数学观与高中数学教学.ppt

1、数学观与高中数学教学,仝素勤,2002年7月,一“数学是什么？”,“数学是什么？”是数学观的核心问题，它包括数学的研究对象、数学的本质特性、数学的真理性以及数学的价值等等。它是人们对数学科学认识的基本观点和总的看法。,本部分的目的：掌握数学观的基本观点，为数学教育教学打下理论基础。,“有一种观点严重威胁着科学的生命：数学是一门不知所云的学科，它只是从定义和公理出发推导出来的一系列结论，而这些公理除了必须互相一致以外，完全出自数学家心灵的自由创造。如果这种说法正确的话，那么数学就不可能吸引任何一个有智慧的人。它将是定义法则和三段论的游戏，既无动力也无目的。” (美)柯朗罗宾斯数学是什么？,（一）

2、数学是关于客观世界的数量关系与空间形式的知识体系。知识性。,1数学研究的对象。“纯数学的对象是现实世界的 数量关系与空间形式”,（1）凡是研究事物的量、量的关系、量的变化、量的关系的变化、量的变化的关系的时候，就少不了数学。,事物的量,数量关系：数的概念数系（实数、复数） 代数系统（群、环、域）超限数（有限、无限）,空间形式：形的概念（点、线、面、体）欧氏几何及空间（长度、面积、体积计算）摄影几何及空间（图形的透视性质）拓扑学及空间（图形连续性）；空间维数，2、3维n维无穷维；平直弯曲。,(2)早期：以研究数量、数量关系为主要特征的是属算术与代数范畴;以研究空间形式和形的关系为主要特征的属几何

3、学范畴；以研究（17世纪）数与形结合的，产生了解析几何与微积分分析学（形、数关系）。,（3）最初来自外部经验世界（现实世界）数学内部逻辑定义的各种空间形式及数量关系，而且是反复作用的结果。,数学的主要内容 。 就数学与现实生活的联系来说,大致分为两大类纯粹数学与应用数学。,纯粹数学：研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系,即研究数学本身的规律的科学。如集合类、代数类及分析类的各门学科。,应用数学：研究如何从现实问题中抽象出数学规律及如何 把已知的数学规律应用于现实问题的科学。如数理方程、运筹学、概率论、数理统计、计算数学、计算机科学以及新兴的：控制论、信息论、系统论、生物数学、数学地质学

4、、数量经济学、定量社会学等。,3数学的真理性：是指数学理论是否正确反映了客观实在的规律性。,（1）数学理论是逻辑的发展起来的，在逻辑上是正确的，称为逻辑真理。,（2）数学理论靠实践检验，当验证了它是客观世界的正确反映时，成为现实真理。,（3）检验不一定是直接的数学应用，大量的是间接的、由其他科学或领域检验的。,（4）检验要经历时间或过程。 如：公元前三世纪阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论，在1800年后，才在光学抛物镜研究和天体运动理论中得到具体应用；黎曼几何（非欧）在爱因斯坦的广义相对论中得到应用。,4数学是一个严密的知识体系。公理化体系或由概念、判断、推理形成的演绎体系。,（二）数学是人类社会实践

5、活动的结晶，是推动社会发展的动力之一。 一般说来，大部分数学分支中那些最初最老的问题，都是起源于经验，是由外部世界所提出。 算术与初等代数、欧氏几何学都起源于生产和生活实践，就连人们认为的高等数学最初也从实践中产生。,1微积分产生的背景：力学（物体、落体、抛射体）、天文学（天体运动）以及几何学中提出的问题。,（1）求运动物体的瞬时速度和加速度及求物体移动的距离。,（2）求曲线的切线。,（3）求函数的最大值和最小值。,（4）求曲线的长度、由曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心等。,2概率论的产生背景：对现实世界中大量随机现象的研究。,（1）早期的概率论是与赌博的数学研究有关。1654年，有

6、一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算胜，全部赌本就归胜者。但是，当其中一人赢了a（am）局，另一个赢了b(bm)局的时候，赌搏中止。问：赌本应当如何分法才合理？” 3年后，著名的物理学、天文学兼数学家惠更斯，用排列组合的方法，研究了这个及一些更复杂的赌搏问题，写成了论机会游戏的计算一书，这是最早的概率论著作。,（2）机遇搏弈问题（帕斯卡、费马等人）。,（3）保险事业的需要。等等。,3中国算术产生的背景。 中国古代的数学包括算术和代数，主要是为解决生产和生活实践中提出问题而产生的。最著名的九章算术（公元一世纪左右）包括246道数学问题，按问题性质分

