薄板弯曲问题3.ppt

1、12.1 Introduction and Assumptions,12 Bending of Thin Plates,12.2 Differential Equation for Bending of Thin Plate,12.3 Stress Resultants and Stress Couples,12.4 Boundary Conditions,12.5 A Simple Solution for Elliptical Plates,12.6 Naviers Solution by Double Trigonometric Series,12.7 Levys Solution by

2、 Single Trigonometric Series,圆形薄板的弯曲,求解圆形薄板的弯曲问题，用极坐标比较方便，我们把挠度w和荷载q看作是极坐标r和的函数，即,因为w和q既是r、 的函数，又是x、y的函数，利用极坐标与直角坐标之间的关系，可以得出下列变换式：,12.8 Bending of Circular Plates,弹性曲面得微分方程可以变换为：,下面导出用w表示内力得表达式：,从薄板内取出一个微单元，如图所示,所以，利用前述的内力计算公式，且令=0，即可得到极坐标下的内力计算公式：,其中：,圆形薄板的边界条件：（坐标原点取在薄板的中心）,a、在r=a处固定,b、在r=a处简支,或,

3、c、在r=a处自由,在r=a的横截面上，可将扭矩转换为等效剪力：,等效剪力与横向剪力合并成为总的剪力：,边界条件变为：,或,归纳,计算圆形薄板的弯曲问题，最终归结为，由方程：,求挠度w，然后根据公式：,求弯矩、扭矩和剪力,满足弹性曲面微分方程的位移及由此求出的弯矩、扭矩、剪力应该满足相应的位移边界条件和应力边界条件,圆形薄板的轴对称弯曲,如果圆形薄板所受的荷载是绕z轴对称，（q只是r的函数），则薄板的弹性曲面也将是绕z轴对称（w只是r的函数）,此时，弹性曲面的微分方程简化为：,12.9 Axisymmetrical Bending of Circular Plates,此常微分方程的解答是：,

4、其中，w1是任意一个特解，可根据荷载q来选择，C1、C2、C3、C4是任意常数，根据边界条件来确定,例如，受均布荷载q0作用的薄板，特解w1可以取为：,其中m为常数，将w1代入方程：,求得：,于是，方程得解答为：,根据边界条件求C1、C2、C3、C4,如果在薄板的中心没有孔，C1=C2=0，否则，在薄板的中心，内力将趋于无穷大,由此求得内力：,根据对称性，Q等于零，而Qr可由平衡条件得到。C3和C4由边界条件确定,如，半径为a的薄板具有固定边，边界条件为：,由此求得：,最后结果：,由平衡条件求Qr,取出半径为r的中间部分薄板，由平衡条件：,在薄板的中心：,在薄板的边界：,对于在各种边界条件下受各种荷载的圆形薄板，很多专著给出了关于挠度和弯矩的公式，供工程设计之用,本 章 小 结,（1）本章研究薄板弯曲问题，首先弄清研究对象，掌握它们的定义及分类，以及我们所学理论的适用范围,（2）对于薄板弯曲问题的三个补充假定的提法、含义以及由这三个假定推导出的结论要深刻理解,（3）三个补充假定回顾,（4）薄板弯曲的挠曲微分方程：,（5）求解问题时，须按薄板侧面（板边上）的边界条件，由这个微分方程求出挠度w，然后求得内力分量或应力分量,（6）边界条件的提法很重要，是薄板弯曲问题的关键技术，应重点掌握，对于固定边、简支边和自由边的边界条件，应熟练掌握,（7）纳维叶(Navier)解