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1、第十一章 时间序列分析,第十一章 时间序列分析,第一节 时间序列的对比分析 第二节 长期趋势分析 第三节 季节变动分析 第四节 循环波动分析,学习目标,1.掌握时间序列对比分析的方法 2.掌握长期趋势分析的方法及应用 3.掌握季节变动分析的原理与方法 4.掌握循环波动的分析方法,第一节 时间序列的对比分析,一. 时间序列及其分类 二. 时间序列的水平分析 三. 时间序列的速度分析,时间序列及其分类,时间序列(概念要点),1.同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列 2.形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成 3.排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式,时间

2、序列（一个例子）,时间序列的分类,时间序列的分类,绝对数时间序列 一系列绝对数按时间顺序排列而成 时间序列中最基本的表现形式 反映现象在不同时间上所达到的绝对水平 分为时期序列和时点序列 时期序列：现象在一段时期内总量的排序 时点序列：现象在某一瞬间时点上总量的排序 相对数时间序列 一系列相对数按时间顺序排列而成 平均数时间序列 一系列平均数按时间顺序排列而成,时间序列的水平分析,发展水平与平均发展水平（概念要点）,发展水平 现象在不同时间上的观察值 说明现象在某一时间上所达到的水平 表示为Y1 ，Y2， ，Yn 或 Y0 ，Y1 ，Y2 ， ，Yn 平均发展水平 现象在不同时间上取值的平均数

3、，又称序时平均数 说明现象在一段时期内所达到的一般水平 不同类型的时间序列有不同的计算方法,绝对数序列的序时平均数（计算方法）,计算公式：,【例11.1】 根据表11.1中的国内生产总值序列，计算各年度的平均国内生产总值, 时期序列,绝对数序列的序时平均数（计算方法）, 时点序列 间隔不相等,绝对数序列的序时平均数（计算方法）, 计算步骤 计算出两个点值之间的平均数,用相隔的时期长度 (Ti ) 加权计算总的平均数,绝对数序列的序时平均数（计算方法）,当间隔相等(T1 = T2= = Tn-1)时，有, 时点序列间隔相等,绝对数序列的序时平均数（实例）,【例11.2】设某种股票1999年各统计

4、时点的收盘价如表11-2，计算该股票1999年的年平均价格,绝对数序列的序时平均数（实例）,【例11.3】 根据表11-1中年末总人口数序列，计算19911998年间的年平均人口数,相对数序列的序时平均数（计算方法）,先分别求出构成相对数或平均数的分子ai和分母 bi 的平均数 再进行对比，即得相对数或平均数序列的序时平均数 基本公式为,相对数序列的序时平均数（计算方法与实例）,【例11.4】已知19941998年我国的国内生产总值及构成数据如表11-3。计算19941998年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重,相对数序列的序时平均数（计算结果）,解：第三产业国内生产总值的

5、平均数,全部国内生产总值的平均数,第三产业国内生产总值所占平均比重,增长量（概念要点）,报告期水平与基期水平之差，说明现象在观察期内增长的绝对数量 有逐期增长量与累积增长量之分 逐期增长量 报告期水平与前一期水平之差 计算形式为：i=Yi-Yi-1 (i =1,2,n) 累积增长量 报告期水平与某一固定时期水平之差 计算形式为：i=Yi-Y0 (i=1,2,n) 各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量,平均增长量（概念要点）,1. 观察期内各逐期增长量的平均数 2. 描述现象在观察期内平均增长的数量 3. 计算公式为,时间序列的速度分析,发展速度（要点）,报告期水平与基期水平之比 说明现象在观

6、察期内相对的发展变化程度 有环比发展速度与定期发展速度之分,环比发展速度与定基发展速度（要点）,环比发展速度 报告期水平与前一期水平之比,定基发展速度 报告期水平与某一固定时期水平之比,环比发展速度与定基发展速度（关系）,观察期内各环比发展速度的连乘积等于最末期的定基发展速度,两个相邻的定基发展速度，用后者除以前者，等于相应的环比发展速度,增长速度（要点）,增长量与基期水平之比 又称增长率 说明现象的相对增长程度 有环比增长速度与定期增长速度之分 计算公式为,环比增长速度与定基增长速度（要点）,环比增长速度基 报告期水平与前一时期水平之比,定基增长速度 报告期水平与某一固定时期水平之比,发展速

7、度与增长速度的计算（实例）,【例11.5】 根据表11-3中第三产业国内生产总值序列，计算各年的环比发展速度和增长速度，及以1994年为基期的定基发展速度和增长速度,平均发展速度（要点）,观察期内各环比发展速度的平均数 说明现象在整个观察期内平均发展变化的程度 通常采用几何法(水平法)计算 计算公式为,平均发展速度与平均增长速度（算例）, 平均发展速度, 平均增率,【例11.6】 根据表11.4中的有关数据，计算19941998年间我国第三产业国内生产总值的年平均发展速度和年平均增长率,从最初水平Y0出发，每期按平均发展速度发展，经过n期后将达到最末期水平Yn 按平均发展速度推算的最后一期的数