7、属九章：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股，各章按解题法则又分为若干类，解题法则叫做“术”。各章含义如下：,方田：专讲各种形状地亩面积计算和有理数四则运算；,粟米：专讲各种谷物之间的兑换问题，主要涉及比例运算；,衰分：多与商业、手工业及社会制度有关的问题主要是配分比 例 计算法；,少广：主要是开平方、开立方的问题；,商功：主要涉及各种立体图形体积算法；,均输：主要是涉及赋税、徭役、运输等比较复杂的配分比例计算方法；,盈不足：各种盈亏问题的解法；,方程：相当于方程组的解法；,勾股：主要是勾股问题的解法及简单的勾股测量。,由此，我国古代数学主要特点是应用于计算，以算为中心 每题

8、的体例统一为“今有，问几何？答曰。术曰。”采用“寓理于数”的理论方法。,数学的广泛应用，也促进了社会的发展。,（三）数学是人类辩证思维的工具。,数学来自于实践，但是经过从具体到抽象的过程后，数学就成了脱离现实的独立的理论体系，在其运算过程、证明过程、解决问题或新的观察过程中，不断产生、发现新矛盾新问题或悖论。为了解决这些矛盾，人们运用抽象思维创立新的概念、判断和理论，于是就促成新学科的产生。在近现代数学中，数学自身的矛盾不断推动数学向前发展。,主要思维方法是：联想、类比、分类、演绎、归纳、分析、综合、悖论、猜想等逻辑推理（证明）方法及发散思维、计算方法等。,1非欧几何的产生。,（1）它是由欧氏

9、几何学中“平行公设”引发的一场革命。,（2）问题：“平行公设”（第五公设）是否与其它公理、公设相关。,（3）解决：1825年俄国数学家罗巴切夫斯基，创立非欧几何。罗氏几何是包括公设“过已知直线外一点可以做两条以上的直线与已知直线平行”及其他欧式公理、公设在内的、具有相容性的新的数学体系。这证明了欧氏“平行公设”是独立的，不能从其他公理、公设中推出。,（4）思维方式：发散的逆向思维，间接证明法。,2“数学基础”这门新学科的诞生,（1）所谓数学基础在原始意义上，是指以某种较为简单的数学理论为基础，并按照一定的原则去建立（或重建）另一种比较复杂的数学理论（甚至全部数学理论）。集合论创立后，数学家认为

10、集合是全部数学理论的基础。,（2）问题：1902年,罗素发现集合论悖论（通俗称为理发师悖论）由“所有正常集合组成的集合是否属于自身”的问题。使集合论产生了危机。,（3）研究：形成了数学基础的公理化，以及以罗素为代表的逻辑主义学派；布劳威尔为代表的直觉主义学派；希尔伯特为代表的形式主义学派。并开创了（元数学）的研究。但数学基础问题至今从数学上未有完全解决。,（4）思维方法：从对“数学基础”的不同的哲学立场去研究；从数学自身采用了更加抽象的公理化方法。,3数系的拓展。,4歌德巴赫猜想，等等。,数学是思维的体操,(四)数学是用符号语言表达的逻辑体系。,1使数学成为形式化的科学，具有高度的抽象性和精确

11、性。,2符号化语言包含的信息量大，大大简化了数学运算或推理过程，加快了数学思维的速度。,3便于世界各国进行数学交流，促进数学的发展和传播。,4数学符号具有“可操作性”，便于做出新的数学发现和创造。,5体现了数学美：简洁、精确、严密、对称、和谐等美的特性。,（五）数学是文化的重要组成部分。,数学与一个民族、地区（或国家）的思维传统、文化传统、生活传统习惯、地理环境、社会制度（政治的、经济的）等等均有直接的关系，世界各国形成了许多不同的数学特色。,如中国古代数学特色：“经世致用”、“寓理于数”、“使用算器，以算为主”。,古希腊数学特色：重理性思维，演绎逻辑体系。,（六）数学也是重要的实验科学。,计

12、算机的产生，使人类进入信息时代。利用计算机可以进行模拟试验，计算和数据处理。,二数学观对高中数学教学的影响,基于对数学的上述观点，应该如何认识高中数学课程？如何从事高中数学教学，实现课程的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的功能。,（一）数学课程是一个多元的复合体。 数学课程应被看作是一个由理论、方法、思想、问题和符号语言等多种成分组成的复合体,1、理论：中学数学是一门演绎科学的理论体系。 它是由概念、判断（公理或命题）、推理（定理、公式、规则、推论）组成。以上这些概念型、方法型知识是数学的表层知识，是结论性知识。,2方法：它是非常丰富的技能类知识。它包括数学证明、数学计算以及数学发现的

