流体静力学.ppt

1、,第二章 流体静力学,第二章 流体静力学,引 言,流体静力学是研究流体在静止状态下的平衡规律及应用。 静止是指流体质点相对于参考坐标系没有运动的情况，是一个相对概念，包括： 绝对静止流体对地球无相对运动 相对静止流体对地球有相对运动，但流层之间无相对运动 流体静力学理论的适用范围：理想流体、实际流体 无论理想流体或实际流体，在静止状态下，流体层与层之间都没有相对运动。实际流体的粘性特征未能显现。实际流体在静止状态下的物理特性类同于理想流体。因此，流体静力学理论同时适用于理想流体和实际流体。,第二章 流体静力学,章节结构,第二章 流体静力学,一、静压强 (pressure) p,定义：静止流体中

2、，作用在单位面积上的力称为静压强，亦称压强。设微小面积A上的总压力为P ，则： 平均静压强： 点静压强： 国际单位：帕(Pa) ，N/m2 工程单位：公斤力/厘米2 （kgf/cm2）,掌握,总压力（P）：作用于某一面积上的总静压力。 单位：牛顿（N）,第二章 流体静力学,综上，静压力的方向必垂直且指向作用 面，即永远沿着作用面的内法线方向。,二、静压强的两个特性,1静压强方向永远沿着作用面内法线方向（“内”指向作用面；“法线”垂直作用面）。 证明：（反证法）如图，取静止流体中任意隔离体。设切割面上任一点 m 处静压强 p 为任意方向。则 p 一定可分解为垂直于作用面的法向分力 pn 和平行于

3、作用面的切向分力。,掌握,第二章 流体静力学,2静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，与作用面方位无关。即静压强各向等值，只是位置的函数，p= p(x , y , z ).,二、静压强的两个特性,第二章 流体静力学,表面力仅有压力作用：px、py、pz、pn（n为任意方向）分别表示作用在垂直于x、y、z 轴的坐标面和斜面 ABC 上的静压强，Px、Py、Pz、Pn表示总压力。,证明：微元分析法(顺证法),1.取微元体： 如图，取静止流体中四面体微元oABC，建立oxyz直角坐标系。,2.受力分析：,质量力重力、惯性力，用单位质量力 表示。,第二章 流体静力学,3. 导出关系： 以x方向

4、为例，有： x方向上的质量力： x方向上的表面力： 根据静止流体受力平衡原理 ，,质量力,x 面压力,ABC 面压力,第二章 流体静力学,4. 得出结论： 当四面体ABC 缩小到o点时，式中的质量力与其它两项相比为高阶小量，可忽略不计。 同理，可得： 因此，在连续介质中，静止流体中同一点各个方向的静压强均相等，仅是点坐标的连续函数，即有：p=p(x, y, z)。得证。,说明： 以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与固体接触的表面。,第二章 流体静力学,第二章 流体静力学,第二章 流体静力学,一、流体平衡微分方程式的建立,第二章 流体静力学,应用微元分析法建立流体平衡方程。 1. 取微

5、元体： 取如图所示的六面体微元，边长dx、dy、dz。 2. 受力分析： 质量力重力、惯性力，用单位 质量力 表示。 表面力仅有静压力 P作用。,第二章 流体静力学,A点的压强为p，则A1、A2点的压强可通过泰勒级数展开得出： 略去二阶以上高阶小量后，得：,第二章 流体静力学,3. 导出关系： 根据流体平衡的充要条件:静止流体所受的所有外力在各个坐标轴方向上的投影之和为零，即 。以x方向为例： 同理，可得：,第二章 流体静力学,4. 得出结论：,流体平衡微分方程式，由1755年欧拉提出，又称为欧拉平衡方程式。 流体平衡微分方程式的物理意义：对于单位质量的流体，其质量力与表面力在任何方向上都应保

6、持平衡，即质量力与该方向上表面力的合力应大小相等、方向相反。 流体平衡微分方程的适用范围： 理想流体或实际流体 绝对静止或相对静止流体 不可压缩或可压缩流体,掌握,I,第二章 流体静力学,1. 流体平衡微分方程式的积分 为寻求静止流体内静压强 p 的分布规律，取各方向欧拉平衡方程分别乘以dx，dy，dz，并相加，得： 静止流体中，静压强 p 只是坐标的函数：p=f(x,y,z），所以,二、流体平衡微分方程式的积分,掌握,第二章 流体静力学,2力势函数 对于不可压缩流体 。式（II）的左边是压强的全微分，则从数学的角度而言，其右边亦应是某一坐标函数U（x, y, z）的全微分，方程才有意义。即：

