2019年四川省成都市高考数学冲刺试卷（理科）（三）（5月份）

1、2019年四川省成都市树德中学高考数学冲刺试卷（理科）（三）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设i是虚数单位，m，n为实数，复数zm+ni为虚数，则（）Am0Bn0Cm0且n0Dmn02（5分）若集合Ax|x（x2）0，且ABA，则集合B可能是（）A1B0C1D23（5分）设等比数列an的前n项乘积为Tn，若a11，T532，则an的公比q（）A2BC2或2D4（5分）已知x，y满足的束条件，则z2xy+2的最大值为（）A1B2C3D45（5分）如图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几

2、何体的体积为（）A4B2CD6（5分）“表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（）A0abB1abC2abD1ba7（5分）函数f（x）cosx的图象大致是（）ABCD8（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60的直线的条数为（）A3B4C5D69（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为，则输出的x为（）A（cos）cosB（sin）sinC（sin）cosD（cos）sin10（5分）今年春节期间，甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会游戏开始前，四位同学对游戏中奖结果进行了预测，

3、预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）A甲B乙C丙D丁11（5分）已知F为双曲线C：（a0，b0）的左焦点，直线l经过点F，若点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（）ABCD12（5分）设函数yf（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线yf（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：函数ysinx图象上两点A与B的横坐标

4、分别为1和1，则（A，B）0；存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；设A，B 是抛物线yx2 上不同的两点，则（A，B）2；设A，B是曲线yex（e是自然对数的底数）上不同的两点，则（A，B）1其中真命题的个数为（）A1B2C3D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为47，则抽到的最小学号为 14（5分）如图，在ABC中，P是BN上一点，若，则实数t的值为 15（5分）已知，则a6 16（5分）在正整数数列中，由1开始依

5、次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是 三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（I）求角A的大小；（II）已知ABC外接圆半径，求ABC的周长18（12分）成都

6、有很多有名的小吃，比如陈麻婆豆腐，赖汤圆，钟水饺，小谭豆花等，很多外地游客和本地市民到店品尝“小谭豆花”西大街店为了解顾客来源，调研品牌宣传效果，在西大街附近随机询问60名路人，调查到店光顾是否和事先知道“小谭豆花”是名小吃有关，得到如下列联表：未到店光顾过到店光顾过总计事先知道8nq事先不知道m436总计40ptP（R2k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.828附：，（1）写出列联表中各字母代表的数字；（2）由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为到店光顾和是否事先知道“小谭豆花”是名小吃有关系？（3）从被询问的q名事先知道的路人中随机选

7、取2名顾客，求抽到到店光顾过人数的分布列及其数学期望19（12分）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，ADBC，PAADABCD2，BC4，PA底面ABCD（1）证明：平面PAC平面PAB；（2）过PA的平面交BC于点E，若平面PAE把四棱锥PABCD分成体积相等的两部分，求二面角APEB的余弦值20（12分）已知ABC的直角顶点A在y轴上，点B（1，0），D为斜边BC的中点，且AD平行于x轴（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹为曲线，直线BC与的另一个交点为E，以CE为直径的圆交y轴于点M，N，记圆心为P，MPN，求的最大值21（12分）已知函数f（x）axlnx（1）若a

8、1，证明：f（x）0；（2）若f（x）只有一个极值点，求a的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线M的参数方程为（为参数），过原点O且倾斜角为的直线l交M于A，B两点（）求l和M的极坐标方程；（）当（0，时，求|OA|+|OB|的取值范围选修4-5：不等式选讲23若a0，b0，且（1）求的最小值；（2）是否存在a，b，使得的值为？并说明理由2019年四川省成都市树德中学高考数学冲刺试卷（理科）（三）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：

9、本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设i是虚数单位，m，n为实数，复数zm+ni为虚数，则（）Am0Bn0Cm0且n0Dmn0【分析】根据复数的有关概念进行判断即可【解答】解：若复数是虚数，则n0，故选：B【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用虚数的定义是解决本题的关键比较基础2（5分）若集合Ax|x（x2）0，且ABA，则集合B可能是（）A1B0C1D2【分析】先解出A（0，2），根据ABA可得出BA，只需看选项中哪个集合是A的子集即可【解答】解：A（0，2）；ABA；BA；选项中，只有1A故选：C【点评】考查描述法、列举法的定

