耦合电感的计算

1、第6章 耦合电感电路和理想变压器,（时间：4次课，8学时）,耦合电感和变压器在工程中有着广泛地应用。本章首先讲述了耦合电感的基本概念，然后介绍了耦合电感的去耦等效，最后分析了空心变压器电路，重点讨论理想变压器的特性，从而对变压器有个初步认识。,第6章 耦合电感电路和理想变压器,6.1 耦合电感元件 6.2 耦合电感的去耦等效 6.3 空心变压器电路的分析 6.4 理想变压器,6.1 耦合电感元件,6.1.1 耦合电感的基本概念 6.1.2 耦合电感元件的电压、电流关系 6.1.3 同名端,6.1.1 耦合电感的基本概念,图6.1是两个相距很近的线圈（电感），当线圈1中通入电流 i1时，在线圈1

2、中就会产生自感磁通11，而其中一部分磁通21 ，它不仅穿过线圈1，同时也穿过线圈2，且2111。同样，若在线圈2中通入电流 i2，它产生的自感磁通22，其中也有一部分磁通12不仅穿过线圈2，同时也穿过线圈1，且12 22 。像这种一个线圈的磁通与另一个线圈相交链的现象，称为磁耦合，即互感。21 和12 称为耦合磁通或互感磁通。,假定穿过线圈每一匝的磁通都相等，则交链线圈1的自感磁链与互感磁链分别为11 =N111，12=N112；交链线圈2的自感磁链与互感磁链分别为22=N222，21=N221 。,图 6.1 耦合电感元件,类似于自感系数的定义，互感系数的定义为： 上面一式表明线圈1对线圈2

3、的互感系数M21，等于穿越线圈2的互感磁链与激发该磁链的线圈1中的电流之比。 二式表明线圈2对线圈1的互感系数M12，等于穿越线圈1的互感磁链与激发该磁链的线圈2中的电流之比。 可以证明 M21=M12=M 我们以后不再加下标，一律用M表示两线圈的互感系数，简称互感。互感的单位与自感相同，也是亨利（H）。,因为2111 ，1222 ，所以可以得出 两线圈的互感系数小于等于两线圈自感系数的几何平均值，即 上式仅说明互感M比 小（或相等），但并不能说明M比 小到什么程度。为此，工程上常用耦合系数K来表示两线圈的耦合松紧程度，其定义为 则 可知，0K1，K值越大，说明两线圈间的耦合越紧， 当K=1时

4、，称全耦合， 当K=0时，说明两线圈没有耦合。,耦合系数K的大小与两线圈的结构、相互位置以及周围磁介质有关。如图6.2(a)所示的两线圈绕在一起，其K值可能接近1。相反，如图6.2(b)所示，两线圈相互垂直，其K值可能近似于零。由此可见，改变或调整两线圈的相互位置，可以改变耦合系数K的大小；当L1、L2一定时，也就相应地改变互感M的大小。,图 6.2耦合系数k与线圈相互位置的关系,当有互感的两线圈上都有电流时，穿越每一线圈的磁链可以看成是自磁链与互磁链之和。当自磁通与互磁通方向一致时，称磁通相助，如图6.3所示。这种情况，交链线圈1、2的磁链分别为 上式中， ， 分别为线圈1、2的自磁链； ，

5、 分别为两线圈的互磁链。,6.1.2 耦合电感元件的电压、电流关系,设两线圈上电压电流参考方向关联，即其方向与各自磁通的方向符合右手螺旋关系，则 (6-6a) (6-6b),图6.3 磁通相助的耦合电感,图6.3 磁通相消的耦和电感,如果自感磁通与互感磁通的方向相反，即磁通相消，如图6.3所示，耦合电感的电压、电流关系方程式为：,由上述分析可见，具有互感的两线圈上的电压，在设其参考方向与线圈上电流参考方向关联的条件下，等于自感压降与互感压降的代数和，磁通相助取加号；磁通相消取减号。 对于自感电压 、 取决于本电感的u、i的参考方向是否关联，若关联，自感电压取正；反之取负。 而互感电压 、 的符