7、 。 同时： 得： 满足上式的函数U（x, y, z）称为力函数（或势函数），具有这样力函数的质量力 称为有势力。如：重力。 因此，流体只有在有势的质量力作用下才能保持平衡，此时平衡微分方程为：,第二章 流体静力学,3巴斯加（帕斯卡）定律 积分式（III）得： 若已知液体表面或内部任意点处的力函数U0和压力p0，则可得： 在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界面上的压力p0 ，将等值、均匀地传递到流体的所有各点，这就是巴斯加定律。,第二章 流体静力学,4. 等压面 定义：同种连续静止流体中（ ），静压强相等的点组成的面。 等压面的方程： 由 ，且 ，得：等压面方程为： i 液体的自由表面是

8、最为常见的等压面，等压面上的压强为大气压，即： 。,掌握,第二章 流体静力学,等压面的特性： （1）等压面即等势面，有： 。 （2）等压面方程用矢量形式可表示为： ，其中： 为沿等压面的无穷小距离 。因此：等压面与质量力相正交。 （3）等压面不能相交。相交 一点有2个压强值：错误 。 （4）绝对静止流体的等压面是水平面 XY0，Zg + 性质,掌握,（5）两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面 证明：在分界面上任取两点A、B，两点间势差为dU，压差为dp。因为它们同属于两种流体，设一种为1，另一种为2，则有 dp 1 dU 且 dp 2 dU 因为 1 20 所以 只有当dp、 dU均为零时

9、，方程才成立。,第二章 流体静力学,掌握,第二章 流体静力学,研究对象：流体相对于地球没有运动的静止状态，即绝对静止状态。是工程中最为常见的流体平衡状态，此时质量力只有重力。 一、静力学基本方程式（重力作用下的流体平衡方程）,取重力作用下的静止流体为研究对象，如图。建立直角坐标：原点选在自由液面上，z 轴垂直向上。 受力分析：质量力（重力）和压力 p,重点掌握,23 重力作用下的流体平衡,第二章 流体静力学,导出关系：根据流体平衡微分方程式 有： 得出结论：对于不可压缩流体=Const 时，可积分上式得：,I,A 说明：水静力学基本方程的适用条件：=Const，即不可压缩静止流体。,第二章 流

10、体静力学,已知在自由表面上，有： ，且以静止液体中某点离自由液面的深度 h 代替 -z。由式 ，又可得： A 说明： 静止流体中的压强分布，由两部分组成等值传递的液面压强p0以及由该点上方高度为h 的液柱产生的压强（重量）h。 静止流体中的压强随深度按线性规律变化。,II,第二章 流体静力学,A 说明：绝对静止流体中的等压面,由等压面方程： ，对于绝对静止流体，质量力只有重力，即： 。则，绝对静止流体的等压面方程为： 即：静止流体中的水平面为等压面。 但是，这一结论有一定的限定条件：,同种相连通的绝对静止流体的水平面为等压面。,第二章 流体静力学,等压面,等压面,非等压面,练习,试判断以下平面

11、哪些是等压面,第二章 流体静力学,非等压面,非等压面,非等压面,练习,试判断以下平面哪些是等压面,阀门关死,第二章 流体静力学,A 说明：静力学基本方程应用一 流体静压强分布图的绘制 压强的大小：由静力学基本方程确定。 压强的方向：由静压强基本特性确定，即沿作用面内法线方向。 i 例：绘制平面或曲面ABC上的流体静压强分布图。,第二章 流体静力学,二、压强的表示绝对压强、相对压强、真空度 压强的大小从不同的基准算起，有不同的表示方法： 绝对压强 以绝对真空为零点而计量的压强。 相对压强 亦称表压，以当地大气压 pa 为零点计量的压强。 真空压强 即真空度，为流体绝对压强小于当地大气压时，产生真

12、空的程度。即： ， 时， 。 定义真空高度（真空压强对应的液柱高度）为：,重点掌握,第二章 流体静力学,A 说明：,绝对压强、相对压强及真空压强之间的关系如图。 绝对压强永为正值，最小值为0，即 。 真空压强 ，最大真空度为1个大气压（pa）。只当 时才用真空度概念。,图2-5 压强表示关系,绝对压强,ppa,ppa,pa,绝对压强,相对压强（表压）,真空压强,0,p,根据巴斯加定律，大气压 pa 将在液体内部等值传递，因此：除特别声明，通常在计算时直接以表压计。,第二章 流体静力学,i 例：绘制平面或曲面ABC上的相对压强分布图,第二章 流体静力学,油H1+ H2,油H1,试绘制平板AB上的