13、方法。, 在中学数学中，它包括一些基本方法或技能方法，如换元法、代入法、合并同类项法、因式分解法、判别式法、配方法、加减消元法、待定系数法、恒等变形法、放缩法、比较法、叠加法等等。基本的数学方法或技能具有可操作性和可模仿性。,3思想与思想方法。 中学数学思想是指对中学数学客观规律的本质认识。在中学数学中有四个最重要而且最基本的数学思想，即集合思想、数学结构思想、对应思想和转化思想。在这方面要在长期教学实践中进行渗透、培养才能掌握。,还包括一些重要的数学方法，它属深层知识：如数学模型法、数形结合法、函数法、变换法以及类比法、归纳法、猜想等重要的数学发现方法。,（1）集合思想：整体思想在数学中就是

14、集合思想，可以用来理解一些概念型数学模型（如各种数系）和方法型数学模型；数形结合法（体现代数与几何两大集合间的对应关系）；函数及函数法（两个集合间的一种特殊对应，定义域和值域都是集合）；分类法（实质是集合的分类）；变换法（将一个集合中的问题转化为另一个集合中的问题）等等。,（2）数学结构思想：,皮亚杰认为：所谓“结构”，就是指一个有诸种转换规律组成的整体。整体性、转换性和自我调节性是结构的三大特征。,在中学数学中强调结构思想主要是强调数学知识间的广泛联系。如，数系的拓展就体现了各种数系（实数、虚数、有理数、无理数、整数、分数、正数、负数）的结构及从属关系；,再如，方程间的同解变换，代数式间的恒

15、等变换，几何图形的位置变换等等，变换实质上就是转换法则。 注意，转换法则对于某个（些）数学结构来讲应该是封闭的，如数系结构中的元素通过转换法则，必须仍是该数系结构中的元素。,（3）对应思想：,在实践中，人们总是根据事物的本质属性，外部特征和行为规则将事物分类，这些类（集合）的个体之间可以构成各种各样的对应关系，这种对应关系在数学中就是对应思想。在中学数学中，对应思想主要体现于运用数学方法分析问题和处理问题的过程中。如数学模型与原型之间的对应，数形结合的对应，函数（一种特出的对应）原集合与子集合之间的对应，变换法中的问题对应等等。,（4）转化思想：,事物之间的普遍联系，使得事物间可以相互转化。在

16、解决数学问题时，对于一些直接求解较为困难的问题需要转化为一个新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的。这一思想方法就是转化思想。,在中学数学中，分析、处理和解决问题时，采用的化繁为简、化难为易、化未知为已知，直到转化为熟知、易解决问题为止。如将实际问题转化为数学问题、几何问题与代数问题之间的相互转化、特殊问题与一般问题的相互转化等等。 除以上数学思想外，还有优化思想、概率统计思想等。,思想与思想方法属于数学的深层次知识，必须在长期的数学教学、学习与实践中，逐步的去体会、发掘、渗透，才能掌握，从而真正形成知识、技能和数学素养。,4问题,希尔伯特指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就

17、充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止”,所谓问题，是指一个人面临的某个他所不认识的，或按照已知的法则不能解决的东西。它有接受性、障碍性、探究性等特点。,在中学数学中，学生要了解所学的每个数学学科（代数、立体几何、解析几何、微积分、概率论与数理统计）产生的背景（基本问题）；能够把实际问题转化为数学问题（提出问题），分析数学问题，建立数学模型并予以解决；把已有数学知识应用于解决日常生活问题等等。,提出数学问题，解决数学问题，应用数学知识，是激发学生学习数学、建构数学知识的核心，是挖掘数学潜能、培养学生数学素质的关键问题。,5符号语言,符号语言是数学思维的工具，数学越抽象，符号越精细

18、，语言越加形式化。数学符号语言在数学学习中极为重要。,学生要了解基本符号、运算符号和关系符号所表达的数学概念的内涵与外延；用符号语言思维并与其他人交流；用正确符号语言建立数学模型；表达数学的逻辑成分，并用逻辑思维与推理方法描述和证明数学问题。特别要注重集合语言的掌握和普遍使用。,对以上几种成分的相互关系可以简单标为：,符号语言,问题,理论,方法及思 想方法,表述工具,表述工具,研究工具,研究工具,解答,(二)高中数学教学的原则。,著名数学家柯朗指出： 数学教育“正在出现严重危机。不幸的是，数学教育工作者对此应负责任。数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练。固然可以发展形式演算能力。但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考能力。忽视应用，忽视数学与其他领域之间的联系，这种状况丝毫不能说明形