10、义，以及并集的定义及运算，子集的定义3（5分）设等比数列an的前n项乘积为Tn，若a11，T532，则an的公比q（）A2BC2或2D【分析】数列an是等比数列，T532，所以a32，再结合a11，即可求出q【解答】解：依题意，数列an是等比数列，T532，所以a32，所以q2，q，故选：D【点评】本题考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式属于基础题4（5分）已知x，y满足的束条件，则z2xy+2的最大值为（）A1B2C3D4【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2xy+2表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可【解答】解：不等式组表示的平面区域

11、如图所示，当直线z2xy+2过点A（1，0）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值4故选：D【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题5（5分）如图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（）A4B2CD【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：应用可知几何体的直观图如图：是圆柱的一半，可得几何体的体积为：2故选：B【点评】本题考查三视图求解几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键6（5分）“表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（）A0abB1abC2abD1ba【分析】求出椭圆

12、的标准方程，先求出椭圆的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行求解即可【解答】解：椭圆的标准方程为1，即1，若焦点在y轴，则log2blog2a0，即ba1等价条件为ba1，则对应的充分不必要条件可以为ba2，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，先根据椭圆的标准方程求出对应的等价条件是解决本题的关键7（5分）函数f（x）cosx的图象大致是（）ABCD【分析】利用函数的奇偶性排除选项，利用函数通过的特殊点，排除选项，即可推出结果【解答】解：函数f（x）cosx，可得f（x）cos（x）f（x），函数是奇函数，排除B，x时，f（）0，排除Dx时，f（）0，对应点在第四象限，排除

13、C，故选：A【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置，是判断函数的图象的常用方法8（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60的直线的条数为（）A3B4C5D6【分析】结合图形，利用异面直线所称的角的概念，把与A1B成60角的异面直线一一列出，即得答案【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60的直线有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4条故选：B【点评】本题考查异面直线的定义域判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是基础题9（5分）

14、执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为，则输出的x为（）A（cos）cosB（sin）sinC（sin）cosD（cos）sin【分析】由程序框图的功能是输出三个函数值中最大值，用特殊值代入验证即可得出结论【解答】解：由程序框图的功能是输出的最大值，用特殊值，代入验证得出，即（cos）sin（sin）sin（sin）cos，则输出的x为（sin）cos故选：C【点评】本题考查了利用程序框图比较函数值大小的应用问题，是基础题10（5分）今年春节期间，甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会游戏开始前，四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙

15、能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）A甲B乙C丙D丁【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解【解答】解：若中奖的同学是甲，则甲预测结果是正确的，与题设相符，故中奖的同学是甲，若中奖的同学是乙，则甲、丙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是乙，若中奖的同学是丙，则丙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是丙，若中奖的同学是丁，则乙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是丁，综合得：中奖的同学是甲，故选：A【点评】本题考

16、查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题11（5分）已知F为双曲线C：（a0，b0）的左焦点，直线l经过点F，若点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（）ABCD【分析】由题意可得直线l为AB的垂直平分线，运用中点坐标公式和垂直的条件，可得l的方程，令y0，可得左焦点坐标，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，可得e的方程，解方程可得离心率【解答】解：点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，可得直线l为AB的垂直平分线，AB的中点为（，），AB的斜率为，可得直线l的方程为y（x），令y0，可得xa，由题意可得ca，即有a（a+2c）b2c2a2，由e，可得e22

17、e20，解得e1（1舍去），故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查线段的垂直平分线方程，以及化简整理的运算能力，属于中档题12（5分）设函数yf（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线yf（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：函数ysinx图象上两点A与B的横坐标分别为1和1，则（A，B）0；存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；设A，B 是抛物线yx2 上不同的两点，则（A，B）2；设A，B是曲线yex（e是自然对数的底数）上不同的两点，则（A，B）1其中真命题

18、的个数为（）A1B2C3D4【分析】由新定义，利用导数求出函数ysinx、yx2在点A与点B之间的“弯曲度”判断、正确；举例说明是正确的；求出曲线yex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，判断错误【解答】解：对于，由ysinx，得ycosx，则kAcos1，kBcos（1）cos1，则|kAkB|0，即（A，B）0，正确；对于，如y1时，y0，则（A，B）0，正确；对于，抛物线yx2的导数为y2x，yAxA2，yBxB2，yAyBxA2xB2（xAxB）（xA+xB），则（A，B）2，正确；对于，由yex，得yex，（A，B），由不同两点A（x1，y1），B（x2，y