6、号这样确定：当两线圈电流均从同名端流入（或流出）时，线圈中磁通相助，互感电压与该线圈中的自感电压同号。即自感电压取正号时互感电压亦取正号，自感电压取负号时互感电压亦取负号；否则，当两线圈电流从异名端流入（或流出）时，由于线圈中磁通相消，故互感电压与自感电压异号，即自感电压取正号时互感电压取负号，反之亦然。,6.1.3 同名端,互感线圈的同名端是这样规定的：当电流分别从两线圈各自的某端同时流入(或流出)时，若两者产生的磁通相助，则这两端称为两互感线圈的同名端，用标志“”或“*”表示 。例如图6.5(a)，a端与c端是同名端(当然b端与d端也是同名端)；b端与c端(或a端与d端)则称为非同名端(或

7、称异名端)。,图6.5 互感线圈的同名端,这样规定后，如果两电流不是同时从两互感线圈同名端流入(或流出)，则各自产生的磁通相消。有了同名端规定后，像图6.5(a)所示的互感线圈在电路中可以用图6.5(b)所示的模型表示，在图6.5(b)中，设电流i1、i2分别从a、d端流入，磁通相助，如果再设各线圈的 u、i为关联参考方向，那么两线圈上的电压分别为,(6-9),如果如图6.6所示那样，设仍是从a端流入，不是从c端流入，而是从c端流出，就判定磁通相消。由图6.6所示可见，两互感线圈上电压与其上电流参考方向关联，所以,图6.6 磁通相消情况 互感线圈模型,(6-8),图6.7所示是测试互感线圈同名

8、端的一种实验线路，把其中一个线圈通过开关S接到一个直流电源上，把一个直流电压表接到另一线圈上。当开关迅速闭合时，就有随时间增长的电流从电源正极流入线圈端钮1，这时大于零，如果电压表指针正向偏转，这说明端钮2为实际高电位端(直流电压表的正极接端钮2)，由此可以判定端钮1和端钮2是同名端；如果电压表指针反向偏转，这说明端钮 为实际高电位端，这种情况就判定端钮1与端钮 是同名端。,图6.7 互感线圈同名端的测定,关于耦合电感上电压电流关系这里再强调说明两点： (1)耦合电感上电压、电流关系式形式有多种形式，不仅与耦合电感的同名端位置有关，还与两线圈上电压、电流参考方向设的情况有关。若互感两线圈上电压

9、电流都设成关联参考方向，磁通相助时可套用式(6-8)，磁通相消时可套用式(6-9)。若非此两种情况，不可乱套用上述两式。 (2)如何正确书写所遇各种情况的耦合电感上的电压、电流关系是至关重要的。通常，将耦合线圈上电压看成由自感压降与互感压降两部分代数和组成。 先写自感压降：若线圈上电压、电流参考方向关联，则其上自感电压取正号即。反之，取负号即。,再写互感压降部分：观察互感线圈给定的同名端位置及所设两个线圈中电流的参考方向， 若两电流均从同名端流入(或流出)，则磁通相助，互感压降与自感压降同号，即自感压降取正号时互感压降亦取正号，自感压降取负号时互感压降亦取负号。 若一个电流从互感线圈的同名端流

10、入，另一个电流从互感线圈的同名端流出，磁通相消，互感压降与自感压降异号，即自感压降取正号时互感压降取负号，自感压降取负号时互感压降取正号。只要按照上述方法书写，不管互感线圈给出的是什么样的同名端位置，也不管两线圈上的电压、电流参考方是否关联，都能正确书写出两线圈的电压、电流之间关系式。,例6-1 图6.8(a)所示电路，已知R1=10，L1=5H，L2=2H，M=1H，i1（t）波形如图6.8(b)所示。试求电流源两端电压uac（t）及开路电压ude（t）。,图6.8 例6-1图,解：由于第2个线圈开路，其电流为零，所以R2上电压为零，L2上自感电压为零，L2上仅有电流i1在其上产生的互感电压

