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1、,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,第十一章,一、函数项级数的概念,1.定义:,2.收敛点与收敛域:,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是?),解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,收敛;,发散;,二、幂级数及其收敛性,1.定义:,2.收敛性:,证明,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,证明,由比值审敛
2、法,定理证毕.,例2 求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛,该级数发散,发散,收敛,故收敛区间为(0,1.,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为,三、幂级数的运算,1.代数运算性质:,(1) 加减法,(其中,(2) 乘法,(其中,柯西乘积,(3) 除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),2.和函数的分析运算性质:,在端点收敛,则,在端点单侧连续.,(收敛半径不变),(收敛半径不变),解,(1)求收敛区间,发散,收敛,故级数的所求收敛区间为,例4,由牛莱公式得,(2)求和函数s(x),解,收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数,小结,再对和函数积分(求导),求出原级数的和函数.,求和函数的一般过程是:,首先找收敛半径,再利用在收敛区间上幂级数和函数的性质可,逐项求导(积分),求得新的幂级数和函数;,最后,内容小结,1. 求幂级数收敛域的方法,1) 对标准型幂级数,先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .,2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求 .,2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,机动 目录 上页 下页
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