4.2齐次线性方程组.ppt

1、4.2 齐次线性方程组,1.齐次线性方程组解的性质 2.齐次线性方程组的非零解,则方程组可写成矩阵形式: AX=0,一、齐次线性方程组,齐次线性方程组,若令,则齐次线性方程组也可写成向量形式: x11+x22+xnn=0,那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解?当方程组有非零解时,如何求出其所有的解?,显然X=(0,0,0)T是AX=0的解,称为零解.,若令 , j=1,2,n,即向量组1,2,n为齐次线性方程组的系数矩阵的列向量组,定理: 齐次线性方程组AX=0只有零解R(A)=n 齐次线性方程组AX=0有非零解R(A)n,如果AX=0只有零解,从而1,2,n线性无关,如果AX=0有非零解,

2、那么R(A)n,反之亦然,证,即x11+x22+xnn=0只有系数全为零时成立,那么R(A)=n,则向量组1,2,n线性相关,二、齐次线性方程组解的性质,(2)齐次线性方程组总是有解的,(3)用S表示齐次线性方程组的全体解向量所组成的集合,则S非空. (总含有零解).,性质1 若X=1和X=2均为AX=0的解,则X=1+2也是AX=0的解,性质2 若X=是AX=0的解,k为实数,则X=k也是AX=0的解,A(1+2),=A1+A2,=0+0=0,A(k),=k(A),=k0=0,(1)齐次线性方程组的解集合是向量空间,称为解空间.,注:,(2)若1,2,k是AX=0的解,则它们的线性组合X=1

3、1+22+kk均是AX=0的解.,故,只要齐次线性方程组有非零解,那么就有无穷多个解,而且这个解集合S是一个维数大于0的向量空间.,问题: 解空间的维数是多少?能否找到一个基?怎样找?,定义 设1,2,k是齐次线性方程组AX=0的一组解向量,如果满足: (1)1,2,k线性无关; (2)方程组AX=0的任一解向量都可由1,2,k线性表示. 则称向量组1,2,k是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系.,三、齐次线性方程组的基础解系,实际上,1,2,k是AX=0的解空间S的一个基,注: 解齐次线性方程组的关键即求其基础解系,进而求出通解.,若齐次线性方程组AX=0只有零解,则它没有基础解系,如果1

4、,2,k是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,则对任意常数1,2,k, 11+22+kk也是AX=0的解,称这种形式的解为AX=0的通解.,定理 设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r,则齐次线性方程组AX=0的基础解系含有nr个向量.,证,第一步:将系数矩阵化成行最简形：,第二步:写出与A对应的齐次线性方程组的同解方程组:,(*),第三步:自由变量取值:,令 分别取以下nr组数值:,代入同解方程组(*)依次得:,则1,2,nr是方程组的一个解,第四步:整理得出齐次线性方程组的一组解向量:,其次,设 为方程组的任一个解,构造向量=cr+11+cr+22+cnnr,其中di=cr+1bi1+cr+2bi2+cnbi,nr (i=1,2,r),所以,当等号右边的自由未知数赋值时,方程组有唯一解.,因而c1= d1, c2= d2, cr= dr,则=,而,所以=cr+11+cr+22+cnnr,即方程组的任一解可由1,2,nr线性表示.,综上,1,2,nr为方程组的一个基础解系.,说明:,2.方程组的基础解系又称为解空间的基,3.若1,2,nr是AX=0的基础解系,则其通解为X=k11+k22+knrnr (k1,k2,knr是任意常数),1.由于基础解系是解集的最大无关组,所以AX=0的基础解系不唯一,即证明了当R(A)=rn时齐次