画法几何-直线的投影2分解.ppt

1、2.2 直线的投影,教学目标：,1、掌握直线的投影及与投影面之间的位置关系 2、根据直线的投影判断空间直线的位置关系 3、熟练运用直角三角形法解决作图问题 4、熟练运用直角投影定理解决作图问题,教学重点：,1、掌握两直线的相对位置的判定 2、熟练运用直角投影定理,教学难点：,1、掌握两直线的相对位置的判定 2、熟练运用直角投影定理,直线的投影,直线上的点,直线的真长及其倾角,两直线间的相对位置,直角投影规律,2.2.1 直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置,2.2.1.1 直线的投影,根据初等几何，两点决定一直线，所以，直线上两点的同面投影的连线就是直线在该面上的投影。其作图方法与点的作图

2、方法一样。,1、真实性：在与直线相平行的投影面上的投影，反映实长。,3、收缩性：直线与投影面处于倾斜位置时，在该投影面上的投影长度小于真实长度。,2、积聚性：直线的方向在与投影线的方向一致（或垂直于投影面）时，其在该面的投影积聚为一点。,直线投影的特点（三性）,投影面平行线,投影面垂直线,一般位置直线,统称特殊位置直线,2.2.1.2 与投影面成各种位置状态的直线,直线与投影面的位置关系有三种：,平行、垂直、一般位置直线（倾斜直线、任意位置直线）,1、 一般位置直线的投影特性,A,B,a,b,a,b,a”,b”,X,Y,Z,0,YH,YW,X,Z,a,b,a,b,b”,a”,0,（2）其三面投

3、影都小于空间直线的实长，也不反映直线与投影面的倾角。,（1）一般位置直线的三面投影都与投影轴倾斜；,一般位置直线与投影面的倾角 一般位置直线与某投影面的夹角，称为直线对该投影面的倾角。对H面的倾角记为“a”；对V面的倾角记为“” ；对W面的倾角记为“ ”。,2、投影面平行线,投影特性：1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3反映、 角的真实大小,(1) 水平线 只平行于水平投影面的直线,投影特性： 1ab OX ; a b OZ 2a b=AB 3反映、 角的真实大小,（2）正平线只平行于正面投影面的直线,（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线,投影特性： 1ab OZ ; ab OY

4、H 2ab =AB 3反映 、 角的真实大小,投影面平行线的投影特性归纳为：, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角:,实长,实长,实长,3、投影面垂直线,（1）正面投影OX ；平行于Z轴 （2）侧面投影OYW;平行于Z轴 （3）水平投影积聚成一点。,（1）铅垂线,（2）正垂线,A,B,a (b),a,b,a”,b”,H,V,W,0,Y,Z,X,（1）水平投影OX ,平行于YH轴; （2）侧面投影OZ ,平行于YW轴; （3）正面投影积

5、聚成一点。,A,B,a,b,a,b,a”(b”),H,V,W,0,X,Y,Z,（1）正面投影OZ ,平行于X轴; （2）水平投影OYH，平行于X轴; （3）侧面投影积聚成一点。,（3）侧垂线,投影面垂直线的投影特性归纳为：, 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。, 另外两个投影，反映线段实长；且同时平行于一个投影轴或分别垂直于相应的投影轴。,判断下列直线是什么直线？,正平线,水平线,水平线,侧平线,正垂线,侧垂线,铅垂线,倾斜直线,2.2.2 直线上的点的投影特性,点与直线的关系：点在直线上；点在直线外。,A,B,C,a (b),E,F,D,e,d,f,直线上点的投影特性: 1、从属性：直线上点

6、的投影必定位于直线的同面投影上。 2、定比性：直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，即：,(c),ED:DF = ed:df = ed: df=ed:df,检验点C、F、I、L是否在直线AB、DE、GH、JK上,X,O,k,a,b,c,e,f,g (h),i,l,j,k,a,b,c,g,h,i,l,j,d,dfe,点C在直线AB上,点F在直线DE上,点I不在直线GH上,点L不在直线JK上,a,b,a,b,k,k,k,a,b,X,Z,YH,YW,O,K 点在直线 AB 上,【例题】判定下题中，点K是否在直线AB上？,方法一：从属性,方法二：定比性,a,b,a,b,k,k,