11、。这一电压也就是d、e开路时的电压。根据i1的参考方向及同名端位置，可知 由于第2个线圈上电流为零，所以对第1个线圈不产生互感电压，L1上仅有自感电压 电流源两端电压,下面进行具体的计算。 在0t时， i1（t）=10tA (由给出的波形写出) 所以,在1t2s时 所以 在t2s时 i1（t）=0 (由观察波形即知),所以 uab=0，ubc=0，uac=0，ude=0 故可得 根据uac、ude的表达式，画出其波形如图6.8(c)、图6.8(d)所示。,例6-2 图6.9所示互感线圈模型电路，同名端位置及各线圈电压、电流的参考方向均标示在图上，试列写出该互感线圈的电压、电流关系式(指微分关系

12、)。,图6.9 例6-2图,解：先写出第1个线圈L1上的电压u1。因L1上的电压u1与i1参考方向非关联，所以u1中的自感压降为 。观察本互感线圈的同名端位置及两电流i1、i2的流向，可知i1从同名端流出，i2亦从同名端流出，属磁通相助情况，u1中的互感压降部分与其自感压降部分同号，即为 。将L1上自感压降部分与互感压降部分代数和相加，即得L1上电压,再写第2个线圈L2上的电压u2。因L2上的电压u2与电流i2参考方向关联，所以u2中的自感压降部分为 。考虑磁通相助情况，互感压降部分与自感压降部分同号，所以u2中的互感压降部分为 。将L2上自感压降部分与互感压降部分代数和相加，即得L2上电压,

13、此例是为了给读者起示范作用，所以列写的过程较详细。以后再遇到写互感线圈上电压、电流微分关系，线圈上电压、电流参考方向是否关联、磁通相助或是相消的判别过程均不必写出，直接可写(对本互感线圈),6.2 耦合电感的去耦等效,两线圈间具有互感耦合，每一线圈上的电压不但与本线圈的电流变化率有关，而且与另一线圈上的电流变化率有关，其电压、电流关系式又因同名端位置及所设电压、电流参考方向的不同而有多种表达形式，这对分析含有互感的电路问题来说是非常不方便的。那么能否通过电路等效变换去掉互感耦合呢？本节将讨论这个问题。,6.2 耦合电感的去耦等效,6.2.1 耦合电感的串联等效 6.2.2 耦合电感的T型等效,

14、6.2.1 耦合电感的串联等效,图6.10(a)所示相串联的两互感线圈，其相连的端钮是异名端，这种形式的串联称为顺接串联。 由所设电压、电流参考方向及互感线圈上电压、电流关系，得 (6-10) 式中 (6-11) 称为两互感线圈顺接串联时的等效电感。由式(6-10)画出的等效电路如图6.10(b)所示。,图6.10 互感线圈顺接串联 图6.11 互感线圈反接串联,图6.11(a)所示的为两互感线圈反接串联情况。两线圈相连的端钮是同名端，类似顺接情况，可推得两互感线圈反接串联的等效电路如图6.11(b)所示。 图中 (6-12),6.2.2 耦合电感的T型等效,耦合电感的串联去耦等效属于二端电路

15、等效，而耦合电感的T型去耦等效则属于多端电路等效，下面分两种情况加以讨论。 1. 同名端为共端的T型去耦等效 图6.12(a)为一互感线圈，由图便知的b端与的d端是同名端(的a端与的c端也是同名端，同名端标记只标在两个端子上)，电压、电流的参考方向如图6.12(a)中所示，显然有,将以上两式经数学变换，可得,图6.12 同名端为共端的T型去耦等效,由上式画得T型等效电路如图6.12(b)所示。因图6.12(b)中3个电感相互间无互感(无耦合)，其自感系数分别为L1-M 、L2-M、M，又连接成T型结构形式， 所以称其为互感线圈的T型(类型之意)去耦等效电路。 图6.12(b)中的b、d端为公共

16、端(短路线相连)，而与之等效的图6.12(a)中互感线圈的b、d端是同名端，所以将这种情况的T型去耦等效称为同名端为共端的T型去耦等效。 若把图6.12(a)中的a、c端看作公共端，图6.12(a)亦可等效为图6.12(c)的形式。,2. 异名端为共端的T型去耦等效,图6.13 异名端为共端的T型去耦等效,图6.13(a)所示互感线圈的b端与的d端是异名端，电流、电压参考方向如图中所示，显然有,同样将以上两式经数学变换，可得 由上式画得b、d端为共端的T型去耦等效电路如图6.13(b)所示。同样，把a、c端看作公共端，图6.13(a)亦可等效为图6.13(c)的形式。这里图6.13(b)或图6

