分）若选择因为，所以，.两式相减得，整理得 . 即， 所以为常数列.， 以 . （或由，利用相乘相消法，求得） 又成等比数列，所以

10、， ，解得或（舍） 所以 若选择由变形得， ，易知，所以为等差数列， 而，所以， - ，且时也满足 因为成等比数列， - 又 若选择 因为，所以.两式相减得， 整理得 . 因为，所以是等差数列，所以 又成等比数列， 又 19.（本小题满分12分）解：（）由题意知对业务满意的有260人，对服务满意的有100人，得列联表对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数18080260对业务水平不满意人数202040合计200100300 -2分经计算得， -3分所以有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关. -4分（）的可能值为 -5分则，-7分. -8分（）在业务服务协议终止时，对

11、业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为，只有一项满意的客户流失的概率为，对二者都不满意的客户流失的概率为. 所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为， -10分故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为. -12分20.（本小题满分12分）（）证明：取的中点，连接，则有，且， -2分因为且，所以，且，即为平行四边形 -3分所以又平面，平面，所以平面 -4分（）解：设，由已知可得，且 -5分， -6分因为，所以-7分所以， -8分（）解：在平面内过点做射线垂直于，分别以为轴建立空间直角坐标系则，且为平面的一个法向量 -9分则 -10分设为平面的一个法向量，则有，令，则 -11分，所以二面角的余弦值为. -12分21.（本小题满分12分）（）由题意知，即证当时，恒成立 -1分令所以在上单调递增， -3分在上单调递增， -4分当时，的图象始终在直线上方 -5分（）. -6分设，则. -7分 . -8分要证，即证，即证，即证 -9分下面证明.令所以当，所以在单调递减，在单调递增，所以，即. -11分 所以，. -12分 22.（本小题满分12分）解：（）由点在椭圆上可得，整理得. -1分，解得 -2分所以，带入式整理得 -3