19、2），可得（A，B）1，错误；综上所述，正确的命题序号是故选：C【点评】本题考查了命题真假的判断与应用问题，也考查了新定义的函数应用问题，解题的关键是对题意的理解二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为47，则抽到的最小学号为5【分析】依题意，求出抽样间隔为6，设最小号码为b，所以抽取到的号码可以表示为6k+b，（k1，2，7）再根据最大的号码4767+b，求出b即可【解答】解：依题意，系统抽样的抽样间隔为6，设最小号码为b，所以抽取到的号码可以

20、表示为6k+b，（k1，2，7）最大的号码476k+b67+b，解得b5，故抽取的最小号码为5故填：5【点评】本题考查了系统抽样系统抽样又叫等间距抽样，抽取到的号码可以用第一组抽到的号码b加上间距的整数倍表示本题属于基础题14（5分）如图，在ABC中，P是BN上一点，若，则实数t的值为【分析】结合已知及向量的基本定理可得，结合已知，可求m，t【解答】解：由题意及图，又，又，解得，故答案为：【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题15（5分）已知，则a628【分析】由题意可得（x1）+1（x1）18a0+a1（x1）+a2（x1）2+a9（x1）9，再利用二项式展开式的通

21、项公式，求出a6的值【解答】解：已知，即（x1）+1（x1）18a0+a1（x1）+a2（x1）2+a9（x1）9，a6（1）3（1）228，故答案为：28【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题16（5分）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，

22、15，16，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是3993【分析】跟据题意知，每次染成红色的数字成等差数列，并且第n次染色的最后一个数为n（2n1），共染色2n1个，可以求出2019个【解答】解：第1次染色的数为111，共染色1个，第2次染色的最后一个数为623，共染色3个，第3次染色的最后一个数为1535，共染色5个，第4次染色的最后一个数为2847，共染色7个，第5次染色的最后一个数为4559，共染色9个，第n次染色的最后一个数为n（2n1），共染色2n1个，经过n次染色后被染色的数共有1+3+5+（2n1）n2个，而201945456，第2019个数是在第45次染色时被染色的，

23、第45次染色的最后一个数为4589，且相邻两个数相差2，第2019的数为4589123993故答案为：3993【点评】本题考查了阅读理解及观察能力，由有限几项归纳推理通项公式的能力，属难度较大的题型三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（I）求角A的大小；（II）已知ABC外接圆半径，求ABC的周长【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围0A，可求A的值（II）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得，解得c的值，可求周长【解答】（本小题满分12分）解：（I），（1分）即：

24、，（2分），（4分）又0A，（5分）（6分）（II），（7分），（8分），由 a2b2+c22bccosA，（9分），（10分）c0，所以得：（11分）周长a+b+c3 （12分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题18（12分）成都有很多有名的小吃，比如陈麻婆豆腐，赖汤圆，钟水饺，小谭豆花等，很多外地游客和本地市民到店品尝“小谭豆花”西大街店为了解顾客来源，调研品牌宣传效果，在西大街附近随机询问60名路人，调查到店光顾是否和事先知道“小谭豆花”是名小吃有关，得到如下列联表：未到店光顾过到店光顾过总计事先知道8nq事先不

25、知道m436总计40ptP（R2k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.828附：，（1）写出列联表中各字母代表的数字；（2）由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为到店光顾和是否事先知道“小谭豆花”是名小吃有关系？（3）从被询问的q名事先知道的路人中随机选取2名顾客，求抽到到店光顾过人数的分布列及其数学期望【分析】（1）由列联表能求出m32，n16，p20，q24，t60（2）由计算可得k2，判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为到店品尝和事先知道有关系”（3）的可能取值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可【解答】解

26、：（1）由列联表能求出m32，n16，p20，q24，t60（3分）（2）由计算可得，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为到店品尝和事先知道有关系”（6分）（3）的可能取值为0，1，2.；，的分布列为：012P 的数学期望：（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，是基本知识的考查19（12分）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，ADBC，PAADABCD2，BC4，PA底面ABCD（1）证明：平面PAC平面PAB；（2）过PA的平面交BC于点E，若平面PAE把四棱锥PABCD分成体积相等的两部分，求二面角APEB的余弦值【分析】（