17、.13(c)中的电感为一等效的负电感。,以上讨论了耦合电感的两种主要的去耦等效方法，这两种方法适用于任何变动电压、电流情况，当然也可用于正弦稳态交流电路。 应再次明确，无论是互感串联二端子等效还是T型去耦多端子等效，都是对端子以外的电压、电流、功率来说的，其等效电感参数不但与两耦合线圈的自感系数、互感系数有关，而且还与同名端的位置有关。尽管推导去耦等效电路的过程中使用了电流电压变量，而得到的等效电路形式与等效电路中的元件参数值是与互感线圈上的电流、电压无关的。,例6-3 图6.14(a)为互感线圈的并联，其中a、c端为同名端，求端子1、2间的等效电感L。 解：应用互感T型去耦等效，将图6.14

18、(a)等效为图6.14(b)，要特别注意等效端子，将图6.14(a)、图6.14(b)中相应的端子都标上。应用无互感的电感串、并联关系，由图6.14(b)可得,上式为图6.14(a)所示的同名端相连情况下互感并联时求等效电感的公式。若遇异名端相连情况的互感并联，可采用与上类似的推导过程推得求等效电路的关系式为,图6.14 互感线圈并联,例6-4 如图6.15(a)所示正弦稳态电路中含有互感线圈，已知 ，L1=L2=1.5H，M=0.5H，负载电阻。求上吸收的平均功率。 解：应用T型去耦等效将图6.15(a)图等效为图6.15(b)，再画相量模型电路如图6.15(c)所示。对图6.15(c)由阻

19、抗串、并联关系求得,图6.15 含有互感的正弦稳态电路,由分流公式，得 所以负载电阻上吸收的平均功率 对图6.15(c)应用戴维南定理求解也很简便，读者可自行练习。,例6-5 图6.16(a)所示正弦稳态电路，已知L1=7H，L2=4H，M=2H，R=8，us(t)=20costV，求电流i2(t)。 解：应用耦合电感T型去耦等效，将图6.16(a)等效为图6.16(b)。考虑是正弦稳态电路，画图6.16(b)的相量模型电路如图6.16(c)所示。,图6.16 例6-5图,在图6.16(c)中，应用阻抗串、并联等效关系， 求得电流 应用阻抗并联分流关系求得电流 故得,6.3 空心变压器电路分析

20、,不含铁芯(或磁芯)的耦合线圈称为空心变压器，在电子与通信工程和测量仪器中得到广泛的应用。空心变压器的电路模型如图6.17所示，R1和R2表示初级和次级线圈的电阻。 通常，空心变压器的初级接交流电源，次级接负载。电源提供的能量通过磁场耦合传递到负载。下面讨论含空心变压器电路的正弦稳态分析。,图6.17 空心变压器的电路模型,6.3 空心变压器电路分析,6.3.1 端接负载的空心变压器 6.3.2 端接电源的空心变压器 6.3.3 用去耦等效电路简化电 路分析,6.3.1 端接负载的空心变压器,空心变压器次级接负载的相量模型如图6.18(a)所示。现用外加电压源计算端口电流的方法求输入阻抗，然后

21、得到单口的等效电路。 该电路的网孔方程 (6-23) (6-24),图6.18 端接负载的空心变压器,由式(6-24)求出 (6-25) 其中， 是次级回路的阻抗。将此式代入式(6-23)，求得输入阻抗 (6-26) 式中， 是初级回路阻抗， 是次级回路在初级回路的反映阻抗 (6-27),若负载开路， ， ，则 ，不受次级回路的影响； 若 ，则输入阻抗 ，其中 反映次级回路的影响。 例如， 的实部反映次级回路中电阻的能量损耗， 的虚部反映次级回路储能元件与初级的能量交换。 由式(6-25)即可求得次级电流。,由式(6-26)得到空心变压器次级接负载时的初级等效电路，如图6.18(b)所示。若已