8、值与最后一期的实际观察值一致 只与序列的最初观察值Y0和最末观察值Yn有关 如果关心现象在最后一期应达到的水平，采用水平法计算平均发展速度比较合适,平均发展速度（几何法的特点）,年度化增长率（要点）,增长率以年来表示时，称为年度化增长率或年率 可将月度增长率或季度增长率转换为年度增长率 计算公式为,m 为一年中的时期个数；n 为所跨的时期总数 季度增长率被年度化时，m 4 月增长率被年度化时，m 12 当m n 时，上述公式就是年增长率,年度化增长率（实例）,【例11.7】已知某地区的如下数据，计算年度化增化增长率 1999年1月份的社会商品零售总额为25亿元， 2000年1月份在零售总额为3

9、0亿元 1998年3月份财政收入总额为240亿元，2000年6月份的财政收入总额为为300亿元 2000年1季度完成的国内生产总值为500亿元，2季度完成的国内生产总值为510亿元 1997年1季度完成的国内生产总值为500亿元，2季度完成的国内生产总值为510亿元,年度化增长率（计算结果）,解： 由于是月份数据，所以 m=12；从1999年一月到2000年一月所跨的月份总数为12，所以 n=12,即年度化增长率为20%，这实际上就是年增长率，因为所跨的时期总数为一年。也就是该地区社会商品零售总额的年增长率为20%,年度化增长率（计算结果）,解： m =12，n = 27 年度化增长率为,该地

10、区财政收入的年增长率为10.43%,年度化增长率（计算结果）,解： 由于是季度数据，所以 m = 4，从一季度到二季度所跨的时期总数为1，所以 n=1 年度化增长率为,即根据第一季度和第二季度数据计算的国内生产总值年增长率为8.24%,年度化增长率（计算结果）,解： m=4，从1997年四季度到2000年四季度所跨的季度总数为12，所以 n=12 年度化增长率为,即根据1998年四季度到2000年四季度的数据计算，工业增加值的年增长率为7.72%，这实际上就是工业增加值的年平均增长速度,速度的分析与应用（需要注意的问题）,当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度 例如：假定某企业连续五

11、年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，对这一序列计算速度，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析 在有些情况下，不能单纯就速度论速度，要注意速度与绝对水平的结合分析,速度的分析与应用（一个例子）,【例11.8】 假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如表11-5,速度的分析与应用（增长1%绝对值）,速度每增长一个百分点而增加的绝对量 用于弥补速度分析中的局限性 计算公式为,甲企业增长1%绝对值500/1005万元 乙企业增长1%绝对值60/1000.6万元,第二节 长期趋势分析,时间序列的构成要素与模型 线性趋势 非线性趋势

12、 趋势线的选择,时间序列的构成要素与模型（构成要素与测定方法）,时间序列的构成要素与模型（要点）,构成因素 长期趋势 (Secular trend ) 季节变动 (Seasonal Fluctuation ) 循环波动 (Cyclical Movement ) 不规则波动 (Irregular Variations ) 模型 乘法模型：Yi = Ti Si Ci Ii 加法模型：Yi = Ti + Si + Ci + Ii,长期趋势（概念要点）,现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态 由影响时间序列的基本因素作用形成 时间序列的主要构成要素 有线性趋势和非线性趋势,线性趋势,线性趋势,现

13、象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律 测定方法有 移动平均法 移动中位数法 线性模型法,移动平均法(Moving Average Method),测定长期趋势的一种较简单的常用方法 通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数 由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象发展的变动趋势 移动步长为K(1Kn)的移动平均序列为,移动平均法(实例),【例11.9】已知19811998年我汽车产量数据如表11-6。分别计算三年和五年移动平均趋势值，以及三项和五项移动中位数，并作图与原序列比较,移动平均法(趋势图),移动平

14、均法(应注意的问题),移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置 对于偶数项移动平均需要进行“中心化” 移动间隔的长度应长短适中 如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度 若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均 若为月份资料，应采用12项移动平均,线性模型法（概念要点与基本形式）,现象的发展按线性趋势变化时，可用线性模型表示 线性模型的形式为, 时间序列的趋势值 t 时间标号 a趋势线在Y 轴上的截距 b趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个单位时观察值的平均变动数量,线性模型法（a 和 b 的最小二乘估计）,趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小二乘法(Least

15、-square Method）求得 根据回归分析中的最小二乘法原理 使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小 最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线 根据趋势线计算出各个时期的趋势值,线性模型法（a和b的最小二乘估计）,1. 根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为,取时间序列的中间时期为原点时有 t=0，上式可化简为,解得：,解得：,线性模型法(实例及计算过程),【例11.10】利用表11-6中的数据，根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，计算出19811998年各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较,线性模型法（计算结果）,根据上表得 a

