线性代数2-4.ppt

1、第四节 矩阵的秩,矩阵,中，任取,行与,列,位于这些行列交叉处的,个元素 ，,中的相对,阶行列式，,的一个,阶 子式,中，取第1、2行和第2、4列交叉处的元素，组成的二,为,的一个二阶子式,矩阵的秩是矩阵的一个重要数值特征，是研究矩阵的重要概念 为了建立矩阵的秩的概念，先给出矩阵的子式的定 义,一、矩阵的秩的概念,在,位置组成的,例如，在矩阵,阶行列式,按它们在矩阵,称为,有了子式的概念，就可以定义矩阵的秩,中有一个不等于零的,阶子式,，且所有,阶子式(如果存在的话)全等于零，,称为,的最高阶非,称为矩阵的秩，记作,并规定零矩阵的秩等于零,中当所有,阶子式,阶的子式也全等于零，,的秩,就是,中

2、不等于零的子式的最高阶数，,阶矩阵,的秩满足,. 显然，对任意矩阵,，,是唯一决定,与其转置矩阵,有相同的秩，即,定义2 设在矩阵,零子式，,由行列式按行(列)展开的公式知，,全等于零时，,但其最高阶非零子式不一定是唯一的由行列式转置后其值,不变，,那么,数,在,所有高于,因此,由定义知,的，,故矩阵,例12 求矩阵,与,的秩，其中,，,解 在,中，容易看出一个2阶子式,的3阶子式只有一个,，经计算得,，因此,是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知,的所有4阶,子式全为零，而以三个非零行的左边第一个非零元素为对角,线元素的3阶行列式,的值为234=240，因此,从上例可知，当行数与列数较大时

3、，一般的矩阵按定义求 但是对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于其非零行的行数，一看便知不用计算 本段介绍用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，从而求矩阵的秩的方法首先给出下列定理,化为,，,的子式与,的子式的对应关系有下列三种情形：,的子式即为,的某个子式；,的子式为,的某一个子式交换行的位置得到；,的子式由,的某一个子式的某一行乘以非零数,得到因此,与,对应的子式或者同时为零，或者同时不为零所以，,二、矩阵秩的计算,定理6 初等变换不改变矩阵的秩 证 只就初等行变换的情况加以证明，至于初等列变换的情况类似可证,如果使用第一种或第二种初等行变换把,秩是很麻烦的,当使用第三种初等行变换把,化为,(比如,

4、)时，,的任意一个,阶子式,分三种情形讨论：,不含第,行元素；,同时含第,行和第,行元素；,含第,行但不含第,行元素,中与,对应的子式,，,，故,；对第三种情形，有,以上等式右端第一个行列式为,的,阶子式，,的一个,阶子式交换两行的位置得到，,在前两种情形，由行列式的性质，对,列式可由,考虑,而第二个行,故它们均等,于零从而,以上证明了如果,经过一次第三种初等行变换化为,，那么,的任意,阶子式都等于零，,由于,也可经一次第三种初等行变换化为,，故也有,从而,证毕,经过有限次初等变换变为,，那么,由此便得求矩阵的秩的方法：,由定理6，如果,矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩,例13

5、设,由矩阵秩的定义，,用初等行变换把矩阵化成行阶梯形,求矩阵,的秩，并求,的一个最高阶非零子式,的秩，,施行初等行变换使它化成行,因为行阶梯形矩阵,有3个非零行，所以,解 先求,阶梯形矩阵,为此对,下面求,的一个最高阶非零子式,，知,的最高阶非零子式为3阶,其中,为,的列向量，,对应的行阶梯形矩阵为,易知,，故,中一定有3阶非零子式,的3阶子式有4个，,的前三行构成的子式,因此这个子式便是,的一个最高阶非零子式,因,其中,记,那么矩阵,对于,阶可逆矩阵，因,，知,的最高阶非零子式为,由于矩阵的秩等于阶数，故可逆矩阵又称作满秩矩,总可以经过有限次初等行变换化为行阶,的矩阵，称为,矩阵,的标准形矩阵，其中,故存在,阶初等矩阵,以及,阶矩阵,使得,记,，那么,为,阶可逆矩阵，,为,阶可逆矩阵且,阵，而奇异矩阵又称作降秩矩阵,对于任意矩阵,梯形矩阵，然后通过有限次初等列变换便可化成形如,即对任意,矩阵,，都存在,阶可逆