7、X,O,K 点在直线 AB 上,X,YH,YW,Z,a,b,a,b,d,d,a,b,k,D点不在直线AB上,O,【例题】判断点C、D是否在直线AB上。,方法一：从属性,c,c,C点在直线A B上,方法二：定比性,X,a,b,a,b,d,d,O,c,c,D点不在直线AB上,C点在直线A B上,【例题】试在直线AB上确定一点C，使 AC:CB=2:3，求C点的两面投影。,a,b,a,b,C ,c,X,O,【例题】如图所示，已知直线AB上的点C距离侧面W10mm，求C点的两面投影。,Z,O,b,a,b,a,【例题】如图，三棱锥的棱线点K和M的正面投影， 求其余投影。,已知,方法一，利用从属性,方法二

8、，利用定比性,s,b,b”,s”,s,k,m,( ),b,【例题】已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。,c,0,B,A,a,b,c,c,a,a,a,b,b,b,V,H,X,X,O,求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，也是工程上遇到的问题。而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。求实长或可采用辅助平面法。,2.2.3 求直线的真长及其对投影面的倾角,2.2.3.1 求直线的真长及其对投影面的倾角,直角三角形法,AB真长,AB真长,ZAB,量取ZAB,YAB,量取YAB,在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边

9、即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。,真长（TL),坐标差 Z、Y、X,H、V、W投影长,直角三角形法,A,B,a,b,a,b,A1,ax,bx,Y,Z,直角三角形法四要素中，已知任意两个，即可确定另外两个。,直角三角形法四要素,真长（TL),坐标差 Z、Y、X,H、V、W投影长,1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角,|zA-zB|,X,a,b,a,b,2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,|yA-yB|,|yA-yB|,3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角,a,a,b,b,X,O,Z,YH,YW,a,b,【例题】如图所示，求直线AB的真长及其对投影面H、

10、V的倾角 、,X,a,b,a,b,O,a0,方法一：,X,a,b,a,b,O,a,b,AB真长,方法二：,a,b,a,b,X,O,ZAB,=ZAB,C,在AB上量取 AC=25mm,c,c,【例题】试在直线AB上其一点 C，使AC = 25 mm， 求点C的投影。,【例题】已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。,L,AB,ab,BC=L,a,b,a,b,X,zA-zB,量取YAB,R=40mm,YAB,a,b,a,b,【例题】已知直线AB的V面投影，且AB=40mm， 求AB的H面投影。,a,b,a,b,YAB,量取YAB,【例题】已知直线AB的V

11、投影，且=30求AB的H投影。,a,b,a,b2,30,zAB,直线的H投影长,以直线的H投影长 为半径，作圆弧,直线AB真长,【例题】已知直线AB的V投影，且=30， 求AB的H投影。,60,b1,【例题】如图所示：已知直线EF的水平投影ef和端点E的正面投影e，并知EF的真长为20mm，补全EF的正面投影ef,同时，请回答这个题目有几解。,e,f,X,O,e,有两解,思考题：已知直线AB的实长为L，并知其角为30，角为45，求作其正面投影及水平投影。有几解？作出一解。,a,a,A,ab,B,30,Z,45,Y,a b,a,a,b,b,Y,Z,思考题：已知直线AB的实长为L，并知其角为30，

12、角为45，求作其正面投影及水平投影。有几解？作出一解。,2.2.4 两直线的相对位置,两直线的 相对位置,两直线交叉（交错）异面,两直线相交,两直线平行,共面,(1)两直线平行,两直线平行的投影特性： (1)两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。 即ABCD，则：abcd ；abcd；abcd 。 (2)平行两线段之比等于其投影之比。 AB:CD=ab:cd= ab:cd= abcd,一般根据两面投影便能判断两直线是否平行：,两面投影均平行的直线空间不一定平行,两直线平行的判定：,若直线的三面投影均平行，则空间两直线平行。,当两直线为投影面平行线时，需判断两直线在其平行的投影面上的投影是否平