16、 和 b 结果如下,线性模型法(趋势图),非线性趋势,现象的发展趋势为抛物线形态 一般形式为,二次曲线(Second Degree Curve),a、b、c 为未知常数 根据最小二乘法求得,二次曲线(Second Degree Curve),取时间序列的中间时期为原点时有,根据最小二乘法得到求解 a、b、c 的标准方程为,二次曲线(实例),【例11.11】 已知我国19781992年针织内衣零售量数据如表11-9。试配合二次曲线，计算出19781992年零售量的趋势值，并预测1993年的零售量，作图与原序列比较,二次曲线(计算过程),二次曲线（计算结果）,根据计算表得 a 、 b 、c 的结果

17、如下,二次曲线(趋势图),用于描述以几何级数递增或递减的现象 一般形式为,指数曲线(Exponential curve),a、b为未知常数 若b1，增长率随着时间t的增加而增加 若b0，b1，趋势值逐渐降低到以0为极限,指数曲线(a、b 的求解方法),取时间序列的中间时期为原点， 上式可化简为,采取“线性化”手段将其化为对数直线形式 根据最小二乘法，得到求解 lga、lgb 的标准方程为,指数曲线(实例及计算结果),【例11.12】根据表11-6中的资料，确定19811998年我国汽车产量的指数曲线方程，求出各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较,汽车产量的指数曲线

18、方程为,2000年汽车产量的预测值为,指数曲线(趋势图),指数曲线与直线的比较,比一般的趋势直线有着更广泛的应用 可以反应出现象的相对发展变化程度 上例中，b=1.14698表示19811998年汽车产量趋势值的平均发展速度 不同序列的指数曲线可以进行比较 比较分析相对增长程度,在一般指数曲线的基础上增加一个常数K 一般形式为,修正指数曲线(Modified exponential curve),K、a、b 为未知常数 K 0，a 0，0 b 1,修正指数曲线用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以K为增长极限,修正指数曲线(求解k、a、b 的三和法),趋势值K无法事先确定时

19、采用 将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期 令趋势值的三个局部总和分别等于原序列 观察值的三个局部总和,修正指数曲线(求解k、a、b 的三和法),根据三和法求得,设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3,修正指数曲线(实例),【例11.13】 已知19781995年我国小麦单位面积产量的数据如表11-12。试确定小麦单位面积产量的修正指数曲线方程，求出各年单位面积产量的趋势值，并预测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较,修正指数曲线（计算结果）,解得 K、a 、b 如下,修正指数曲线（计算结果）,修正指数曲线(趋势图),以英国统计学家和数学家 BGompertz 而命

20、名 一般形式为,K、a、b为未知常数 K 0，0 a 1，0 b 1,龚铂茨曲线(Gompertz curve),所描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线 两端都有渐近线，上渐近线为YK,下渐近线为Y= 0,将其改写为对数形式,Gompertz曲线(求解k、a、b 的三和法),仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出 lg a、lg K、b 取 lg a、lg K 的反对数求得 a 和 K 令：,则有：,Gompertz曲线(实例),【例11.14】 根据表11-12的数据，试确定小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程，求出各年单位面积产

21、量的趋势值，并预测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较,Gompertz曲线（计算结果）,Gompertz曲线（计算结果）,小麦单位面积产量的 Gompertz 曲线方程为,2000年小麦单位面积产量的预测值为,Gompertz曲线(趋势图),罗吉斯蒂曲线(Logistic Curve),K、a、b 为未知常数 K 0，a 0，0 b 1,1838年比利时数学家 Verhulst所确定的名称 该曲线所描述的现象的特征与Gompertz曲线类似 3. 其曲线方程为,Logistic 曲线(求解k、a、b 的三和法),取观察值Yt的倒数Yt-1 当Yt-1 很小时，可乘以 10 的适当次

22、方 a、b、K 的求解方程为,趋势线的选择,观察散点图 根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线 一次差大体相同，配合直线 二次差大体相同，配合二次曲线 对数的一次差大体相同，配合指数曲线 一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线 对数一次差的环比值大体相同，配合 Gompertz 曲线 倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线 3. 比较估计标准误差,第三节 季节变动分析,一. 季节变动及其测定目的 季节变动的分析方法与原理 季节变动的调整,季节变动及其测定目的,季节变动 现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动 各年变化强度大体相同、且每年重现 指任何一种周期性的变化 时间序列的

23、又一个主要构成要素 测定目的 确定现象过去的季节变化规律 消除时间序列中的季节因素,季节变动的分析原理,将季节变动规律归纳为一种典型的季节模型 季节模型由季节指数所组成 季节指数的平均数等于100% 根据季节指数与其平均数(100%)的偏差程度测定季节变动的程度 如果现象没有季节变动，各期的季节指数等于100% 如果某一月份或季度有明显的季节变化，各期的季节指数应大于或小于100%,季节变动的分析原理, 季节模型 时间序列在各年中所呈现出的典型状态，这种状态年复一年以相同的形态出现 由季节指数组成，各指数刻划了现象在一个年度内各月或季的典型数量特征 以各个指数的平均数等于100%为条件而构成 如果分析的是月份数据，季节模型就由12个指数组成；若为季度数据，则由4 个指数组成,季节变动的分析原理, 季节指数 反映季节变动的相对数 以全年月或季资料的平均数为基础计算的 平均数等于100% 月(或季)的指数