13、相对压强分布图,练习,第二章 流体静力学,A 说明：,压强的度量单位： 应力表示形式：N/m2、Pa 大气压表示形式：atm（标准大气压）、at（工程大气压） 液柱高度表示形式：mH2o、mHg 换算公式： 本课程中，除特别说明，压强单位统一以工程大气压计。,第二章 流体静力学,三、静力学基本方程式的意义 1几何意义 z 位置水头：静止流体中某点至基准面的高度，与基准面的选取有关。 压强水头：静止流体中某点压强的等效液柱高度。压强水头的大小与基准面的选取无关。 测压管水头 静止流体中任意点处的测压管水头为常数。,第二章 流体静力学,pa,0,0,1,2,z2,z1,基准面,位置 水头,压力 水

14、头,测压管,h1,h2,位置 水头,压力 水头,测压管水头,液面敞口时:,v w,例,第二章 流体静力学,2物理意义 z 比位能：单位重量流体所具有的位置势能。 比压能：单位重量流体所具有的压力势能。压力势能是一种潜在势能。在压力 p 的作用下，可以使流体上升高度 ，即：使流体位置势能增加。因此：压力势能可以转化为位置势能。 比总势能：单位重量流体所具有的总势能。 静止流体中，单位重量流体的总势能守恒。,第二章 流体静力学,根据适用范围、适用条件的不同，测压计通常有液式测压计和金属测压计。 金属测压计 原理：弹性元件在压力作用下弹性变形。 分类：弹簧管式压力表、薄膜式压力表。 液式测压计 工作

15、原理： 静力学基本方程： 及 。 等压面：同种相连通的绝对静止流体的水平面为等压面。,四、测压计静力学基本方程应用二,重点掌握,第二章 流体静力学,测压管：同种液体引出液柱高度以测量压强，一端与测压点相连，一端通大气。 i 求A点的压强,工作原理： 1。选取等压面 2。在等压面上应用水静力学基本方程，应满足：,测压管,第二章 流体静力学,测压管,第二章 流体静力学,水银测压计、组合水银测压计：U形管中，以水银、空气等作为工作液，一端接测压点，一端通大气。 i 求A点的压强,U形水银测压计,h1,h2,等压面,A,水银,工作原理： 1。选取等压面 2。在等压面上应用水静力学基本方程，应满足：,第

16、二章 流体静力学,i 求A点的压强 A 气体的密度、重度很小，通常可以忽略空气柱的重量，认为整个充气空间压强相等。,组合水银测压计,工作原理： 1。选取等压面1、2 2。在等压面上应用水静力学基本方程，应满足：,h1,h2,等压面1,A,水银,h3,等压面2,空气,p,p,第二章 流体静力学,比压计、压差计：将测压管两端接在两个不同测压点上，比较其压差。 i 求A、B两点的压强差,空气比压计,工作原理： 因充气空间压强相等，有以下关系：,第二章 流体静力学,水银比压计,等压面2,h1,A,B,h2,p1,p2,等压面1,h,工作原理： 1。选取等压面1、2 2。在等压面上应用水静力学基本方程，

17、应满足：,i 求A、B两点的压强差,第二章 流体静力学,平面上的压力都垂直于作用平面，组成平行力系。可根据平行力系的合成以及力矩原理求解流体总压力的大小和作用点。,流体静压强p的分布规律,总压力P的大小、方向、作用点,中心内容,分析方法,25 静止液体作用在平面上的总压力,第二章 流体静力学,解析法,预备知识： 压强分布规律： 面积矩： 面积A对轴x的面积矩 惯性矩： 面积A对轴x的惯性矩 平行移轴定理： 面积A对任意轴x的惯性矩可以转换为对其形心轴c的惯性矩与 的和。,重点掌握,第二章 流体静力学,2、坐标系建立 原点o取在自由液面上（注：某些情况需通过等效液面换算确定自由液面位置） x轴平

18、面或其延伸面与自由液面的交线 y轴垂直于ox轴沿平面向下。 3、总压力的方向 根据静压力的基本特性，总压力垂直且指向作用平面。,1、问题描述 静止液体中任意形状平面，与水平面夹角为、面积为A，C为形心、D为压力中心（即压力作用点）。,第二章 流体静力学,在面积A上积分：,4、总压力的大小 在A上取微元面积dA，坐标为y，其上所受总压力为dP，dA对应的水下深度为h。则：,面积A对ox轴的面积矩，即,结论： 平面总压力形心压强平面面积,第二章 流体静力学,5、总压力的作用点（压力中心D） 据平行力系力矩原理：每一微小面积上所受的压力dP 对ox 轴的静力矩之和，等于作用在面积A上的总压力P 对o