22、知这个等效电路，给定输入电压源，用下式求得初级回路电流 (6-28) 若改变图6.18(a)所示电路中同名端位置，则式(6-23)、式(6-24)和式(6-25)中的M前的符号要改变。但不会影响输入阻抗、反映阻抗和等效电路。,例6-6 电路如图6.19(a)所示。已知 。试求： (1) i1， i2 ； (2) 1.6负载电阻吸收的功率。 解：画出相量模型，如图6.19(b)所示。由式(6-27)求出反映阻抗 次级回路感性阻抗反映到初级成为容性阻抗。由式(6-26)求出输入阻抗,图6.19 例6-6图,由式(6-28)求出初级电流 由式(6-25)求出次级电流 最后得到： 1.6负载电阻吸收功

23、率为,6.3.2 端接电源的空心变压器,为了求得空心变压器初级接电源时，次级负载获得的最大功率，现讨论除负载以外含源单口网络的戴维南等效电路。该单口的相量模型如图6.20(a)所示。 先求出开路电压,图6.20 端接电源的空心变压器,用与求输入阻抗相似的办法，求出输出阻抗 (6-30) 式中 得到如图6.20(b)所示的戴维南等效电路。根据最大功率传输定理，当负载与共轭匹配，即 时，可获得最大功率为,6.3.3 用去耦等效电路简化电路分析,含耦合电感的电路，若能将耦合电感用去耦等效电路代替，可避免使用耦合电感的VCR方程，常可简化电路分析。现举例说明。 例6-7 电路如图6.21(a)所示。

24、已知 。试求i1、i2和负载可获得的最大功率。,图6.21 例6-7图,解：将耦合电感b、d两点连接，用等效电路代替耦合电感，得到如图6.21(b)所示相量模型。等效电路中3个电感的阻抗为 用阻抗串并联和分流公式求得,为求负载可获得的最大功率，断开负载 ，求得 当 ，可获得最大功率 此题用去耦等效电路代替耦合电感后，只需使用阻抗串并联公式和分压分流公式就能求解，不必记住本节导出的一系列公式。,6.4 理想变压器,变压器是各种电气设备及电子系统中应用很广的一种多端子磁耦合基本电路元件，被用来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号。 常用的实际变压器有空心变压器和铁芯变压器两种类型。 空心变压器

25、是由两个绕在非铁磁材料制成的芯子上并且具有互感的线圈组成的； 铁芯变压器就是由两个绕在铁磁材料制成的芯子上且具有互感的线圈组成的。 理想变压器可看成是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的一种理想科学抽象，即是极限情况下的耦合电感。,理想变压器多端元件可以看作为互感多端元件在满足下述3个理想条件极限演变而来的。 条件1：耦合系数k=1，即全耦合。 条件2：自感系数、无穷大且等于常数。由式(6-4)并考虑条件1，可知也为无穷大。此条件可简说为参数无穷大。 条件3：无损耗。这就意味着绕线圈的金属导线无任何电阻，或者说，绕线圈的金属导线材料的电导率。做芯的铁磁材料的磁导率。,由以上3个条件，在工程实

26、际中永远不可能满足。可以说，实际中使用的变压器都不是这样定义的理想变压器。但是在实际制造变压器时，从选材到工艺都着眼于这3个条件作为“努力方向”。 譬如说，选用良金属导线绕线圈，选用磁导率高的硅钢片并采用叠式结构做成芯，都是为尽可能地减小损耗。 再如，采用高绝缘层的漆包线紧绕、密绕、双线绕，并采取对外的磁屏蔽措施，都是为使耦合系数尽可能接近条件1。 又如，理想条件2要求参数无穷大，固然难于做到，但在绕制实际铁芯变压器时也常常用足够的匝数(有的达几千匝)为使参数有相当大的数值。 而在一些实际工程概算中，譬如说计算变压比、变流比等，又往往在工程误差允许的范围以内，把实际使用的变压器当作理想变压器对