27、1）证明ACAB，PAAC，由平面PAB，即可证明平面PAC平面PAB（2）V三棱锥PABEV四棱锥PAECD，求出a3，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间坐标系，求出平面PAB的法向量，平面PBE的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角APEB的余弦值【解答】（1）证明：在等腰梯形ABCD，ADBC，ADABCD2，易得ABC60，在ABC中，AC2AB2+BC22ABBCcosABC4+16812，则有AB2+AC2BC2，故ACAB，（3分）又PA平面ABCD，AC平面ABCD，PAAC，（4分）即平面PAB，故平面PAC平面PAB（5

28、分）（2）解：在梯形ABCD中，设BEa，V三棱锥PABEV四棱锥PAECD，SABES梯形AECD，而，即，a3（7分）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图的空间坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），为（x，y，z），由，得，取x1，得，z0，同理可求得平面PBE的法向量为，设二面角APEB的平面角为，则，所以二面角APEB的余弦值为（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直以及平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）已知ABC的直角顶点A在y轴上，点B（1，0）

29、，D为斜边BC的中点，且AD平行于x轴（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹为曲线，直线BC与的另一个交点为E，以CE为直径的圆交y轴于点M，N，记圆心为P，MPN，求的最大值【分析】（1）设C（x，y），用x，y表示出A点坐标，根据ABAC列方程化简即可；（2）讨论BC的斜率，求出圆P的半径和横坐标，计算cos，得出的范围【解答】解：（1）设C（x，y），则D（，），A（0，），kAB，kAC，ABAC，1，即y24x，点C的轨迹方程是y24x（2）当直线BC无斜率时，直线BC的方程为x1，此时C（1，2），E（1，2），P与B重合，M（0，），N（0，），MPN120；当直线BC有斜率

30、时，设直线BC的方程为yk（x1），代入y24x得k2x2（2k2+4）x+k20，设C（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x22，|CE|x1+x2+24，圆P的半径r|CE|2，P到y轴的距离d1，cos1，k20，cos1，又090，060，0120综上，的最大值为120【点评】本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，属于中档题21（12分）已知函数f（x）axlnx（1）若a1，证明：f（x）0；（2）若f（x）只有一个极值点，求a的取值范围【分析】（1）代入a的值，问题转化为x2lnx0；设函数g（x）x2lnx，根据函数的单调性证明即可；（2）求出函数的导数，通过讨

31、论a的范围，结合函数的单调性以及极值点的个数判断即可【解答】解：（1）当a1时，f（x）0等价于，即x2lnx0；（1分）设函数g（x）x2lnx，则，（2分）当x（0，2）时，g（x）0；当x（2，+）时，g（x）0所以g（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）单调递增故g（2）22ln2为g（x）的最小值，（3分）而22ln20，故g（x）0，即f（x）0（4分）（2）f（x）alnx+xa2，设函数h（x）alnx+xa2，则；（i）当a0时，h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增，又h（ea）0，取b满足0b1且ba2，则h（b）0，故h（x）在（0，+）上有唯一一个零点x1，且

32、当x（0，x1）时，h（x）0，x（x1，+）时，h（x）0，由于f（x）h（x），所以xx1是f（x）的唯一极值点；（6分）（ii）当a0时，在（0，+）上单调递增，无极值点；（7分）（iii）当a0时，若x（0，a）时，h（x）0；若x（a，+）时，h（x）0所以h（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）单调递增故h（a）aln（a）1a为h（x）的最小值，若a1时，由于h（a）0，故h（x）只有一个零点，所以xa时f（x）0，因此f（x）在（0，+）上单调递增，故f（x）不存在极值；若a（1，0）时，由于ln（a）1a0，即h（a）0，所以f（x）0，因此f（x）在（0，+）上单调递增，故f（x）不存在极值；若a（，1）时，ln（a）1a0，即h（a）0又h（ea）0，且0ea1a，而由（1）知x2lnx，即xlnx2，令x，则x2t，则lnt，所以，取c满足，则故h（x）在（0，a）有唯一一个零点x2，在（a，+）有唯一一个零点x3；且当x（0，x2）时h（x）0，当x（x2，x3）时，h（x）0，当x（x