13、行，若平行则两直线平行，否则交错。,两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影平行则两直线空间也平行,判断两直线是否平行的方法,3、同面投影对角连线的交点是否符合点的投影规律？,2、同面投影长度之比是否相等，且方向是否一致？,1、第三面投影是否平行？,(2)两直线相交,两直线相交的投影特性： 两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。,当其中有一条直线为投影面平行线时，则需要作出该直线在所平行的投影面上的投影来判断；也可根据其两面投影中的交点将直线分成的两段是否成比例来判断。,一般根据直线的两面投影即可判断是否相交,两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影相交且交点符

14、合点的投影规律，则两直线空间也相交。,(3)两直线交叉,两直线交叉的投影特性： 既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉.,（3） 两直线为投影面平行线时，若在平行的投影面内的投影相交，则两直线交错。,（2） 两直线的一面投影平行，其余两面投影均相交，则两直线交错;,（1） 两直线的三面投影相交，但交点不符合空间点的投影规律；,判定条件：,【例题】判断两直线的相对位置（方法一）,两直线交叉,【例题】判断两直线的相对位置(方法二）,1,=1d,=1c,两直线交叉,交叉两直线,3 4,3,4,1,2,1 2,( ),( ),判断重影点的可见性,b,a,a,b,a

15、,b,d,c,d,c,c,d,3,1,2,1(2 ),1(3),判断重影点的可见性,判断两根管子的可见性,d,a,b,c,d,a,b,c,X,0,判断两直线的位置关系,a,b,c,d,e,a（f）,b,c,d,e,0,X,AB与CD,AB与AE,CD与AE,交错,相交,交错,AB与CD,平行,g,g,f,AB与FG,交错,【例题】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。,(k),l ,l,k,作kle f ,作klef,【例题】已知水平线AB的两面投影及点C的两面投影，求作直线CD，使其与直线AB相交且与H面成30夹角。,ZCD,CD水平投影长,CD真长,以CD水平投影长为半径作弧,d,

16、有两解,d,d,d,空间互相垂直的两直线同时平行于某投影面时，则在该投影面上的投影仍然互相垂直。,垂直两直线都平行于某投影面,2.2.5 两直线垂直(直角投影定理),空间互相垂直的两直线的都不平行于某投影面时，则在该投影面上的投影必不互相垂直。,a1,垂直两直线都不平行于某投影面,垂直两直线只有一条平行于某投影面，则这两直线在该投影面上的投影是否垂直,？,（1）垂直相交两直线,AB AC ABH面,证明：ABAC、ABAa ABAacC 又 abAB， abAacC abac， 即bac=90,（2） 垂直交错两直线,H,证明：过点A作AC MN,则ACAB,又ABH面,则有ab ac，又mn

17、ac,则mnab,MNAB， ABH面，则mn ab,结论：垂直相交(交错）的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍然垂直。这就是直角投影定理。,直角投影定理的逆定理： 若两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中一条直线平行于该投影面时，则两直线在空间一定垂直。,abac,ABH面,则AB AC,d,c,b,a,d,c,b,a,d,c,a(b),d,c,b,a,d,c,b,a,c,b,a,d,c,b,a,d,c,b,a,d,c,b,a,d,d,c,b,a,d,c,b,a,d,c,b,a,d,c,b,a,d,c,b,a,d,c,b,a,d,c,b,a,判断两直线的位

18、置关系,相交,交错,交错,平行,交错,相交垂直,交错,交错垂直,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),相交,相交垂直,交错垂直,相交,交错垂直,交错垂直,交错垂直,【例】如图，已知直线AB和点M的两面投影，求过点M 作直线AB的垂线的两面投影。,b,a,b,a,0,X,m,m,直线MN、MK与直线AB为交叉垂直。 如何过点M作一条直线与已知直线垂直相交？,【例题】求点K到直线AB的距离 。,k,k,a,b,a,b,【例】 补全矩形ABCD的投影。,a,d,d,【例题】求两直线AB、CD之间的距离。,n,m,m,两交叉线间距离,【例题】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30mm，试完成三角形ABC的投影。,e,f,e,f,a,a,b,b,c,c,量取bc=30mm,