27、待，以使计算过程简化。,6.4 理想变压器,6.4.1 理想变压器端口电压、电流之间的关系 6.4.2 理想变压器阻抗变换作用,6.4.1 理想变压器端口电压、电流之间的关系,以图6.22(a)所示来分析理想变压器的主要性能。图中 N1、N2既代表初、次级线圈，又表示其各自的匝数。由图6.22(a)可判定a、c端是同名端。 设i1、i2分别从同名端流入(属磁通相助情况)，并设初、次级电压u1、u2与各自线圈上i1、i2参考方向关联。若 11、22 分别为穿过线圈和线圈的自磁通；21为第1个线圈中电流在第2个线圈中激励的互磁通；12为第2个线圈中电流在第1个线圈中激励的互磁通。,图6.22 变压

28、器示意图及其模型,由图6.22(a)可以看出与线圈N1，N2交链的磁链，分别为 (6-31a) (6-31b) 考虑全耦合(k=1)的理想条件，所以有，则 (6-32a) (6-32b) 将式(6-32)代入式(6-31)，得 (6-33a) (6-33b),1. 变压关系 对式(6-33)求导，得初、次级电压分别为 所以有 (6-34) 式(6-34)中n称为匝比或变比，其值等于初级线圈匝数与次级线圈匝数之比。若将图6.22(a)画为图6.22(b)所示的理想变压器模型图，观察图6.22(b)与式(6-34)可知：若u1、u2参考方向“+”极性端都分别设在同名端，则u1与u2之比等于N1与N

29、2之比。,若u1、u2参考方向“+”的极性端一个设在同名端，一个设在异名端，如图6.23所示，则此种情况的u1与u2与之比为 式(6-34)与式(6-35)式都是理想变压器的变压关系式。注意：在进行变压关系计算时是选用式(6-34)或是选用式(6-35)决定于两电压参考方向的极性与同名端的位置，与两线圈中电流参考方向如何假设无关。,图6.23,(6-35),2. 变流关系 考虑理想变压器是L1、L2无穷大，L1/L2且为常数，k=1的无损耗互感线圈，这里从互感线圈的电压、电流关系着手，代入理想条件，即得理想变压器的变流关系式。由图6.24互感线圈模型得 (6-36) 设电流初始值为零并对式(6

30、-36)两端作0t的积分，得,如图6.22(a)所示，联系M、L1定义，并考虑k=1条件，所以 (6-38) 将式(6-38)代入式(6-37)并考虑L1=，于是得 所以有 (6-39) 式(6-39)说明，当初、次级电流i1、i2分别从同名端同时流入(或同时流出)时，则与之比等于负的N1与N2之比。,若假设i1、i2参考方向中的一个是从同名端流入，一个是从同名端流出，如图6.25所示，则这种情况的i1与i2之比为 (6-40) 式(6-39)与式(6-40)式都是理想变压器的变流关系式。也需注意：在进行变流关系计算时是选用式(6-39)还是选用式(6-40)取决于两电流参考方向的流向与同名端

31、的位置，与两线圈上电压参考方向如何假设无关。,图6.24 变流关系带负号情况的模型,图6.25 变流关系不带负号情况的模型,由理想变压器的变压关系式(6-34)、变流关系式(6-39)，得理想变压器从初级端口与次级端口吸收的功率和为 (6-41) 式(6-41)说明： 理想变压器不消耗能量，也不储存能量，所以是不耗能、不储能的无记忆多端电路元件，这一点与互感线圈有着本质的不同。 参数有限(L1、L2和M均为有限值)的互感线圈是具有记忆作用的储能多端电路元件。,6.4.2 理想变压器阻抗变换作用,理想变压器在正弦稳态电路里还表现出有变换阻抗的特性。如图6.26所示的理想变压器，次级接负载阻抗，由式(6-34)、式(6-39)代数关系式可知，在正弦稳态电路里，理想变压器的变压、变流关系的相量形式也是成立的。对图6.26所示电路，由假设的电压、电流参考方向及同名端位置可得,图6.26 理想变压器变换阻抗关系推导图,(6-42) (6-43),由初级端看，输入阻抗 由负载ZL上电压电流参考方向非关联，