19、x轴的静力矩。即：,第二章 流体静力学,是面积A 对 ox 轴的惯性矩。为计算方便，利用平行移轴定理，可将其换算成对通过面积形心 C 且平行于ox 轴的轴线的惯性矩JC 的关系式，有： 所以： 记 为偏心距，有： 。由于e 0，压力中心D点永远在平面形心C 的下方，距离为偏心距 e。,第二章 流体静力学,A 说明：,平面形心处压强等于平面的平均压强： 当90时， 当0时， hDhC，yDyC 两侧都有液体：PP1P2,A 说明：,第二章 流体静力学,若液面上的表压不为0，即p00时，可将表压换算成等效液柱高加到原来的液面上，以一个表压为0的假想液面来计算总压力的大小、方向和作用点。 当研究液体

20、液面上方有其他液层覆盖时，应以该点所在位置的环境液体为依据换算等效液面。,第二章 流体静力学,在求解平板AB上的总压力P时，试确定平板AB形心C 的yc。,v w,例,若p00 p00 （等效自由液面）,折算成水柱高度,注意坐标！ yc= 10m,yc=?,5m? 10m ? 2.5m? 7.5m?,y,O,第二章 流体静力学,在求解平板AB上的总压力P时，试确定平板AB形心C 的yC。,v w,例,总结：若液面上表压强不为0时，即p0pa，可将表压换算成液柱高加到原来的液面上，以一个表压为0的假想液面来计算总压力大小、方向、作用点。,yc=5m+8m13m,y,第二章 流体静力学,例：闸门宽

21、1.2m，铰在A点。压力表G14700Pa，右侧箱中装有油，重度08.33kN/m3。问：在B点加多大水平力才能使闸门AB平衡？,p0,A,P1,5.5 m,水,油,P2,2 m,1.5 m,o,o,B,解：把 p0 折算成水柱高：,相当于液面下移1.5m，如图示虚构液面,A,B,P1,1.11 m,左侧：,压力中心距A点：3.1121.11m,第二章 流体静力学,右侧：,压力中心距A点：1.33m,A,B,P1,P2,1.33 m,1.11 m,第二章 流体静力学,A,B,P1,P2,1.33 m,1.11 m,F,设在B点加水平力F使闸门AB平衡，对A点取矩 MA0 即,第二章 流体静力学

22、,第二章 流体静力学,作用在曲面上各点的流体静压力都垂直于器壁，形成复杂空间力系。 求曲面上总压力的问题实际为空间力系的合成问题。,流体静压强p的分布规律,总压力P的大小、方向、作用点,中心内容,?思考：在探讨了平面上总压力的计算方法的基础上，如何考虑曲面上总压力的计算？(包括总压力的大小、方向、作用点的确定),26 静止液体作用在曲面上的总压力,第二章 流体静力学,工程上遇到最多的是二向曲面（柱面）。此处，以二向柱形曲面为例分析静水总压力，其结论对于三向曲面（球面）同样适用。,设有一承受液体压力的二向柱形曲面ab，面积为A。 原点o取在自由液面上 x 轴 平行于自由液面 y 轴 平行于二向曲

23、面的母线 z 轴 垂直于自由液面向下,重点掌握,2、坐标系建立,1、问题描述,3、总压力的大小和方向,曲面上所受的液体总静压力P可分解为在ox轴方向的水平分力Px和在oz轴方向的垂直分力Pz，即,a,b,A,dA,Ax,h,Az,dP,变不平行 为平行,水平分力dPx 积分Px,垂直分力dPz 积分Pz,合成P,第二章 流体静力学,为 面积A在yoz平面上的投影Ax对ox轴的面积矩。,a. 水平分力Px：,所以,第二章 流体静力学,b. 垂直分力Pz：,积分：,为 图中阴影部分abcd的面积。称此体积为压力体。,记,则：,第二章 流体静力学,c. 总压力的大小和方向： 根据力的平行四边形合成法则，可得总压力P的大小为： 总压力P与水平方向的夹角满足： 若计总压力P与垂直方向的夹角为，应满足：,第二章 流体静力学,4、总压力的作用点,总压力P的水平分力Px的作用点应通过面积A在yoz平面的投影Ax的压力中心。,总压力P的垂直分力Pz的作用点则应通过压力体abcd的重心。 总压力应通过Px与Pz的交点E，且与水平面的夹角为。由此确定曲面上的压力作用点为D。,第二章 流体静力学,5、压力体,1、定义：压力体是由积分式 引出的一个纯数学意义上的体积，相当于从曲面垂直向上引